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江苏省南京大学附中2014届高三数学一轮复习 选考内容单元训练


南京大学附中 2014 届高三数学一轮复习单元训练:选考内容
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.点 M 的直角坐标是( ? 1, 3 ) ,则点 M

的极坐标为( )

? ) 3 2? C.(2, ) 3
A.(2, 【答案】C 2.不等式

B.(2, ?

? ) 3

D.(2, 2k? ?

?
3

), k ? Z ) (

x - 2 - 3 < 1 的解集是(

) B. {x | 6 < x < 18} D. {x | 8 < x < 22}

A. {x | 5 < x < 16} C. {x | 7 < x < 20}

【答案】B 3.若不等式|2x 一 a|>x-2 对任意 x ? (0,3)恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. (- ? , 2] U [7, + ? ) B. (- ? , 2) U (7, + ? ) C. (- ? , 4) U [7, + ? ) D. (- ? , 2) U (4,+ ? ) 【答案】C 4. 定义运算
a c b d
2

)

则符合条件 ? ad ? bc ,
2

x ?1 1? 2 y

1? 2 y x ?1

= 0 的点 P (x , y)的轨迹方程为(
2 2

)

A.(x – 1) + 4y = 1 B.(x –1) – 4y = 1 2 2 2 2 C.(x –1) + y = 1 D.(x –1) – y = 1 【答案】A 5.如图. ∠ACB=90?,CD⊥AB 于点 D,以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E.则(

)

A. CE·CB=AD·DB C. AD·AB=CD ? 【答案】A

B. CE·CB=AD·AB D.CE·EB=CD ?

? x ? 4t 2 ? 6.若点 P(3,m)在以点 F 为焦点的抛物线 ? (t 为参数)上,则|PF|等于( ? y ? 4t
A.2 【答案】C B.3 C.4 D.5

)

7.曲线的极坐标方程 ? ? 4 sin ? 化为直角坐标为(

)

1

A. x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 C. ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 【答案】B

B. x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 D. ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4

8.已知实数 x, y, z 满足 x ? y ? 2 z ? 1 , x 2 ? y 2 ? 2 z 2 ?

1 ,则 z 的取值范围是( 2

)

1 2 C. 0 ? z ? 2
A. 0 ? z ? 【答案】A 9.已知二面角 ?

B.

0? z?

D. 0 ? z ? 1

1 4

? l ? ? 的平面角为 ? ,P 为空间一点,作 PA ? ? ,PB ? ? ,A,B 为垂足,
? l ? ? 的棱 l 的距离为别为 x, y .则当?
)

且 PA ? 4 , PB ? 5 ,设点 A、B 到二面角 ? 变化时,点 ( x, y ) 的轨迹是下列图形中的(

【答案】D

?? ? cos ? ? ? ? ? 表示的曲线是( ?4 10.极坐标方程 ? =
A.双曲线 【答案】D 11.在参数方程 ? B.椭圆

) D.圆

C.抛物线

? x ? a ? t cos? (t 为参数)所表示的曲线上有 B、C 两点,它们对应的参 ? y ? b ? t sin ?
) D.
t1 ? t2

数值分别为 t1、t2,则线段 BC 的中点 M 对应的参数值是( A.
t1 ? t2

2

B.

t1 ? t2

2
)

C.

t1 ?t2

2

2

【答案】B 12.直线 y ? 2 x ? 1 的参数方程是(
2 ? A. ? x ? t (t 为参数) 2 ? y ? 2t ? 1

? x ? 2t ? 1 B. ? (t 为参数) ? y ? 4t ? 1

2

C.

? x ? t ?1 (t 为参数) ? ? y ? 2t ? 1

x ? sin ? D. ? (t 为 ? ? y ? 2 sin ? ? 1

参数) 【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.矩阵 M= ?

?2 ?1

3? ?1 ? ,则 M ? 4?

? 4 ? 5 【答案】 ? ?? 1 ? 5 ?

3? ? ? 5 ? 2 ? 5 ? ?

14.如图, AB 是⊙ O 的直径, P 是 AB 延长线上的一点,过 P 作⊙ O 的切线,切点为 C ,

PC ? 2 3 ,若 ?CAP ? 30? ,则⊙ O 的直径 AB ?



【答案】4 15.如图,在△ ABC 中, ?A ? 60? , ?ACB ? 70? , CF 是△ ABC 的边 AB 上的高,

FP ? BC 于点 P , FQ ? AC 于点 Q ,则 ?CQP 的大小





3

【答案】 50? 16.如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F , E 是 AB 延长线上一点,且

DF ? CF ? 2, AF : FB : BE ? 4 : 2 :1. 若 CE 与圆相切,则线段 CE 的长为
____________.

【答案】

7 2

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 | . (1)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ?| a ?1| 的解集非空,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (Ⅰ)原不等式等价于
3 3 1 ? ? 1 ? ?x ? , ?? ≤ x ≤ , ?x ? ? , 或? 或? 2 2 2 2 ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ≤ 6 ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ≤ 6 ??(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ≤ 6, ? ? ?
3 1 3 1 ? x ≤ 2或 ? ≤ x ≤ 或 ? 1 ≤ x ? ? , 2 2 2 2 即不等式的解集为 {x | ?1 ≤ x ≤ 2} .

