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2014年北京高考理科数学试题详解


2014 年普通高等学校招生全国统一考试数学(理) (北京卷)
第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项. 1.(2014 北京,理 1)已知集合 A={x|x2-2x=0},B={0,1,2},则 A∩B=( ). A.{0} B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1

,2} 答案:C 解析:解 x2-2x=0,得 x=0,x=2,故 A={0,2},所以 A∩B={0,2},故选 C. 2.(2014 北京,理 2)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ). A. y = x ? 1 - C.y=2 x 答案:A B.y=(x-1)2 D.y=log0.5(x+1)

解析:A 项, y= x ? 1 为(-1,+∞)上的增函数,故在(0,+∞)上递增; B 项,y=(x-1)2 在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增; C 项, y =2? x = ? ? 为 R 上的减函数; D 项,y=log0.5(x+1)为(-1,+∞)上的减函数. 故选 A. 3.(2014 北京,理 3)曲线 ? A.在直线 y=2x 上 C.在直线 y=x-1 上 答案:B 解析:由已知得 ?

?1? ?2?

x

? x= ?1 ? cos ? , (θ 为参数)的对称中心( ? y ? 2 ? sin?
B.在直线 y=-2x 上 D.在直线 y=x+1 上

).

消参得(x+1)2+(y-2)2=1. 所以其对称中心为(-1,2). 显然该点在直线 y=-2x 上.故选 B. 4. (2014 北京, 理 4)当 m=7, n=3 时, 执行如图所示的程序框图, 输出的 S 值为(

?cos? ? x ? 1, ?sin? ? y ? 2,

).

A.7 B.42 C.210 答案:C 解析:开始:m=7,n=3. 计算:k=7,S=1.

D.840

第一次循环,此时 m-n+1=7-3+1=5,显然 k<5 不成立,所以 S=1×7=7,k=7 -1=6. 第二次循环,6<5 不成立,所以 S=7×6=42,k=6-1=5. 第三次循环,5<5 不成立,所以 S=42×5=210,k=5-1=4. 显然 4<5 成立,输出 S 的值,即输出 210,故选 C. 5.(2014 北京,理 5)设{an}是公比为 q 的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的 ( ). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:D 解析:等比数列{an}为递增数列的充要条件为 ? 为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选 D.

?a1 ? 0, ?a1 ? 0, 或? 故“q>1”是“{an} ?q ? 1 ?0 ? q ? 1.

? x ? y ? 2 ? 0, ? 6. (2014 北京, 理 6)若 x, y 满足 ? kx ? y ? 2 ? 0, 且z ? y ? x 且 z=y-x 的最小值为-4, ? y ? 0, ?
则 k 的值为( A.2 答案:D 解析:如图,作出 ? ). B.-2 C.

1 2

D. ?

1 2

? x ? y ? 2 ? 0, 所表示的平面区域,作出目标函数取得最小值-4 时 ?y ? 0

对应的直线 y-x=-4, 即 x-y-4=0.显然 z 的几何意义为目标函数对应直线 x-y+z=0 在 x 轴上的截距的相反数, 故该直线与 x 轴的交点(4,0)必为可行域的顶点, 又 kx-y+2=0 恒过 点(0,2),故 k ?

2?0 1 ? ? .故选 D. 0?4 2

7.(2014 北京,理 7)在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),

D(1,1, 2) .若 S1,S2,S3 分别是三棱锥 D-ABC 在 xOy,yOz,zOx 坐标平面上的正投影图
形的面积,则( ). A.S1=S2=S3 B.S2=S1 且 S2≠S3 C.S3=S1 且 S3≠S2 D.S3=S2 且 S3≠S1 答案:D 解析: 三棱锥的各顶点在 xOy 坐标平面上的正投影分别为 A1(2,0,0), B1(2,2,0), C1(0,2,0), D1(1,1,0).显然 D1 点为 A1C1 的中点,如图(1),正投影为 Rt△A1B1C1,其面积 S1= =2.

