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排列组合概率(教师版)


排列组合,二项式定理
排列组合 高考:要求不是很高,排列,组合,二项式,概率,期望,方差。 知识点: 1. 组合数性质
n?m m?1 r r ?1 r r r r n , Cm Cm ? Cm n ? Cn n ? Cn n ?1 , ? C n ? 2 , rCn ? nCn ?1 , Cr ? Cr ?1 ? Cr ? 2 ?
r ?0 n

r />
r ?1 ? Cr n ? Cn ?1 .

2. 二项式展开的通项公式
n?r r T r ?1 ? Cr b (r ?0 ,1, 2 , na

, n) .

3. 几何概型 【例1】 6 个人站成一排: ⑴ 其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法? ⑵ 其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法? ⑶ 其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法? ⑷ 其中甲不站排头,且乙不站排尾有多少种不同的排法?

【例 2】有 6 本不同的书

⑴甲、乙、丙 3 人每人 2 本,有多少种不同的分法? ⑵分成 3 堆,每堆 2 本,有多少种不同的分堆方法? ⑶分成 3 堆,一堆 1 本,一堆 2 本,一堆 3 本,有多少种不同的分堆方法? ⑷分给甲、乙、丙 3 人,一人 1 本,一人 2 本,一人 3 本,有多少不同的分配 方法? ⑸分给甲 1 本、乙 1 本、丙 4 本,有多少种不同的分配方法? ⑹分成 3 堆,有 2 堆各一本,另一堆 4 本,有多少种不同的分堆方法? ⑺摆在 3 层书架上,每层 2 本,有多少种不同的摆法?
【解析】 ⑴在 6 本书中,先取 2 本给甲,再从剩下的 4 本书中取 2 本给乙,最后 2 本给

丙,
2 2 2 ? C4 ? C2 ? 90 (种) 共有 C6 .这是均匀编号分组问题
2 C6 ? C2 4 ? 15(种) .这 Α3 3

⑵6 本书平均分成 3 堆,用⑴中方法重复了Α 3 3 倍,故共有

是 均匀分组问题. ⑶从 6 本书中,先取 1 本做 1 堆,再在剩下的 5 本中取 2 本做一堆,最后 3 本 做一
2 3 堆,共有 C1 .这是非均匀分组问题 6 ? C5 ? C3 ? 60 (种)
2 3 3 ⑷在 (3) 的分堆中, 甲、 乙、 丙 3 人任取一堆, 故共有 C1 (种) . 6 ? C5 ? C3 ?Α 3 ? 360

这是非均匀编号分组问题.
1

1 ⑸甲先取 1 本,乙在剩下的取 1 本,余下 4 本给丙,故共有 C1 .这 6 C5 ? 30 (种)

是部分均匀编号分组问题. ⑹平均分堆要除以堆数的全排列数,不平均分堆则不除,故共有 (种) . 这是部分均匀分组问题. ⑺本题即为 6 本书放在 6 个位置上,共有Α 6 . 6 ? 720 (种)
【例 3】已将 7 个小球任意放入 4 个不同的盒子中,每个盒子都不空,
1 C1 6 ? C5 ? 15 Α2 2

⑴ 若 7 个小球完全相同,共有多少种不同的放法? ⑵ 若 7 个小球互不相同,共有多少种不同的放法? 7 ?1?1?1? 4 ?1?1? 2 ? 3 ?1? 2 ? 2 ? 2, 【解析】 ⑴ 法一:∵
2 1 ∴ 分三类,共有分法 C1 4 ? A4 ? C4 ? 20 ;

法二(隔板法) :将 7 个小球排成一排,插入 3 块隔板, 故共有分法 C3 6 ? 20 种; 法三(加号法) :将 7 写成 7 个 1 相加,共有 6 个加号,从中任意选定两个加号, 则这 7 个 1 被分成三组,每组的和都大于 0 ,对应一种放球的方法,故共有分法
C3 6 ? 20 种;
7? 1? 1? 1? 4? 1? 1? 2? 3? 1? 2? 2? 2 ⑵ ∵
4 7 4 4



当小球分成 7 ? 1 ? 1 ? 1 ? 4 时,有 C A 种排法;
2 3 4 C5 A 4 种排法; 当小球分成 7 ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 时,有 C7

2 2 2 1 C5 C3 C4 种排法; 当小球分成 7 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 时,有 C7
4 4 2 3 4 2 2 2 1 A4 ? C7 C5 A4 ? C7 C5 C3 C4 ? 8400 种. ∴ 共有分法 C7

也可通过平均分组考虑此问: 共有分法
4 1 1 4 C7 C3C2 A 4 C2 C3 C1 A 4 C2 C2 C2 A 4 ? 7 5 2 2 4 ? 7 5 3 3 4 ? 8400 种. 3 A3 A2 A3

2 3 4 5 6 的电影票全部分给 4 个人, 【例 4】 把一同排 6 张座位编号为 1,,,,, 每人至

少分一张,至多分两张,且这两张票具有连续的编号,那么有多少种不同的分法 ( ) B.96 C.72 D.144

A.168 【答案】D

【例 5】如图所示 A 、 B 、 C 、 D 、 E 为 5 个区域,现备有 5 种颜色为 5 个区域涂色,涂

色要求:每相邻两个区域不同色,每个区域只涂一色,共有多少种不同的涂色方法?

