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21量子物理基础答案


量子物理基础
一、单选题:
1、 (4181B30)D 5、 (4244B30)B 9、 (4385A20)C 13、 (4607A10)D 17、 (5232C50)C 21、 (5617A20)B 25、 (4194A15)C 29、 (4199B25)C 33、 (4622B30)B 37、 (4750B25)C 41、 (4628B35)D 45、 (

4778A15)A 49、 (4440A20)D 53、 (8023B25)C 57、 (8029A20)C 47、参考解: 根据 则
?p x

2、 (4182B30)D 6、 (4382C50)D 10、 (4386A20)B 14、 (4736A15)D 18、 (5363A20)C 22、 (5364A20)E 26、 (4195B25)B 30、 (4239C45)A 34、 (4747A15)A 38、 (4206C50)C 42、 (4770A15)A 46、 (5234A20)C 50、 (4965A20)B 54、 (4785B25)A

3、 (4183A10)A 7、 (4383A20)D 11、 (4387A20)C 15、 (4737A20)D 19、 (5365B25)D 23、 (0507B35)D 27、 (4197A10)C 31、 (4411A15)C 35、 (4748B25)A 39、 (4241A20)A 43、 (4211A05)D 47、 (5619B25)C 51、 (4966A20)C 55、 (4786B25)B

4、 (4185A15)D 8、 (4384B25)D 12、 (4503A20)D 16、 (4739B30)B 20、 (5367B35)D 24、 (4190B25)C 28、 (4198B25)C 32、 (4619A10)D 36、 (4749B30)A 40、 (4242B25)D 44、 (4428A20)A 48、 (8020A15)D 52、 (8022B25)D 56、 (8028A20)B

p=h/?
? h?? / ?2
2

? ?2 / ?? -10 3 ? 2 ?x m i n ? / ?? =5000?10 ?5000?10 = 2.5 m= 250 cm
?x

二、填空题:
1、 (0475A10) 2、 (4179A10) 3、 (4180B25) 4、 (4184A15) 5、 (4187A10) 6、 (4250A10) 7、 (4388A20) 8、 (4389A20) 9、 (4390A15) 3.82?103 hc / ? ; h/? ; h /(c? ) 14 2.5 ; 4.0?10 1.45V ; 7.14?105 m?s?1 ? ; 0 2.21?10?32 0.99 5?1014 ; 2 A/h ; (h / e)(? 1 ?? 0 )

10、 (4391A20) 2.5 ; 4.0?1014 11、 (4546A10) 1.5?1019 12、 (4608A15) 1.5 13、 (4609A10) 6.63?10?26 J ; 2.21?10-34 kg?m/s 14、 (4611A15) 不变 ; 变长 ; 波长变长 h? ( h? ? c o s ) ? ? ? pco s ? 15、 (4612A20) c c 16、 (4740A20) 0.586

17、 (4741A15)

; < h 18、 (4742B30) 2m(? ? ? 0 ) ?? ? ? 19、 (5618B25) hc ?? ? 参考解:根据能量守恒定律有 me c 2 ? h? ? mc2 ? h? ? 则



EK ? mc2 ? me c 2 ? h? ? h? ? ?
负 ; 不连续 -0.85 ; -3.4 13.6 ; 3.4 13.6 ; 5 6 ; 973

hc

?

?

hc hc (? ? ? ? ) ? ?? ?? ?

20、 (0514A10) 21、 (4191B25) 22、 (4192B25) 23、 (4196B25) 24、 (4200B25) 25、 (4201B25)

? 3 ? ? 2 ??1



1

?3

?

1

?2

?