解之得

(Ⅱ)? f ( x) ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 3 ≥ (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 4 ,

? a ? 1 ? 4 ,解此不等式得 a ? ?3或a ? 5 .
18.已知 AB 为半圆 O 的直径, AB ? 4 , C 为半圆上一点,过点 C 作半圆的切线 CD ,过 点 A 作 AD ? CD 于 D ,交半圆于点 E , DE ? 1 。 (1)求证: AC 平分 ?BAD ; (2)求 BC 的长。

【答案】 (1)因为

,所以



4

因为 又因为 所以

为半圆的切线,所以 ,所以 ∥ , , ,连结



,所以 , ,所以△

平分



(2)由(Ⅰ)知 因为 四点共圆,

∽△



所以

,所以



19.直线 l1 : x ? ?4 先经过矩阵 A ? ? ? 线 l2 : 2 x ? y ? 4 ,求矩阵 A。 【答案】解法 1:设 C ? BA ? ? ?

?4 m ? ?1 1 ? ? 作用,再经过矩阵 B ? ? ? ? 0 ? 1? 作用,变为直 ? ? n ? 4? ? ?

? n ? 4 m ? 4? ? ,则直线 l1 上的点 ( x, y ) 经矩阵 C 变换为直线 4 ? ? ?n ?

l 2 上的点 ( x ' , y ' ) ,则 x ' ? (n ? 4) x ? (m ? 4) y, y ' ? ?nx ? 4 y ,代入 2 x ' ? y ' ? 4 ,得
6 ? ? 4 (3n ? 8) x ? (2m ? 12) y ? 4 与 l1 : x ? ?4 比较系数得, m ? 6, n ? ?3 ? A ? ? ? ? 3 ? 4? ? ? ?
解法 2:设 l1 经矩阵作用变成直线 l ,直线 l 上的点 ( x, y ) 经矩阵 C 变换为直线 l 2 上的点

( x ' , y ' ) ,则有 x ' ? x ? y, y ' ? ? y ,代入 2 x ' ? y ' ? 4 得 2( x ? y) ? y ? 4,即2 x ? 3 y ? 4 ? 0
再设直线 l1 上的点 ( x, y ) 经矩阵 A 变换为直线 l 上的点 ( x , y ) ,则有
' '

x ' ? 4 x ? my, y ' ? nx ? 4 y ,代入 2 x ' ? 3 y ' ? 4 ? 0 得 (3n ? 8) x ? (2m ? 12) y ? 4 ? 0 与

6 ? ? 4 l1 : x ? ?4 比较系数得, m ? 6, n ? ?3 ? A ? ? ? ? 3 ? 4? ? ? ?
20.在极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ? ?

?
3

( ? ? R) ,以极点为原点,极轴为 x 轴的

正半轴建立平面直角坐标系,曲线 C 的参数方程为 ? 线 l 与曲线 C 的交点 P 的直角坐标.
? 【答案】因为直线 l 的极坐标方程为 ? = ( ? ? R) , 3

? x ? 2 cos ? , ( ? 为参数) ,求直 ? y ? 1 ? cos 2? ,

所以直线 l 的普通方程为 y ? 3 x ,①

5

? x ? 2cos ? , 又因为曲线 C 的参数方程为 ? (α 为参数), ? y ? 1 ? cos 2?

所以曲线 C 的直角坐标方程为 y ?

1 2 x ( x ?[?2, 2]) ,② 2

? x ? 2 3, ? x ? 0, ? 联立①②解方程组得 ? 或? ? y ? 6. ?y ? 0 ? ? x ? 2 3, ? 根据 x 的范围应舍去 ? ? y ? 6, ?

故 P 点的直角坐标为(0,0). 21.设函数 f ( x) ? | x ? 1| ? | x ? 2 | ?a . ⑴ 当 a ? 5 时,求函数 f (x) 的定义域; ⑵ 若函数 f (x) 的定义域为 R ,试求 a 的取值范围. 【答案】 (1) 当 a ? 5 时, f ( x) ? | x ? 1| ? | x ? 2 | ?5 ,由 | x ? 1| ? | x ? 2 | ?5 ≥ 0 得

? x ≥ ?1 ? ?2 ≤ x ? ? 1 ? x ? ?2 或? 或? ,解得 x ≥ 1 或 x ≤ ?4 .即函数 f (x) 的定 ? ? 2 x ? 2 ≥ 0 ? ?2 ≥ 0 ? ?8 ? 2 x ≥ 0
义域为{x| x ≥ 1 或 x ≤ ?4 }. (2) 由题可知 | x ? 1| ? | x ? 2 | ?a ≥ 0 恒成立,即 a ≤| x ? 1| ? | x ? 2 | 恒成立,而

| x ? 1| ? | x ? 2 |≥| ( x ? 1) ? ( x ? 2) |? 1,所以 a ≤ 1 ,即 a 的取值范围为 (??,1] .
22.在直径是 AB 的半圆上有两点 M , N ,设 AN 与 BM 的交点是 P . 求证: AP ? AN ? BP ? BM ? AB
2

【答案】作 PE ? AB 于 E ? AB 为直径,??ANB ? ?AMB ? 90 )
?

? P, E, B, N 四点共圆, P, E , A, M 四点共圆.

AE ? AB ? AP ? AN (1) ? ?? BE ? AB ? BP ? BM (2) ?

(1)+(2)得 AB( AE ? BE ) ? AP ? AN ? BP ? BM
6

2 即 AP ? AN ? BP ? BM ? AB

7


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