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一道考题的评析


一道高三检测题的评析与反思
李军祥 在高三第二次检测考试中,有这样一道基础题(20 题的(1)小题) : 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 (0<b<2 2 )的左顶点为 C, 垂直 y 轴的直线交椭圆 8 b

于 P、Q 两点,且△CPQ 面积的最大值为 2 . 求椭圆的方程? 这本该是一道较容易的送分题, 但从评卷过程中发

现, 全年级理科 1200 多学生中仅有 30 人做正确,答对率为 2.5﹪.简单题怎么会出现这么大的反 差呢? 做错原因分析如下: 1.画错△CPQ 位置,将垂直 y 轴的直线 PQ 画成与 x 轴垂直,导致计算过 程“风马牛不相及” ; 2.椭圆与园的概念不清,求出的方程竟是园的方程; 3.对“函数思想”理解不到位,不能设量建立目标函数,用函数方法求 出面积最大时 b 的取值,想当然地胡乱分析一通,结果错误百出。 这说明我们的教学重知识、轻能力,没有真正培养起学生分析问题、解 决问题的基本技能。学生遇到这样的具体问题,不知从何处下手,目标不明 确,想当然解题。 y 下面具体分析如何求解: ( 法 一 ) 设 PQ 的 直 线 方 程 为 y=m, 将 其 代 入 椭 圆 方 程 中 , 得 Q P 8(b 2 ? m 2 ) 2 x ? ,从而有 2

b

C

x 0

PQ ?

4 2(b ? m ) b
2 2

S PQC ?

2 2 2 2 2 1 4m 2(b ? m ) 4 2 ? m (b ? m ) 4 2 (m 2 ? b 2 ? m 2 ) ? ? ? 2 b b 2b

=2 2 b,因此 2 2 b=2,b= 2 .

故椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 8 2

点评:此解法设取了基本量 m,建立了面积关于 m 的目标函数,利用均 值不等式求出了最大面积(也可利用二次函数性质解得) 。 (法二)设 P(s,t) ,则 Q(-s,t),△CPQ 面积 S ?

1 ? 2 s ? t ? st . 2

又∵

st s2 t 2 ,∴ st ? 2b ? 2 ,即 b= 2 . ? 2 ?1? 2 8 b 2 2b
x2 y2 ? ? 1. 8 2

故椭圆的方程为

点评:此法建立了二元(s,t)目标函数,利用平方不等式整体解之,比 法一要简单些,说明合理使用整体思维有利于优化解题过程。 通过以上分析可看出,此题解答较简单,运算量也不大,但我们的学生 在考试中却完成的较差。这就要求我们在今后的复课中,降低要求,以学生 为中心,夯实基础,努力提高学生分析问题、解决问题的基本技能,真正培 养学生的应用意识和综合解题能力。

2014/1/8


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