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广东省肇庆市2014-2015学年高一下学期期末考试数学试卷 (Word版含答案)


试卷类型:A 肇庆市中小学教学质量评估 2014—2015 学年第二学期统一检测试题

高 一 数 学
本试卷共 4 页,22 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔,将自己所在县(市、区) 、姓名、试 室 号、座位号填写在答题卷上对应位置,再用 2B 铅笔将准考证号涂黑。 2.

选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷或草稿纸上。 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区 域 内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再在答题区内写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1.

27? 是 4
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角

2.已知向量 a ? (1,2) , b ? (3,1) ,则 b ? a ? A. (2,-1) B. (-2, 1) C. (2,0) D. (4,3)

3.已知数列{ a n }的通项公式是 a n ? A.递增数列

n?2 ,则这个数列是 n ?1
C.常数列 D.摆动数列

B.递减数列

4.不等式 x 2 ? x ? 2 ? 0 的解集是 A .

{x | x ? 2}

B .

{x | x ? ?1}

C .

{x | x ? ?1或x ? 2}

D. {x | ?1 ? x ? 2} 5.若 tan ? ? 0 ,则 A. sin 2? ? 0 B. sin ? ? 0 C. cos 2? ? 0 D. cos ? ? 0

6.在矩形 ABCD 中, | AB |? 4 , | AD |? 2 ,则 | BA ? BD ? BC |?

A.12

B.6

C. 4 5

D. 2 5

7.已知等差数列 {a n } 中, a1 ? a5 ? 6 ,则 a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ? A. 10 6 B. 5 6 C.30 D.15

8.已知 c ? b ? a , c ? b ? a ? 0 ,则下列不等式一定成立的是 A. c 2 ? b 2 ? a 2 B. c | b |? a | b | C. bc ? ac D. ac ? ab

9.若向量 a, b 满足: | a |? 1 , (a ? b) ? a , (2a ? b) ? b ,则 | b |? B. 2

A.2

C.1

D.

2 2

10.已知函数 y ? cos x 与 y ? sin( 2 x ? ? ) ( 0 ? ? ? ? ) ,它们的图象有一个横坐标为 交点,则 ? ? A.

?
3



?
6

B.

?
3

C.

2? 3

D.

5? 6

? x ? y ? 7 ? 0, ? 11.设 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1 ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值是 ?3 x ? y ? 5 ? 0, ?
A.10 B.8 C.3 D.2

12. 对任意两个非零的平面向量 ? 和 ? , 定义 ? ? ? ? 足 a 与 b 的夹角 ? ? ( A.

? ?? ? ??

. 若两个非零的平面向量 a, b 满

5 2

n , ) ,且 a ? b 与 b ? a 都在集合 { | n ? Z } 中,则 a ? b ? 4 2 2 3 1 B. C .1 D. 2 2

? ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13. sin

7? 的值等于 ▲ . 6
▲ .

14.已知平面向量 a ? (1,2) , b ? (?2, m) ,且 a // b ,则 m ?

15.等比数列 {a n } 中, a 4 ? 2 , a5 ? 5 ,则数列 {lg a n } 的前 8 项和等于 ▲ .

16.设正实数 x, y, z 满足 x 2 ? 3 xy ? 4 y 2 ? z ? 0 ,则当 大值为 ▲ .

z 取最小值时, x ? 2 y ? z 的最 xy

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 10 分) 已知 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 性.

?
4

) ,请写出函数 f ( x) 的值域、最小正周期、单调区间及奇偶

18. (本小题满分 12 分) 数列 {a n } 满足 a1 ?

an 1 , a n ?1 ? ( n ? N * ). 1 ? 2a n 2

(1)写出 a2 , a3 , a4 , a5 ; (2)由(1)写出数列 {a n } 的一个通项公式; (3)判断实数

1 是否为数列 {a n } 中的一项?并说明理由. 2015

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A cos( (1)求 A 的值; (2)设 ? , ? ? [0,

x ? ? ? ) , x ? R ,且 f ( ) ? 2 . 4 6 3

?
2

] , f (4? ?

4? 30 2? 8 ) ? ? , f (4? ? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的 3 17 3 5

值.

20. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且

2 cos 2

A? B 3 cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) ? ? . 2 5

(1)求 cos A 的值; (2)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.

21. (本小题满分 12 分) 设数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? (1)求 a1 , a 2 的值; (2)求数列 {a n } 的通项公式; (3)设 Tn ?

4 1 2 a n ? ? 2 n ?1 ? ( n ? N * ). 3 3 3

2n 3 (n? N*) ,证明: T1 ? T2 ? ? ? Tn ? . Sn 2

22. (本小题满分 12 分) 数列 {a n } 中, a3 ? 1 , a1 ? a 2 ? ? ? a n ? a n ?1 ( n ? N * ).

(1)求 a1 , a 2 ; (2)求数列 {a n } 的前 n 项和 S n ; (3)设 bn ? log 2 S n ,存在数列 {c n } 使得 c n ? bn ?3 ? bn ? 4 ? 1 ? n(n ? 1)(n ? 2) S n ,试 求数列 {c n } 的前 n 项和.

2014—2015 学年第二学期统一检测题 高一数学参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 D 5 A 6 C 7 D 8 C 9 B 10 A 11 B 12 D

二、填空题 13. ?

1 2

14.-4

15.4

16.2

三、解答题 17. (本小题满分 10 分) 解:函数 f ( x) 的值域为[-2,2], ; (2 分) (4 分) (6 分) (8 分) (10 分)

2? ?? , 2 ? 3? 单调递增区间为 [? ? k? , ? k? ](k ? Z ) , 8 8 3? 7? 单调递减区间为 [ ? k? , ? k? ](k ? Z ) , 8 8
最小正周期为 T ? 函数 f ( x) 是非奇非偶函数.

18. (本小题满分 12 分)

1 1 1 1 ; (4 分) , a3 ? , a 4 ? , a5 ? 4 6 8 10 1 (2)由(1)可得数列 {a n } 的一个通项公式为 a n ? ; (8 分) 2n 1 1 (3)令 ,解得 n ? 1007.5 , (10 分) ? 2n 2015 1 因为 n ? N * ,所以 n ? 1007.5 不合题意,故 不是数列 {a n } 中的一项. (12 分) 2015
解: (1)由已知可得 a 2 ?

19. (本小题满分 12 分)

解: (1)由 f ( ) ? 即 A cos

?

?
4

3

2 ,得 A cos( ? ) ? 2 , 12 6

?

?

(2 分) (4 分)

? 2 ,所以 A=2. x ? ? ). 4 6

(2)由(1)知 f ( x) ? 2 cos(

(5 分)

4? 30 ? ? 30 15 ? ? ? f (4? ? ) ? ? , ?2 cos(? ? ? ) ? ? , sin ? ? , ? ? ? ? ? 3 17 3 6 17 17 由? 得? 解得 ? ? f (4 ? ? 2? ) ? 8 , ?2 cos( ? ? ? ? ? ) ? 8 , ?cos ? ? 4 . ? ? ? 3 5 6 6 5 5 ? ? ?
8 3 , sin ? ? . 2 17 5 8 4 15 3 13 故 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ?? . 17 5 17 5 85
因为 ? , ? ? [0,

(7 分)

?

] ,所以 cos ? ?

(9 分) (12 分)

20. (本小题满分 12 分)

A? B 3 cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) ? ? ,得 2 5 3 (2 分) [cos( A ? B) ? 1] cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos B ? ? , 5 3 即 cos( A ? B ) cos B ? sin( A ? B ) sin B ? ? , 5 3 3 则 cos( A ? B ? B ) ? ? ,即 cos A ? ? . (4 分) 5 5 3 4 (2)由 cos A ? ? , 0 ? A ? ? ,得 sin A ? . (5 分) 5 5
解: (1)由 2 cos 2 由正弦定理,有

b sin A 2 a b ,所以 sin B ? . ? ? a 2 sin A sin B

(7 分) (8 分)

由题意知 a ? b ,则 A ? B ,故 B ?

?
4

.