1

?1

26、 (4423A15) 定态能级 ; 27、 (4424A10) 10.2 28、 (4513A15) 量子化定态假设

能级跃迁决定谱线频率. ; 量子化跃迁的频率法则

? kn ? En ? Ek / h ;

角动量量子化假设 L ? nh / 2? n =1,2,3,?? 29、 (4517B40) 12.75 30、 (4518B40) 12.09 31、 (4620C50) 54.4 32、 (4623A10) 1.51 33、 (4624B25) 2.55 34、 (4751A15) 原子只能处在一系列能量不连续的稳定状态(定态)中,处于定态中 的原子,其电子只能在一定轨道上绕核作圆周运动,但不发射电磁波. 35、 (4752A15) 原子中电子从能量为 En 的定态跃迁到能量为 Ek 的定态时, 便发射(当 E ? Ek En>Ek 时)或吸收(当 En<Ek 时)单色光,其频率?由下式决定:? ? n (h 为普朗 h 克常量) 36、 (4753A15) 在电子绕核的圆周运动中,只有电子的动量矩 L 等于 h/2? 的整数 h 倍的那些轨道才是可能的,即: L ? n (n = 1,2,3,??)(h 为普朗克常量) 2? 37、 (4754A10) 4 、 1 ; 4 、 3 38、 (4755A15) 1 ; 2 39、 (4756A15) 2.55 ; 4 40、 (4757A20) -0.85 41、 (4758A10) 12.6 42、 (4759A15) 9 43、 (4760A20) 6.56?1015 Hz 44、 (4761A10) 1.51 45、 (4762A15) 1.8

46、 (4763A20) 47、 (4765B25) 48、 (5369A20) 49、 (4207C50) 50、 (4429A20) 51、 (4524B25) 52、 (4629B25) 53、 (4630B30) 54、 (4771A15) 55、 (4772A20) 56、 (4773B25) 57、 (4203B25) 续 ;

1.35 5 ; 10 10 ; 3 1/ 3 0.0549 h /(2me eU12 )1/ 2 1.45 ? ?; 6.63?10-19 ? 0.1 ? 150 V 3.29?10?21 J 1∶1 ; 4∶1 粒子在 t 时刻在(x,y,z)处出现的概率密度

; 单值、有限、连

??? ?

2

d xd yd z ?1

58、 (4632A10) 59、 (5372A15) 参考解: 根据
?y?p y

1.33?10?23 1.06?10-24 (或 6.63?10-24 或 0.53?10-24 或 3.32?10-24)
?y?p y

1 1 ? ,或 ?y?p y ? h ,可得以上答案. 2 2 60、 (4215A10) 1,2,3??(正整数). ; 原子系统的能量. 61、 (4221B25) 2 ; 2?(2l+1) ; 2n2 62、 (4533B25) 电子自旋的角动量的空间取向量子化. 1 1 63、 (4782A10) ; ? 2 2 64、 (4783B25) 0, ? , ? ? , 2? , ? 2? 65、 (4784B25) 0, 2? , 6? 66、 (4963A15) 8 1 1 67、 (4968A15) 1 ; 0 ; 或 ? 2 2 68、 (8024A20) 0,1,2,3 ; 0,±1,±2,±3 69、 (8026A20) h / (2?) ; 0 ; 量子力学 70、 (4219A10) 泡利不相容 ; 能量最小 71、 (4635A15) 一个原子内部不能有两个或两个以上的电子有完全相同的四个量子 数(n、l、ml、ms) 72、 (4787B25) 4 73、 (4788B25) 32 1 1 1 74、 (4967B25) 1,0,0, ? ?; 2,0,0, ?或 2,0,0, ? 2 2 2 75、 (4969B25) 7 参考解: 钴的电子组态为:1s2,2s2,2p6,3s2,3p6,3d7,4s2. 1 1 76、 (8025A20) (1,0,0, ) ; (1,0,0, ? ) 2 2

? ? ,或

? h ,或 ?y?p y ?

