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2017上海高考数学宝山二模数学试卷


徐汇中学数学试卷三
一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分,第 1 ? 6 题每题 4 分,第 7 ? 12 题每题 5 分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.若集合 A ? ?x | x ? 0? , B ? ?x | x ? 1 ? ,则 A ? B ? ____________ 2.已知复数 z 满足 2i ? z ? 1 ? i (

i 为虚数单位) ,则 z ? ____________ 3.函数 f ? x ? ?

sin x cos x 的最小正周期是____________ cos x sin x

x2 y 2 ? 1? a ? 0 ? 的一条渐近线方程 y ? 3x ,则 a ? ____________ 4.已知双曲线 2 ? a 81
5.若圆柱的侧面展开图是边长为 4 的正方形,则圆柱的体积为____________

?x ? y ? 0 ? 6.已知 x, y 满足 ? x ? y ? 2 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值是____________ ?x ? 2 ? 0 ?
7.直线 ?

? x ? t ?1 ? x ? 3cos ? ( t 为参数) 与曲线 ? ( ? 为参数) 的交点个数是____________ ?y ? 2 ?t ? y ? 2sin ?
?2 x ? x ? 0 ? ? ??? ?1 的反函数是 f ? x ? ,则 f ?1 ? ? ? ____________ ?2? ? ?log 2 x ? 0 ? x ? 1?
2 3 n

8.已知函数 f ? x ? ? ?

9. 设多项式 1 ? x ? ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? ? ? ?1 ? x ? 数为 Tn ,则 lim

? x ? 0, n ? N ? 的展开式中 x 项的系
*

n ??

Tn ? ____________ n2

10.生产零件需要经过两道工序,在第一、第二道工序中产生的概率分别为 0.01 和 p ,每 道工序产生废品相互独立, 若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是 0.9603, 则p? ____________

11.设向量 m ? ? x, y ? , n ? ? x, ? y ? , P 为曲线 m ? n ? 1? x ? 0 ? 上的一个动点,若点 P 到 直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离大于 ? 恒成立,则实数 ? 的最大值为____________
1

??

?

?? ?

12.设 x1 , x2 ,?, x10 为 1,2, ? ,10 的一个排列, 则满足对任意正整数 m, n , 且 1 ? m ? n ? 10 , 都有 xm ? m ? xn ? n 成立的不同排列的个数为____________

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分,每题 5 分)每题有且只有一个正 确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
13.设 a, b ? R ,则“ a ? b ? 4 ”是“ a ? 1 且 b ? 3 ”的( A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 )

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分又不必要条件

? PAC 在该正方体各 14.如图, P 为正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中 AC1 与 BD 1 的交点,则
个面上的射影可能是( )

A. ①②③④

B.①③

C. ①④

D.②④

15.如图,在同一平面内,点 P 位于两平行直线 l1 , l2 同侧,且 P 到 l1 , l2 的距离分别为 1, 3.点 M , N 分别在 l1 , l2 上, PM ? PN ? 8 ,则 PM ? PN 的最大值为( A. 15 B. 12 C. 10 D. 9

???? ? ????

???? ? ??? ?



2

16.若存在 t ? R 与正数 m ,使 F ?t ? m? ? F ?t ? m? 成立,则称“函数 F ? x ? 在 x ? t 处 存在距离为 2 m 的对称点” ,设 f ? x ? ?

x2 ? ? ? x ? 0 ? ,若对于任意 t ? x

?

2, 6 ,总存

?

在正数 m ,使得“函数 f ? x ? 在 x ? t 处存在距离为 2 m 的对称点” ,则实数 ? 的取值范 围是( A. )

? 0, 2?

B. ?1, 2?

C. ?1, 2?

D. ?1, 4?

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分)解答下列各题必须在答题纸的相 应位置写出必要的步骤.
17.(本题满分 14 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分)

E 、 F 分别是线段 BC 、 CD1 的中点. 如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,

(1)求异面直线 EF 与 AA1 所成角的大小; (2)求直线 EF 与平面 AA 1B 1B 所成角的大小. 18.(本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? ,其准线方程为 x ? 1 ? 0 ,直线 l 过点 T ? t ,0?? t ? 0? 且
2

与抛物线交于 A 、 B 两点, O 为坐标原点. (1)求抛物线方程,并证明: OA ? OB 的值与直线 l 倾斜角的大小无关; (2)若 P 为抛物线上的动点,记 PT 的最小值为函数 d ? t ? ,求 d ? t ? 的解析式.

