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高二下学期期末理(二)


高二(下)期末数学试卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上) 1. (5 分)函数 f(x)=cos2x 的最小正周期为 . 2. (5 分)复数 的虚部是 . = , = , =,则 =

3. (5 分)直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,若 4. (5 分) △ ABC 中, “A=

”是“sinA= ”的

条件 (从“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,

“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空) . 5. (5 分)幂函数 f(x)=x (α∈R) 过点
α

,则 f(4)= (用数字作答) .

6. (5 分)五名同学站成一排,甲不站在正中间,则不同的站法有 7. (5 分)如果复数 z 满足|z﹣i|=2,那么|z+1|的最大值是 8. (5 分)函数 的单调递增区间是 . .

9. (5 分)某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率 都是 概率 10. (5 分)若 (1﹣2x)
2013

,遇到红灯时停留的时间都是 2min,则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间恰好是 4min 的 . =a0+a1x+a2x+…+ (x∈R) ,则 = .

11. (5 分)E,F 是等腰直角△ ABC 斜边 BC 上的四等分点,则 tan∠ EAF=



12. (5 分)函 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0≤φ<2π)在 R 上的部分图象如图所示,则 f(x) = .

13. (5 分)已知函数 y=f(x) (x∈(0,2) )的图象是如图所示的圆 C 的一段圆弧.现给出如下命题: ① f′ (1)=0;

1

② f′ (x)≥0; ③ f′ (x)为减函数; ④ 若 f′ (a)+f′ (b)=0,则 a+b=2. 其中所有正确命题的序号为



14. (5 分)有 n 个小球,将它们任意分成两堆,求出这两堆小球球数的乘积,再将其中一堆小球任意分成两 堆,求出这两堆小球球数的乘积,如此下去,每次都任选一堆,将这堆小球任意分成两堆,求出这两堆小球 球数的乘积,直到不能再分为止,则所有乘积的和为 . 二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (14 分) )已知 A 为锐角, ,求 cos2A 及 tanB 的值.

16. (14 分)已知函数 (1)若

,m∈R.

,求证:函数 f(x)是 R 上的奇函数;

(2)若函数 f(x)在区间(1,2)没有零点,求实数 m 的取值范围.

17. (14 分)已知命题:“?x∈{x|﹣1<x<1},使等式 x ﹣x﹣m=0 成立”是真命题, (1)求实数 m 的取值集合 M; (2)设不等式(x﹣a) (x+a﹣2)<0 的解集为 N,若 x∈N 是 x∈M 的必要条件,求 a 的取值范围. 18. (16 分)设函数 的定义域为 E,值域为 F.

2

(1)若 E={1,2},判断实数 λ=lg 2+lg2lg5+lg5﹣ (2)若 E={1,2,a},F={0, },求实数 a 的值. (3)若

2

与集合 F 的关系;

,F=[2﹣3m,2﹣3n],求 m,n 的值.

2

19. (16 分)阅读下面材料: 根据两角和与差的正弦公式,有 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣① sin(α﹣β)=sinαcosβ﹣cosαsinβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣② 由① +② 得 sin(α+β)+sin(α﹣β)=2sinαcosβ﹣﹣﹣﹣﹣﹣③ α+β=A,α﹣β=B 有 α= 代入③ 得 sinA+cosB=2sin ,β= cos . sin ;

(1)类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:cosA﹣cosB=﹣2sin

(2)若△ ABC 的三个内角 A,B,C 满足 cos2A+cox2C﹣cos2B=1,直接利用阅读材料及(1)中的结论试判 断△ ABC 的形状.

20. (16 分)已知函数 f(x)=x ﹣2a(﹣1) lnx(k∈N ,a∈R 且 a>0) , (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若 k=2014 时,关于 x 的方程 f(x)=2ax 有唯一解,求 a 的值; (3)当 k=2013 时,证明:对一切 x>0∈(0,+∞) ,都有 f(x)﹣x >2a(
2

2

k

*



)成立.

21. (10 分)已知(

+

) 的展开式中第 3 项与第 2 项系数的比是 4,

n

(1)求 n 的值; (2)展开式里所有 x 的有理项.

22. (10 分)一个盒子里装有 3 张大小形状完全相同的卡片,分别标有数 2,3,4;另一个盒子也装有 3 张大 小形状完全相同的卡片,分别标有数 3,4,5.现从一个盒子中任取一张卡片,其上面的数记为 x;再从另一 盒子里任取一张卡片,其上面的数记为 y,记随机变量 η=x+y, (1)求事 x≤y 发生的概率 (2)求 η 的分布列和数学期望.

23. (10 分)已知数列{an}满足 a1=1,且 4an+1﹣anan+1+2an=9(n∈N ) . (1)求 a2,a3,a4 的值,并猜想{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明你的猜想.

*

3

24. (10 分)已知边长为 6 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1,E,F 为 AD、CD 上靠近 D 的三等分点,H 为 BB1 上靠近 B 的三等分点,G 是 EF 的中点. (1)求 A1H 与平面 EFH 所成角的正弦值; (2)设点 P 在线段 GH 上, =λ,试确定 λ 的值,使得二面角 P﹣C1B1﹣A1 的余弦值为 .

4


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