三、计算题:
1、 (0640B40) ? 解:(1) ? ? h? , p ? h / ? ? h? / c , mc ? ? n m ? h? / c 2 . 3分 (2) 光对平面镜的光压 ? ? i i mc ? ? mc 如图示, 每一个光子入射到平面镜 MN 上, mc N M 并以 i 角反射,其动量改变量为: ? ? ? ? mc ? ? mc ? 2mc cos in ? h? / c ? 2 cos in 2分 平面镜上面积为 S 的截面上,在单位时间内受到碰撞的光子数为 N ? c cos i ? Sn (此处 n 为光子数密度) ? ? P ? N | (mc ? ? mc ) | / S ? (2mccosi ? c cosi ? Sn) / S 所以光压 ? 2mc2 n cos2 i ? 2h?n c o 2si 2、 (4186B40) 解:(1) 由 eU a ? h? ? A 得

? ? m(c ? ? c )

2分 2分 1分

U a ? h? / e ? A / e d U a / d? ? h / e
(恒量)

3分 3分 2分 2分 2分

由此可知,对不同金属,曲线的斜率相同. 2.0 ? 0 (2) h = etg?? ? e (10.0 ? 5.0) ? 1014 =6.4?10-34 J?s 3、 (4246B30) eBv ? mv 2 / R 得 v ? ( R e B/ m , ) 解:(1) 由 1 h? ? mv 2 ? A 代入 2 hc 1 m R2 e 2 B 2 hc R 2 e 2 B 2 A? ? ? ? ? 可得 ? 2 ? 2m m2 1 e U a ? mv 2 (2) 2 2 mv R 2 eB 2 Ua ? ? 2e 2m 4、 (4392A20) 1 1 h? ? mv 2 ? A 解:由爱因斯坦方程 和 ? mv 2 ? e U a 2 2 得 e U a ? (hc / ?) ? A 所以 遏止电压改变
e( U a 2 ? U a1 ) ? hc(
?Ua

3分 2分 1分

1

?2
1

?

1

?1

)

3分 2分

? (hc / e)(

1

?2

?

?1

) ? 0.3 4 5 V

数值加大. 5、 (4393A20) 解:设能使该金属产生光电效应的单色光最大波长为??.

由 可得 又按题意: ∴ 得

h? 0 ? A ? 0 (hc / ?0 ) ? A ? 0 ?0 ? hc/ A (hc / ? ) ? A ? EK A ? (hc / ? ) ? E K hc hc? = 612 nm ?0 ? ? (hc / ? ) ? E K hc ? E K ?

2分

3分

6、 (4502A20) 解:设光源每秒钟发射的光子数为 n,每个光子的能量为 h?? P ? nh? ? n h c ? / 则由 n ? P? /(hc) 得: 令每秒钟落在垂直于光线的单位面积的光子数为 n0,则 n0 ? n / S ? n /(4?d 2 ) ? P? /(4?d 2 hc)
-36

3分

光子的质量 2分 m ? h? / c 2 ? hc /(c 2 ? ) ? h /(c? ) =3.33?10 kg 7、 (4504B25) 解:设散射前电子为静止自由电子,则反冲电子的动能 EK =入射光子与散射光子能量 之差= ? 0 ? ? 入射 X 射线光子的能量 ? 0 ? h? 0 ? hc / ?0 ? ?0 ? hc / ? 0 ? 2分 散射光子的能量

? ? hc / ? ? hc /(1.20?0 ) ? (1/ 1.2)? 0 反冲电子的动能 EK ? ? 0 ? ? ? (1 ? 1/ 1.2)? 0 ? 0.10 MeV

3分

8、 (4505C60) 解:(1) 康普顿散射光子波长改变: ? ?? ? (hme c)(1 ? cos? ) ? 0.024?10-10 m

? ? ?0 ? ?? ? 1.024?10-10 m
(2) 设反冲电子获得动能 EK ? (m ? me )c ,根据能量守恒:
2

4分

h? 0 ? h? ? (m ? me )c 2 ? h? ? EK 即 hc / ?0 ? [hc /(?0 ? ?? )] ? EK 故 EK ? hc?? /[?0 (?0 ? ?? )] =4.66?10 17 J =291 eV 9、 (4743B25) 解:(1) 由 A ? h? 0 ? hc / ?0 hc ?0 ? ? 5.65?10-7 m = 565 nm 得 A 1 hc mv 2 ? e U a , h? ? ? eU a ? A (2) 由? 2 ? hc ?? ? 1.73?10-7 m = 173 nm 得 eU a ? A
10、 (4744B30) 解:当铜球充电达到正电势 U 时,有
1 mv 2 2 h? ≤ eU ? A 时,铜球不再放出电子, h? ? eU ? A ?