??? ? ??? ?

3

19.(本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 对于定义域为 D 的函数 y ? f ? x ? ,如果存在区间 ?m, n? ? D ? m ? n? ,同时满足: ① f ? x ? 在 ?m, n? 内是单调函数;②当定义域是 ?m, n? 时, f ? x ? 的值域也是 ?m, n? 则 称函数 f ? x ? 是区间 ?m, n? 上的“保值函数”. (1)求证:函数 g ? x ? ? x ? 2x 不是定义域 ?0,1? 上的“保值函数” ;
2

(2)已知 f ? x ? ? 2 ? 值范围.

1 1 ? 2 ? a ? R, a ? 0 ? 是区间 ?m, n? 上的“保值函数” ,求 a 的取 a a x

20.(本题满分 16 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 数列 ?an ? 中, 已知 a1 ? 1, a2 ? a, an?1 ? k ?an ? an ?2 ? 对任意 n ? N 都成立, 数列 ?an ?
*

的前 n 项和为 Sn .(这里 a, k 均为实数) (1)若 ?an ? 是等差数列,求 k ; (2)若 a ? 1, k ? ?

1 ,求 Sn ; 2

( 3 )是否存在实数 k ,使数列 ?an ? 是公比不为 1 的等比数列,且任意相邻三项

am , am?1 , am?2 按某顺序排列后成等差数列?若存在,求出所有 k 的值;若不存在,请说
明理由.

4

参考答案
1.

(0,1)

2.1 3.

?
2 2

4.3

5. 5.1

6. 3

7. 2

8. - 1

9.

1 10. 0.03 2

11. 14. C

12.512 15.A 16.A

13. B

17. (1) arctan 2

(2) arctan

2 2

18.(1) y 2 ? 4 x ,证明略 (2) d (t) ? ?

? ?2 t ? 1, (t ? 2) ? ? t , (0 ? t ? 2)

19. (1)证明略

1 3 或a < 2 2 1 20. (1) k ? 2
(2) a >

?2 ? n(n ? 2k ? 1, k ? N ? ) (2) Sn ? ? ? ? n, (n ? 2k , k ? N )
(3) k ? ?

2 5

21.(1) A1 为有界集合,上界为 1; A2 不是有界集合 (2) u ? (3) ? ?

1 ? 1 1? , m ? ?? , ? 4 ? 2 2? 1 5

解析: (2)设 a0 ? m, a1 ? f ? m? , an ? f ? an?1 ? , n ? 1,2,3,... ,则 an ? fn ? m?

5

1 1? 1 ? 2 ∵ a1 ? f ? m ? ? m ? u ? ,则 a2 ? a1 ? a1 ? a1 ? u ? ? a1 ? ? ? u ? ? 0 4 2? 4 ?
2

2

且 an ? an?1 ? ? an?1 ?

? ?

1? 1 ? ? u ? ? 0 ? an ? an?1 2? 4

2

* * 若 B ? f n ? m ? | n ? N 为有界集合,则设其上界为 M 0 ,既有 an ? M0 , n ? N

?

?



an ? an ? an?1 ? an?1 ? an?2 ? ... ? a2 ? a1 ? a1 ? ? an ? an?1 ? ? ? an?1 ? an?2 ? ? ... ? ? a2 ? a1 ? ? a1
2 2 2

1? 1 ? 1? 1 1? 1 ? ? ? ? an?1 ? ? ? u ? ? ? an?2 ? ? ? u ? ? ... ? ? a1 ? ? ? u ? ? m2 ? u 2? 4 ? 2? 4 2? 4 ? ?
2 2 2 ?? ? 1? ? 1? 1? 1? 1? ? ? ? ? ?? an ?1 ? ? ? ? an ? 2 ? ? ? ... ? ? a1 ? ? ? m 2 ? ? n ? u ? ? ? u ? n ? u ? ? ? u 2? ? 2? 2? 4? 4? ? ? ? ?? ? ? ?

若 an ? M 0 恒成立,则 n ? u ?

? ?

1 1 1? ? ? u ? M 0 恒成立,又 u ? 4 ? u ? 4 ? 0 4?

1 1 2 ,∴ f ? x ? ? x ? 4 4 1 设m ? ?? 2
∴u ?