1 ×2×2 2

三棱锥的各顶点在 yOz 坐标平面上的正投影分别为 A2(0,0,0),B2(0,2,0),C2(0,2,0),

1 D2 (0,1, 2) .显然 B2,C2 重合,如图(2),正投影为△A2B2D2,其面积 S 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 . 2
三棱锥的各顶点在 zOx 坐标平面上的正投影分别为 A3(2,0,0),B3(2,0,0),C3(0,0,0),

1 D3 (1,0, 2) ,由图(3)可知,正投影为△A3D3C3,其面积 S3 ? ? 2 ? 2 ? 2 . 2
综上,S2=S3,S3≠S1.故选 D.

图(1)

图(2)

图(3) 8.(2014 北京,理 8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合 格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于 乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好, 并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( ). A.2 人 B.3 人 C.4 人 D.5 人 答案:B 解析:用 A,B,C 分别表示优秀、及格和不及格.显然,语文成绩得 A 的学生最多只 有一人,语文成绩得 B 的也最多只有 1 人,得 C 的也最多只有 1 人,所以这组学生的成绩为 (AC),(BB),(CA)满足条件,故学生最多为 3 人. 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

? 1? i ? 9.(2014 北京,理 9)复数 ? ? =__________. ? 1? i ?
答案:-1

2

1? i (1 ? i)2 2i ? 1? i ? 解析: ? ? ? i ,所以 ? ? i2 ? ?1 . ? 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2 ? 1? i ?
10.(2014 北京,理 10)已知向量 a,b 满足|a|=1,b=(2,1),且 λa+b=0(λ∈R),则|λ|

2

=__________. 答案: 5 解析: |b| 22 ? 12 ? 5 ,由 λa+b=0,得 b=-λa,故|b|=|-λa|=|λ||a|,所以

|?| ?

|b| 5 ? ? 5. |a| 1
y2 ? x 2 ? 1 具有相同渐近线,则 C 4

11.(2014 北京,理 11)设双曲线 C 经过点(2,2),且与 的方程为__________;渐近线方程为__________.

x2 y 2 ? ? 1 y=± 答案: 2x 3 12 y2 ? x 2 ? 1的渐近线方程为 y=± 解析:双曲线 2x. 4 y2 y2 ? x 2 ? 1 有共同渐近线的方程为 ? x 2 ? ? , 设与双曲线 4 4 2 2 ? 22 =? ,解得 λ=-3. 又(2,2)在双曲线上,故 4 2 y x2 y2 2 ? x ? ?3 ,即 ? =1 . 故所求双曲线方程为 4 3 12
所求双曲线的渐近线方程为 y=± 2x. 12. (2014 北京, 理 12)若等差数列{an}满足 a7+a8+a9>0, a7+a10<0, 则当 n=__________ 时,{an}的前 n 项和最大. 答案:8 解析:由等差数列的性质可得 a7+a8+a9=3a8>0,即 a8>0;而 a7+a10=a8+a9<0, 故 a9<0.所以数列{an}的前 8 项和最大. 13.(2014 北京,理 13)把 5 件不同产品摆成一排.若产品 A 与产品 B 相邻,且产品 A 与产品 C 不相邻,则不同的摆法有__________种. 答案:36
4 解析:产品 A,B 相邻时,不同的摆法有 A2 2 A4 =48 种.而 A,B 相邻,A,C 也相邻时 3 的摆法为 A 在中间,C,B 在 A 的两侧,不同的摆法共有 A2 2 A3 =12 (种).

故产品 A 与产品 B 相邻,且产品 A 与产品 C 不相邻的不同摆法有 48-12=36(种). 14.(2014 北京,理 14)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0).若 f(x) 在区间 ? , ? 上具有单调性,且 f ? ? ? f ? ? ? f ? ? , 则 f(x) 的 最 小 正 周 期 为 ?6 2? ?2? ? 3 ? ?6? __________. 答案:π

?π π?

?π?

? 2π ?

?π?

?π π? ?π? ?π? 上具有单调性,且 f ? ? ? ? f ? ? 知, f(x) 有对称中心 ? ?6 2? ?2? ?6? 1?π 2 ? 7 ?π ? ?π? ?2 ? 由 f ? ? ? f ? π ? 知 f(x)有对称轴 x ? ? ? π ? ? π .记 f(x)的最小正周期为 ? ,0?, 2 ? 2 3 ? 12 ?3 ? ?2? ?3 ? 2 1 π π 7 π π T π ? ? ? ,解得 T=π. T,则 T ? ? ,即 T ? π .故 3 2 2 6 12 3 4 4
解析: 由 f(x) 在区间 ? , 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题 13 分)(2014 北京,理 15)如图,在△ABC 中, ?B ?