4分

2分

3分

2分 1分



? A ? 2.12 eV ? 故 U≥2.12 V 时,铜球不再放出电子. 11、 (4745A20) hc 解:入射光子的能量为 ?0 ? ?0 hc ?? 散射光子的能量为 ?



eU≥h ??-A =

hc

2分 1分 1分
1

反冲电子的动能为

EK ? ? 0 ? ? ? hc(

?0

1 ? ) ? 1.68?10 16

?

3分

12、 (5233C50) ? ? ? 解:令 p 、?和 p ? 、? ? 分别为入射与散射光子的动量和频率,m v 为反冲电子的动量(如 图).因散射线与入射线垂直,散射角????????,因此可求得散射 X 射线的波长 h = 0.724 ? ? 2分 ?? ? ? ? ? me c p? (1) 根据能量守恒定律 ? p 2 2 me c ? h? ? h? ? ? mc ? ? 且 EK ? mc2 ? me c 2 mv 得 EK ? h? ? h? ? ? hc(? ? ? ? ) /(? ?? ) = 9.42?10 17 J 4分 ? ? ? (2) 根据动量守恒定律 ? p ? p ? ? mv 则
mv ? p 2 ? p ? 2 ? (h / ? ) 2 ? (h / ? ??) 2

c o? ? s

p h/? 1 ? ? 2 2 mv (h / ? ) ? (h / ? ?) 1 ? (? / ? ?) 2 1 1 ? ? c o ?s ? 44.0° 1 ? (? / ? ?) 2

4分

13、 (5366B30) 解:根据能量守恒,有 这里 ∴ 则 解得:

h? 0 ? me c 2 ? h? ? mc2 1 m ? me 1 ? (v / c) 2 1 h? ? h? 0 ? me c 2 [1 ? ] 1 ? (v / c) 2 hc hc 1 ? ? me c 2 [1 ? ] ? ?0 1 ? (v / c) 2

2分 1分

??

m c? 1 1 ? e 0 [1 ? ] h 1 ? (v / c) 2

?0

= 0.00434 nm

2分

14、 (5380B35) 解:(1) 当电子匀速直线地穿过互相垂直的电场和磁场区域时,电子所受静电力 eE ? evB 与洛仑兹力相等,即 2分

v ? E / B ? 106 m/s (2) 根据爱因斯坦光电理论,则有 hc / ? ? hc / ?0 ? 1 mev 2 2

1分 2分 2分 1分 ① ② ③ ④ 1分 1分 1分



??

?0

1 m v 2 ?0 1? ( e ) 2 hc =1.63?10-7 m = 163 nm
h? ? A ? 1 mev 2 2 evB ? mev 2 / R A ? hc / ?0 ?

15、 (4610B35) 解:

? ? c /?
①,②,③,④式联立可求得

??

?0
1 ? ?0 (eBR) 2 /(2me hc)

? 0.1 3 7 ?