依余弦定理,有 (4 2 ) 2 ? 5 2 ? c 2 ? 2 ? 5 ? c ? (? ) , 解得 c ? 1 或 c ? ?7 (舍去). 故向量 BA 在 BC 方向上的投影为 | BA | cos B ?

3 5

(9 分) (10 分)

2 . 2

(12 分)

21. (本小题满分 12 分)

4 4 2 ? a1 ? a1 ? ? ? 4 1 2 ? 3 3 3 解: (1)由 S n ? a n ? ? 2 n ?1 ? ,得 ? , 3 3 3 ?a ? a ? 4 a ? 8 ? 2 1 2 2 ? 3 3 3 ?
解得 a1 ? 2, a 2 ? 12 . (2)当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 即 a n ? 4a n ?1 ? 2 n , 所以 a n ? 2 n ? 4(a n ?1 ? 2 n ?1 ) ,

(2 分)

(3 分)

4 1 2 4 1 2 (4 分) a n ? ? 2 n ?1 ? ? ( a n ?1 ? ? 2 n ? ) , 3 3 3 3 3 3
(5 分) (6 分)

所以数列 {a n ? 2 n } 是以 a1 ? 2 ? 4 为首项,4 为公比的等比数列,故 a n ? 4 n ? 2 n , (7 分) 又 a1 ? 2 满足上式,所以数列 {a n } 的通项公式 a n ? 4 n ? 2 n ( n ? N * ). (3)将 a n ? 4 n ? 2 n 代入 S n ? (8 分)

4 1 2 2 (9 分) a n ? ? 2 n ?1 ? ,得 S n ? (2 n ?1 ? 1)(2 n ? 1) , 3 3 3 3
(11 分)

2n 2n 3 1 1 所以 Tn ? ? ? ( n ? n ?1 ) , S n 2 n ?1 2 2 ?1 2 ?1 (2 ? 1)(2 n ? 1) 3

所以 T1 ? T2 ? ? ? Tn ?

3 1 1 1 1 1 1 [( 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ??? ( n ? n ?1 ) 2 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 3 1 3 (12 分) ? (1 ? n ?1 ) ? . 2 2 ?1 2

22. (本小题满分 12 分) 解: (1)由 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? a n ?1 ,得 ? 所以 2a1 ? a3 ? 1 ,故 a1 ?

?a1 ? a 2 , ?a1 ? a 2 ? a3 ,

(1 分)

1 1 , a2 ? . 2 2

(2 分)

(2)由 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? a n ?1 ,得 S n ? a n ?1 ? S n ?1 ? S n ,故 所以 {S n } 是首项为 S1 ? a1 ?

S n ?1 ? 2. Sn

(4 分)

1 1 ,公比为 2 的等比数列,故 S n ? ? 2 n ?1 ? 2 n ? 2 . (6 分) 2 2
(7 分)

(3)因为 S n ? 2 n ? 2 ,所以 bn ? n ? 2 , bn ?3 ? n ? 1 , bn ? 4 ? n ? 2 .

因为 c n ? bn ?3 ? bn ? 4 ? 1 ? n(n ? 1)(n ? 2) S n , 所以 c n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? 1 ? n(n ? 1)(n ? 2)2 n ? 2 ,即 c n ?

1 ? n ? 2 n ? 2 .(8 分) (n ? 1)(n ? 2)

令A?

1 1 1 ? ??? 2?3 3? 4 (n ? 1)(n ? 2)
(9 分)

1 1 1 1 1 1 1 1 . ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )? ? 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n?2
令 B ? 1 ? 2 ?1 ? 2 ? 2 0 ? 3 ? 21 ? ? ? n ? 2 n ? 2 则 2 B ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2
0 1 n?2

①, ②.

? n ? 2 n ?1
? n ? 2 n ?1 ?

①-②,得 ? B ? 2 ?2 ? 2 ? ? ? 2
0 1

?1

n?2

2 ?1 (1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 , 1? 2
(11 分)

即 B ? (n ? 1) ? 2 n ?1 ?

1 . 2

所以 c1 ? c 2 ? ? ? c n ? A ? B ? (n ? 1) ? 2 n ?1 ?

n ?1 . n?2

(12 分)


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