2

C B A E D

【解析】 分析:显然 A 处于中央,与其他区域都相接,因此它的地位比较特殊,应优先

考虑.本题可分解为三类涂法:用 5 颜色涂;用 4 种颜色涂;用 3 种颜色涂.显 然用 2 种颜色涂不可能. 解析:本题有三类涂法. 第一类:用 5 种颜色涂,显然有 A5 5 ? 120 种涂法. 第二类:用 4 种颜色涂,显然有 2 类涂法: B 与 D 涂同一色,其余三区各涂一 色; C 与 E 涂同一色,其余三区各涂一色,故涂法种数是
4 3 4 C5 ? C1 . 4 ? C3 ? 2 ? 240 ( C5 是指先选出 4 种颜色)

第三类:用 3 种颜色涂,那么 B 与 D 、 C 与 E 、 A 三部分区域各涂一色,故有
3 3 C3 . 5 ? A3 ? 60 种涂法( C5 是指先选出 3 种颜色)

综上,涂法总数是: 120 ? 240 ? 60 ? 420 种.
【例 6】集合 A ? {x | x ? 10, x ? N ? } , B 为 A 的子集,若集合 B 中元素满足以下条件:①任意数 字都不相等;②任意两个数之和不为 9 (1) B 中两位数有多少?三位数有多少? (2) B 中是否有五位数?六位数? (3)若将集合 B 的元素按从小到大的顺序排列,第 1081 个数为多少? 【解】将 0,1,2,?,9 这 10 个数字按照和为 9 进行配对,考虑(0,9),(1,8),(2,7),(3,6), (4,5), B 中元素的每个数位只能从上面五对数中每对至多取一个数构成.
2 2 1 (1)两位数有 C5 ? 22 ? A2 ? C4 ? 2 ? 72 个; 3 3 2 2 三位数有 C5 ? 23 ? A3 ? C4 ? 22 ? A2 ? 432 个;

(2)存在五位数,只需从上述五个数对中每对取一个数即可构成符合条件的五位数 ;不存在六 位数,由抽屉原理易知,若存在,则至少要从一个数对中取出两个数,则该两个数字之和为 9,与 B 中任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于矛盾,因此不存在六位数;
4 4 3 3 (3)四位数共有 C5 ? 24 ? A4 ? C4 ? 23 ? A3 ? 1728 个,因此第 1081 个元素是四位数,且是第 3 3 577 个四位数,我们考虑千位,千位为 1,2,3 的四位数有 3? C4 ? 23 ? A3 ? 576 个,因此第 1081

个元素是 4012.

【例 7】在 6 ? 6 的棋盘中停放着 3 个红色車和 3 个黑色車,每一行、每一列都只有一个車, 共有多少种停放方法?
3

A.720

B.20

C.518400

D.14400

3 解析 先排 3 个红色車,从 6 行中任取 3 行,有 C6 ? 20 种取法;在选定的 3 行中第一行有

6 种停法, 第一行选定后第二行有 5 种停法, 第二行选定后第三行有 4 种停法; 红車放定后, 黑車只有 6 种停法.故停放方法共 20 ? 6 ? 5 ? 4 ? 6 ? 14400 种.故选 D.

【例 8】某商场在店庆日进行抽奖促销活动,当日在该店消费的顾客可参加抽奖.抽奖箱中 有大小完全相同的 4 个小球, 分别标有字 “生” “意” “兴” “隆” . 顾客从中任意取出 1 个球, 记下上面的字后放回箱中,再从中任取 1 个球,重复以上操作,最多取 4 次,并规定若取出 “隆”字球,则停止取球.获奖规则如下:依次取到标有“生” “意” “兴” “隆”字的球为 一等奖;不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球,为二等奖;取到的 4 个球中 有标有“生” “意” “兴”三个字的球为三等奖. (Ⅰ)求分别获得一、二、三等奖的概率; (Ⅱ)设摸球次数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望. 【来源】2011 丰台一模理 17
B, C. (Ⅰ)设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件 A , 【解析】

则 P( A) ?

1 1 1 1 1 A3 -1 5 ? ? ? ? , P( B) ? 3 3 ? 4 256 4 4 4 4 256

三等奖的情况有:“生,生,意,兴”;“生,意,意,兴”;“生,意,兴,兴”三种 情况.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 2 2 2 P(C ) ? ( ? ? ? ? A4 ) ? ( ? ? ? ? A4 ) ? ( ? ? ? ? A4 )? . 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 64
2 ,, 3 4. (Ⅱ)设摸球的次数为 ? ,则 ? ? 1,

3 1 3 1 , P(? ? 2) ? ? ? , 4 4 16 4 3 3 1 9 3 3 3 27 , P(? ? 4) ? ? ? ? . P(? ? 3) ? ? ? ? 4 4 4 64 4 4 4 64 故取球次数 ? 的分布列为
P(? ? 1) ?

?
P

1

2

3

4

3 9 16 64 1 3 9 27 175 E? ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? . (约为 2.7) 4 16 64 64 64
4

1 4

27 64


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