π ,AB=8,点 D 在 3

BC 边上,且 CD=2, cos?ADC ?

1 . 7

(1)求 sin∠BAD; (2)求 BD,AC 的长. 分析:(1)先利用三角形中角之间的关系可得∠BAD=∠ADC-∠B,然后即可利用两角 差的正弦公式求解;(2)在△ABD 中,根据正弦定理,结合(1)即可求得 BD,然后在△ABC 中, 直接利用余弦定理求 AC 即可. 解:(1)在△ADC 中,因为 cos?ADC ? 所以 sin?ADC =

1 , 7

4 3 . 7

所以 sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B =

4 3 1 1 3 3 3 . ? ? ? ? 7 2 7 2 14
8?

(2)在△ABD 中,由正弦定理得

3 3 AB ? sin?BAD 14 ? 3 . BD= ? sin?ADB 4 3 7
在△ABC 中, 由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos B=82+52-2×8×5×

1 =49. 2

所以 AC=7. 16.(本小题 13 分)(2014 北京,理 16)李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设 各场比赛相互独立): 场次 投篮次数 命中次数 场次 投篮次数 命中次数 22 12 18 8 主场 1 客场 1 15 12 13 12 主场 2 客场 2 12 8 21 7 主场 3 客场 3 23 8 18 15 主场 4 客场 4 24 20 25 12 主场 5 客场 5 (1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率; (2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过 0.6,一 场不超过 0.6 的概率; (3)记 x 为表中 10 个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记 X 为李明在这 场比赛中的命中次数.比较 EX 与 x 的大小.(只需写出结论) 分析:(1)先根据统计表格求出投篮命中率,确定投篮命中率超过 0.6 的场数,然后除以 总场数 10 即可得所求; (2)先根据统计表格分别求出主场、 客场的投篮命中率超过 0.6 的概率, 然后根据主场、客场将所求事件分为两个互斥事件,即可利用相互独立事件同时成立的概率

求解;(3)根据数学期望的计算公式即可得到 EX 与 x 的大小关系. 解:(1)根据投篮统计数据,在 10 场比赛中,李明投篮命中率超过 0.6 的场次有 5 场,分 别是主场 2,主场 3,主场 5,客场 2,客场 4. 所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0.5. (2)设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”,事件 B 为 “在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”,事件 C 为“在随机选择的一 个主场和一个客场中, 李明的投篮命中率一场超过 0.6, 一场不超过 0.6”, 则 C ?A B ? A B A,B 独立. 根据投篮统计数据, P ? A ?= , P ? B ?= . P(C)= P ? C ?=P(AB )+P ( AB ) ? ,

3 5

2 5

3 3 2 2 13 ? ? ? ? . 5 5 5 5 25

所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不超 过 0.6 的概率为

13 . 25

(3) EX=x . 17. (本小题 14 分)(2014 北京, 理 17)如图, 正方形 AMDE 的边长为 2, B, C 分别为 AM, MD 的中点.在五棱锥 P-ABCDE 中,F 为棱 PE 的中点,平面 ABF 与棱 PD,PC 分别交于 点 G,H.

(1)求证:AB∥FG; (2)若 PA⊥底面 ABCDE,且 PA=AE,求直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小,并求线段 PH 的长. 分析:(1)首先利用 AM∥ED 得到 AB∥平面 PDE,然后利用直线和平面平行的性质定理 证明结论;(2)首先根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,然后求 出直线 BC 的方向向量和平面 ABF 的法向量,利用这两个向量的夹角表示所求,再根据 H 在 PC 上,设出 H 的坐标,然后利用平面 ABF 的法向量与 AH 垂直确定参数取值,进而求出 H 点的坐标,最后利用坐标公式求得线段长度. (1)证明:在正方形 AMDE 中,因为 B 是 AM 的中点, 所以 AB∥DE. 又因为 AB?平面 PDE,所以 AB∥平面 PDE. 因为 AB?平面 ABF,且平面 ABF∩平面 PDE=FG, 所以 AB∥FG. (2)解:因为 PA⊥底面 ABCDE,所以 PA⊥AB,PA⊥AE. 如图建立空间直角坐标系 A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),

????