2分

16、 (0316A15) 解:(1) 此双原子气体分子绕轴旋转时的角动量为: 1 L ? m? d 2 2 L ? nh /(2?) ,n = 0,1,2?? 据 1 m?d 2 ? nh /(2?) , 则 ? ? nh /(m?d 2 ) 2 (2) 此系统的转动动能为: 1 n2h2 2 2 2 E ? mv ? 2 ? m? r ? ,n = 0,1,2?? 2 4m? 2 d 2 17、 (0521B35) 1 1 解:(1) ?E ? Rhc (1 ? 2 ) ? 13.6(1 ? 2 ) ? 12.75 eV ?43 n n n =4 2分 ?42 ?32 (2) 可以发出?41、?31、?21、?43、?42、?32 六条谱 线. 1分 ?41 能级图如图所示. 图2分 18、 (0532B25) ~ 解:极限波数 ? ? 1 / ?? ? R / k 2 可求出该线系的共同终态.

2分 2分 2分

2分

n =4 3 2

?31 ?21
1

1分 2分 2分 2分 1分

由? =6565 ? 可得始态 由

k ? R?? ? 2 1 1 ~ 1 ? ? ? R( 2 ? 2 ) ? k n R?? ? n? =3 ? ? ??
En ? E1 13.6 ? ? 2 eV 2 n n

可知终态 n =2,E2 = -3.4 eV 始态 n =3,E3 = -1.51 eV 19、 (0537B25) 解:设始态能级量子数为 k, 则轨道半径由 rk 变为 rn, 且 rk = qrn ? h2 由 rk ? k 2 0 2 ?m e 2 可得 k ? qn2 1 1 ? ? Rc ( 2 ? 2 ) 光子的频率 n k Rc n2 Rc 1 即 ? ? 2 (1 ? 2 ) ? 2 (1 ? ) q n k n 20、 (0538B35) e2 v2 解:(1) ① ?m r 4?? 0 r 2 h mvr ? n ② 2? v ?n ? ③ r ?m e4 1 ①、②、③联立解出 ?n ? 2 3 ? 3 2? 0 h n

1分 1分

2分 1分

2分

1分 1分 1分

m e4 1 ? 2 2? 4? 0 h 3 n 3 (2) 电子从 n 态跃迁到( n-1 )态所发出光子的频率为 c 1 1 2n ? 1 ? ? ? ? cR[ ? 2 ] ? cR 2 2 ? (n ? 1) n n (n ? 1) 2

?n ?

?n

?

2分

m e4 2n ? 1 2分 ? 2 2 3 8? 0 h n (n ? 1) 2 (3) 当 n 很大时,上式变为 me4 2 ? (1 / n) m e4 1 3分 ?? ? 2 3 ? ? 2 3 ? 3 ??n 8? 0 h n(n ? 1) 2 8? 0 h n 21、 (0570B30) 解:电子作一次圆周运动所需时间(即周期 T)为 2? T? ① 1分 ? 令激发态的平均寿命为 ? = 10-8 s, 故电子在?内从激发态跃迁到基态前绕核的圈数为 ? N? ② 1分 T 电子作圆周运动的周期T可由下面二式求出 e2 v2 ③ 1分 ?m r 4?? 0 r 2 h m? r 2 ? n ④ 2分 2? ?

可求出 由①、②、⑤可得

??

?m e4 1 ? 3 2 3 3 2? 0 n h n



2分 2分 1分
n =5 n =4 n =3 n =2

N?

?
T

?

?m e4 1 6.54 ? 107 ? 3 ? 2 4? 0 n 3 h 3 n n3

当 n=5 N = 5.23?105 22、 (4202C45) 解:(1) h? ? hc / ? ? 2.86 eV . 2分 (2) 由于此谱线是巴耳末线系,其 k =2 2分 2 EK ? E1 / 2 ? ?3.4 eV (E1 =-13.6 eV)

En ? E1 / n 2 ? EK ? h?
n? E1 ? 5. E K ? h?

