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数学建模-连续投资问题模型分析






如何将有限的资源配置到市场需求的无限投资中去,满足项目投资配置的要求 并取得最大的经济效益,是每个企业投资决策者必须要解决的问题。投资决策方案 方法繁多,规划理论和数学模型是处理某些类型的投资方案决策问题的有效工具。 实例分析表明,所建立的数学模型可以有效地解决投资方案净增值总和最大优化求 解问题。本文将就一个企业连续投资问题给

出详细的线性规划说明,建立数学模型 并运用 MATLAB 这一强大的图像、数值分析软件最终给出最优的项目解决方案。

关键词:线性规划;投资决策;MATLAB;项目投资

第一章 问题分析

1.1 问题引出
某投资公司拟制定今后 5 年的投资计划,初步考虑下面的四个投资项目. 项目 A:从第 1 年到第 4 年每年年初需要投资,于次年年末收回成本,并可获 利润 15%; 项目 B: 3 年年初需要投资, 第 到第 5 年年末可以收回成本, 并获得利润 25%, 但为了保证足够的资金流动,规定该项目的投资金额上限为不超过总金额的 40%; 项目 C: 2 年年初需要投资, 第 到第 5 年年末可以收回成本, 并获得利润 40%, 但公司规定该项目的最大投资金额不超过总金额的 30%; 项目 D:5 年内每年年初可以购买公债,于当年年末可以归还本金,并获利息 6%. 该公司现有投资金额 100 万元, 请你帮助该公司制定这些项目每年的投资计划, 使公司到第 5 年年末能够获得最大的利润.

1.2 模型分析过程 1.设置决策变量,即设置决策过程中的可控因素。 2.确定目标函数:Max
Z ? c1 x1 ? c2 x 2 ? ? ? c n xn

3.确定约束条件: am1 x1 ? am 2 x2 ? ?amn xn ? (?, ?)bm 综合以上几点,得出投资方案的基本模型为:
1

Max

Z ? c1 x1 ? c2 x 2 ? ? ? c n xn

第二章 模型假设与符号表示

2.1 模型假设
市场复杂多变,因此进行模型假设是很重要的。要考虑投资过程中可能遇到的 各种风险与政策变化。以下是我们做的合理性假设:

1.投资时不考虑投资和交易费用。 2.投资时不考虑纳税费用。 3.投资期间,社会政策无较大变化,市场经济基本稳定。 4.公司的经济发展对投资无较大影响。 5.外界因素对公司投资无较大影响。 6.投资期间,各项投资项目利率基本稳定。 2.2 符号表示
1. x 为项目各年初投入向量。 2.
x ij

为 i 种项目j年的年初的投入。
c ij

3.向量c中的元素

为i年末j种项目收回本例的百分比。

2

4.矩阵A中元素

a ij

为约束条件中每个变量

x ij

的系数。

5.Z为第5年末能拥有的资金本利最大总额。

第三章 模型建立

3.1 设定决策变量
根据以上建立的模型,给出决策变量:分别表示第 i 年年初给项目 A,B,C,D 的 投资额,可记作: xiA , xiB , xiC , xiD , (i

? 1,2,..., 5) 。

则根据题意各项目的合理投资方案为: 项目 A: 项目 B: 项目 C:

x1A , x2 A , x3 A , x4 A

x3B x2C

项目 D: x1D , x2D , 3D , x4 D ,

x

x5 D

3.2 确定目标函数
由于 A,B,C,D 各项目的投资时间和投资资金不同,在第 5 年末能收回的本 利分别为 1.15 x4 A , 1.25 x3 B , 1.40 x2C , 1.06 x5 D ,因此目标函数为
max Z ? 1.15 x4 A ? 1.25 x3B ? 1.40 x2C ? 1.06 x5 D

3.3 确定约束条件
约束条件应是每年年初的投资额应等于该投资者年初所拥有的资金,根据投资 方案有: 第一年投资者拥有 100 万投资资金,故有
x1A ? x1D ? 1000000
(1) (2)

第 2 年年初该投资者手中拥有资金只有 ?1 ? 6% ? x1D ,故 x2 A ? x2C ? x2 D ? 1.06 x1D

第 3 年年初该投资者拥有资金为从 D 项目收回的本金: 1.06 x2 D ,及从项目 A 中第 1

3

年投资收回的本金: 1.15 x1 A ,故有 同理第 4 年、 5 年有约束为 第

x3 A ? x3 B ? x3 D ? 1.15x1 A ? 1.06 x2 D

(3)

x4 A ? x4 D ?1 . 1 5x2 A ? 1 . 0x6D 3, x5 D ? 1.15 x3 A ? 1.06 x4 D

(4)
(5)

至此,根据第二章所做的一般模型可得出标准模型,如下:
max Z ? 1.15 x4 A ? 1.25 x3B ? 1.40 x2C ? 1.06 x5 D

x1 A ? x1D ? 1.06 x ? x ? 1.15 x
1D 1A

? 1000000
2A

?x

? 1.06 x

2C

?x

2D

?0 ?x ?x ?
3A 3B

? 1.15 x

2D

2A

x3 D ? 0 ? 1.06 x ? x ? x
3D

? 1.15 x

x2C ? 300000 x ? 400000 xiA , xiB , xiC , x ? ? (i ? 1,2,3,4,5) iD
3B

3A

? 1.06 x

4A

4D

?0
5D

4D

?x

?0

第四章 模型的求解
基于第三章所建立的模型,可利用 MATLAB 进一步来进行问题的最终求解, 将模型转化为 MATLAB 程序代码如下: c=[0,0,0,-1.40,0,0,-1.25,0,-1.15,0,-1.06]; A=[0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0]; b=[300000,400000]; Aeq=[1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0; 0,-1.06,1,1,1,0,0,0,0,0,0; -1.15,0,0,0,-1.06,1,1,1,0,0,0; 0,0,-1.15,0,0,0,0,-1.06,1,1,0; 0,0,0,0,0,-1.15,0,0,0,-1.06,1]; Beq=[1000000,0,0,0,0]; VLB=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0];
4

VUB=[]; [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,Beq,VLB,VUB); 运行后我们可知求解结果为: 第一年: x1 A ? 574670 第二年: x 2 A ? 150850 第三年: x3 A ? 152570 第四年: x 4 A ? 288270 第五年: x5 D ? 175460 到第五年末该投资者收回本利共 1437500 元,即盈利为 43.75%,净赚金额为 437500 元,容易计算的其盈利为 w=43.75%,盈利值在一般经济活动中已经不算太 低,因此,这种方案的可行性比较高。
x1D ? 425330
x 2C ? 300000 x3 B ? 400000

x2 D ? 0
x3 D ? 108300

x4 D ? 0

第五章 总结
投资决策是企业发展战略的重要组成部分,在进行投资组合选择时,如何选择 最优的投资方案,是投资者首先要考虑的问题。把线性规划知识运用到企业中去, 可以使企业适应市场激烈的竞争,及时、准确、科学地制定生产计划、投资计划、 对资源进行合理配置。同时利用 MATLAB 这种先进的科学计算软件对大量的基础 数据进行计算,使得决策严格建立在理论基础之上,提高了企业决策的科学性和可 靠性。从而使企业能够在生产的各个环节中优化配置,提高了企业的效率,对企业 是大有益处的。

参考文献

[1] 范国兵.决策者的线性规划模型及其应用[M].长沙:湖南教育出版社,2010. [2] 曹弋 MATLAB 实用教程(第 2 版) . [3] 姜启源,谢金星 ,叶俊 数学建模(第三版).

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