??? ? BC ? ?1,1,0 ? .

设平面 ABF 的法向量为 n=(x,y,z),则

??? ? ? ?n ? AB ? 0, ? x ? 0, 即? ? ? ??? ? ?n ? AF ? 0, ? y ? z ? 0.

令 z=1,则 y=-1.所以 n=(0,-1,1). 设直线 BC 与平面 ABF 所成角为 α,则

??? ? ??? ? n ? BC 1 ??? ? ? . sin α=|cos〈n, BC 〉|= | n || BC | 2
因此直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小为 设点 H 的坐标为(u,v,w).

π . 6

因为点 H 在棱 PC 上,所以可设 PH ? ? PC (0<λ<1), 即(u,v,w-2)=λ(2,1,-2), 所以 u=2λ,v=λ,w=2-2λ. 因为 n 是平面 ABF 的法向量, 所以 n ? AH ? 0 ,即(0,-1,1)· (2λ,λ,2-2λ)=0,解得 ? ? 所以点 H 的坐标为 ? , , ? .

????

??? ?

????

2 , 3

?4 2 2? ?3 3 3?
2

?4? ?2? ? 4? 所以 PH ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 . ?3? ?3? ? 3?
18.(本小题 13 分)(2014 北京,理 18)已知函数 f(x)=xcos x-sin x, x ? ?0, ? . 2 (1)求证:f(x)≤0;

2

2

? π? ? ?

sin x ? π? ? b 对 x ? ?0, ? 恒成立,求 a 的最大值与 b 的最小值. x ? 2? π ? π? 分析:(1)先求出导函数 f′(x),利用导函数在 (0, ) 上的符号判断 f(x)在 ?0, ? 上的单调 2 ? 2?
(2)若 a ? 性,并求出其最大值,即可证得结论;(2)根据 x>0,将不等式转化为整式不等式,进而转化 为 g ? x ?=sin x ? cx( x ? (0, )) 与 0 的大小关系,注意对参数 c 的取值要分 c≤0,c≥1 和 0 <c<1 三种情况进行分类讨论,然后利用边界值求出 a 的最大值与 b 的最小值. (1)证明:由 f(x)=xcos x-sin x 得 f′(x)=cos x-xsin x-cos x=-xsin x. 因为在区间 (0, ) 上 f′(x)=-xsin x<0,

π 2

π 2

所以 f(x)在区间 ?0, ? 上单调递减. 2 从而 f(x)≤f(0)=0. (2)解:当 x>0 时,“

? π? ? ?

sinx sinx ? a ”等价于“sin x-ax>0”;“ ? b ”等价于“sin x x x

-bx<0”. 令 g(x)=sin x-cx,则 g′(x)=cos x-c.

? π? ? ? ? π? 当 c≥1 时,因为对任意 x ? ?0, ? ,g′(x)=cos x-c<0, ? 2? ? π? 所以 g(x)在区间 ?0, ? 上单调递减. ? 2? π 从而 g(x)<g(0)=0 对任意 x ? (0, ) 恒成立. 2 π 当 0<c<1 时,存在唯一的 x ? (0, ) 使得 g′(x0)=cos x0-c=0. 2 π g(x)与 g′(x)在区间 (0, ) 上的情况如下: 2 ?x0,π? x x0 (0,x0) 2? ?
当 c≤0 时,g(x)>0 对任意 x ? ?0, ? 恒成立. 2 g′(x) + g(x) ? 因为 g(x)在区间[0,x0]上是增函数, 所以 g(x0)>g(0)=0. 0 -

?

进一步,“g(x)>0 对任意 x ? (0, ) 恒成立”当且仅当 g ?

π 2

π ?π? ? ? 1 ? x ? 0 ,即 2 ?2?

0?c?

2 . π
2 π 时,g(x)>0 对任意 x ? (0, ) 恒成立;当且仅当 c≥1 时,g(x) π 2

综上所述,当且仅当 c ?

<0 对任意 x ? (0, ) 恒成立.