1 ?1 ? 1 ?1 ? (i) ? ? 0 ,则 a1 ? a0 ? f ? m ? ? m ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? a1 ? a0 ? 2 ?2 ? 4 ?2 ?
∴ an ? an ?1 ? ... ? a1 ? m ?

2

1 2
2

1 1? ? 记 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? ? x ? ? ,则当 x1 ? x2 ? 时, g ? x1 ? ? g ? x2 ? 2 2? ?
∴ g ? an?1 ? ? f ? an?1 ? ? an?1 ? an ? an?1 ? g ? m? ? a1 ? a0 ? ? ∴ an ? a1 ? ?
2 2

? n ?1? ,若 an

? M 0 恒成立,则 ? ? 0 ,矛盾。

6

(ii) ? ? 0 ,由(i)可知 an ? an ?1 ? ... ? a1 ? m ?

1 ,满足题意。 2

? ? 0, (iii) 同样有 a1 ? a0 ? f ? m ? ? m ? ?
若 a1 ?

?1 ? 1 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? a1 ? a0 ? ? 2 ?2 ? 4 ?2 ?

2

1 1 1 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ?1 ,则由(i)可知, ? ? 0 ,不可能。 2 2 2 1 1 1 若 ? ? ?1 ,则 m ? ? , a1 ? ,则由(ii)可知, an ? an ?1 ? ... ? a1 ? ,满足题意。 2 2 2

1? 1 ? 1 ? ? 若 ?1 ? ? ? 0 ,则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,0 ? ,则 2? 4 ? 4 ? ?
2

2

a1 ? a0 ? ? 2 ? m ? ? 2 ?

1 ?1 1? ? ? ? ?2 ?? , ? 2 ?4 2?

1 1 ? ?1 ,故存在 ?2 ? ? ?1,0? ,使得 a2 ? ? ?2 2 2 1 以此类推,存在 ?n ? ? ?1,0? ,使得 an ? ? ?n 2 1 1 1 * ∴此时 ? a1 ? a2 ? ... ? an ? ,若 an ? M0 , n ? N ,则 M 0 可取 ,满足题意。 4 2 2
则存在 ?1 ? ? ?1,0? ,使得 a1 ? 综上所述 ? ?? ?1,0? , m ? ? ? , ? 2 2 (3)不失一般性,不妨假设 c ? b ? a (i)若 b ?

? 1 1? ? ?

a?c ? a?c ? 。设 d ? ? ? , 2 ? 2 ?
2 2 2 2 2

2

2 ? a?c? ? a ?c ? 此时 a ? b ? c ? a ? c ? ? ? ? ?a ? c? ? ? ? ? 3ac ? 5d ? 3ac , ? 2 ? ? 2 ? 2 2



d 1 1 3ac 1 1 ? ? ? 2 2 2 ? ? ? 2 2 a ?b ?c 5 5 a ?b ?c 5 5
2

3ac a2 ?

?a ? c?
4

2

? c2

1 1 12ac ? ? ? 2 5 5 5a ? 2ac ? 5c 2

7

12ac 12 d ? 1? ? ? ? 0,1? ? y ? 2 ? ? 0, ? 2 2 2 2 2 5a ? 2ac ? 5c a ?b ?c ? 5? ?a? ?c? 5? ? ? 2 ? 5? ? ?c? ?a?
2

猜测 y ?

1 1 ,即 ?min ? 5 5
2

(ii)若 a ? b ? b ? c ,即 a ? 2b ? c ? 0 时, d ? ? b ? c ? 此时

5d ? ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 5 ? b ? c ? ? ? a 2 ? b2 ? c 2 ? ? 5 ? b ? c ? ? ? 2b ? c ? ? ? b 2 ? c 2 ? ? ?6bc ? 3c 2 ? 0
2 2 2



d 1 ? 2 2 a ?b ?c 5
2
2

(iii)若 a ? b ? b ? c ,即 0 ? a ? 2b ? c ? 2b 时, d ? ? a ? b ? 此时

5d ? ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 5 ? a ? b ? ? ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 4a 2 ? 10ab ? 4b 2 ? c 2 ? 2 ? a ? 2b ?? 2a ? b ? ? c 2 ?
2



d 1 ? 2 2 a ?b ?c 5
2

综上所述, 0 ? y ? 存在, ? ?

1 d ? ? ,∴集合 C ? ? y | y ? 2 , a、b、c均为正数? 的上界 ? 2 2 5 a ?b ?c ? ?

1 5

8


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