π 2 2 sin x π ? b 对任意 x ? (0, ) 恒成立,则 a 的最大值为 ,b 的最小值为 1. 所以,若 a ? π x 2

19.(本小题 14 分)(2014 北京,理 19)已知椭圆 C:x2+2y2=4. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在椭圆 C 上,点 B 在直线 y=2 上,且 OA⊥OB,试判断直线 AB 与圆 x2+y2=2 的位置关系,并证明你的结论. 分析:(1)先把方程化为标准方程,分别求出 a,c,即可求得离心率 e;(2)分别设出 A, B 两点的坐标,先利用 OA⊥OB 求出两点坐标之间的关系,然后根据 A,B 两点横坐标是否 相等分类,分别求出原点 O 到直线 AB 的距离,将其与圆的半径 2 进行比较,即可判断直 线与圆的位置关系.

x2 y2 ? =1 . 解:(1)由题意,椭圆 C 的标准方程为 4 2

所以 a2=4,b2=2,从而 c2=a2-b2=2. 因此 a=2, c ?

2.
c 2 . ? a 2

故椭圆 C 的离心率 e ?

(2)直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切.证明如下: 设点 A,B 的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中 x0≠0. 因为 OA⊥OB,所以 OA ? OB ? 0 ,即 tx0+2y0=0,解得 t ? ? 当 x0=t 时, y0 ? ?

??? ? ??? ?

2 y0 . x0

t2 ,代入椭圆 C 的方程,得 t ? ? 2 , 2 故直线 AB 的方程为 x ? ? 2 , 圆心 O 到直线 AB 的距离 d ? 2 ,此时直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切. y ?2 当 x0≠t 时,直线 AB 的方程为 y ? 2= 0 (x-t), x0 ? t
即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0. 圆心 O 到直线 AB 的距离 d ? 又 x02 +2y02 ? 4 , t ? ?

| 2 x0 ? ty0 |

? y0 ? 2?2 ? ? x0 ? t ?2

.

2 y0 , x0
? 4 ? x0 2 x0 x0 4 ? 8 x0 2 ? 16 2 x0 2 ? 2.

2 x0 ?
故d ?

2 y0 2 x0

4y 2 x0 2 ? y0 2 ? 0 ?4 x0 2

此时直线 AB 与圆 x2+y2=2 相切. 20.(本小题 13 分)(2014 北京,理 20)对于数对序列 P:(a1,b1),(a2,b2),?,(an,bn), 记 T1(P)=a1+b1,Tk(P)=bk+max{Tk-1(P),a1+a2+?+ak}(2≤k≤n),其中 max{Tk-1(P), a1+a2+?+ak}表示 Tk-1(P)和 a1+a2+?+ak 两个数中最大的数. (1)对于数对序列 P:(2,5),(4,1),求 T1(P),T2(P)的值; (2)记 m 为 a,b,c,d 四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序 列 P:(a,b),(c,d)和 P′:(c,d),(a,b),试分别对 m=a 和 m=d 两种情况比较 T2(P)和 T2(P′)的大小; (3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个 数对序列 P 使 T5(P)最小,并写出 T5(P)的值.(只需写出结论) 分析:(1)直接根据定义式即可求出 T1(P)和 T2(P)的值;(2)先根据定义式分别写出 T2(P) 和 T2(P′),然后根据 a,b,c,d 中最小数的不同比较对应两个代数式的大小,即可求得 T2(P) 和 T2(P′)的大小关系; (3)先比较已知数据大小, 然后根据定义式写出使 T5(P)最小的数对序列, 依次求出 T1(P),T2(P),T3(P),T4(P),T5(P)即可. 解:(1)T1(P)=2+5=7, T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8. (2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d}, T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}. 当 m=a 时,T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b. 因为 a+b+d≤c+b+d,且 a+c+d≤c+b+d,所以 T2(P)≤T2(P′). 当 m=d 时,T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b. 因为 a+b+d≤c+a+b,且 a+c+d≤c+a+b,所以 T2(P)≤T2(P′).

所以无论 m=a 还是 m=d,T2(P)≤T2(P′)都成立. (3)数对序列 P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的 T5(P)值最小, T1(P)=10,T2(P)=26,T3(P)=42,T4(P)=50,T5(P)=52.


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