4分

n =1

(3) 可发射四个线系,共有 10 条谱线. 2分 见图 1分 波长最短的是由 n =5 跃迁到 n =1 的谱线. 1分 23、 (4412A20) 解:由于发出的光线仅有三条谱线,按: 1 1 ~ ? ? c ?? ? cR ( 2 ? 2 ) 2分 k n n =3,k =2 得一条谱线. n =3,k =1 得一条谱线. n =2,k =1 得一条谱线. 可见氢原子吸收外来光子后,处于 n =3 的激发态.以上三条光谱线中,频率最大 1 1 ? ? cR ( 2 ? 2 ) =2.92?1015 Hz 的一条是: 1 3 这也就是外来光的频率. 3分 24、 (4413B25) 1 1 ~ ? ? R( 2 ? 2 ) 解: k n 令线系极限: n→∞ 可得 ~ ? ? R/k2 2分 赖曼系: k =1 ~ ? ? 1.097?107/12 =1.097?107 m-1 1分 巴耳末系: k =2 ~ ? ? 1.097?107/22 =0.274?107 m-1 1分 帕邢系: k =3 ~ ? ? 1.097?107/32 =0.122?107 m-1 1分 25、 (4414B25) 解:因为观察到巴耳末系中的三条光谱线,所以只可能是从 n = 5、4、3 的状态,分别 跃迁到 n =2 的状态而发出的. 1 1 1 ~ 由 ? 2n ? ? R( 2 ? 2 ) ?2n 2 n

1 22 n2 ? R n2 ? 22 所求的波长为氢原子从由 n = 3 的状态跃迁到 n = 2 的状态发出的谱线的波长,上 式代入 n = 3 得 ??????6.56?10-7 m = 656 nm 2分 外来光应使氢原子从 n = 2 的状态跃迁到 n = 5 的状态,其频率为: ??????c???? 而: ??? = 4.34?10-7 m = 434 nm ??????c???? = 6.91?1014 Hz 3分 26、 (4519B25) 解:根据玻尔氢原子理论的角动量量子化条件 mevr ? nh / 2? (n =1,2,3,??)



?2n ?

v ? nh /(2?me r ) n =1 时对应最小轨道半径 r1 =5.3?10-11 m ∴ v ? nh /(2?me r1 ) =2.18?106 m/s 27、 (4520C50) 解:设激发态量子数为 n, 根据玻尔理论: En ? E1 ? h? 对氢原子 E1 =-13.6 eV (基态), h? =12.09 eV ∴ En =-1.51 eV 另外,对氢原子有 En =-13.6/n2eV 由此有 -1.51=-13.6/n2 故 n2≈9,n =3 氢原子的半径公式为 rn= n2a1 = 9 a1 即氢原子的半径增加到基态时的 9 倍. 28、 (4547B35) 解:设轨道半径为 rn,电子运动速度为 v.则由 evB ? mv 2 / rn L ? mvrn ? n? ?
则 得 ( n = 1,2,3??) rn ? (? / eB)1/ 2 ? n 29、 (4767B25) ? ? hc / ? ? 2.56 eV 解:所发射的光子能量为 氢原子在激发能为 10.19 eV 的能级时,其能量为 E K ? E1 ? ?E ? -3.41 eV 氢原子在初始状态的能量为 En ? ? ? EK ? -0.85 eV 该初始状态的主量子数为
n? E1 ?4 En

3分 2分

2分

2分 1分

2分 2分 1分 2分 2分 2分 2分

30、 (4768) 解:按题意可知单色光照射的结果,氢原子被激发至 n = 3 的状态(因为它发射三种频 率的谱线),故知原照射光子的能量为 13.6 ? ? E3 ? E1 ? ? 2 ? (?13.6) = 12.09 eV=1.93?10-18 J 3分 3

该单色光的频率为

??

?
h

? 2.92?1015 Hz

2分

31、 (5238C45) 解:因为 1025.7 ? 是紫外线,是属于赖曼系的一条谱线,故知它是在 n = n1→ n =1 这 两个能级间的跃迁中发射出来的.根据 ~ 3分 ? ? R(1 / 12 ? 1 / n12 ) ~ 并代入? ? 1 / ? 可解得 n ? ?R(?R ? 1) =3.00
1

所以 1025.7 ? 谱线是在 n =3─→n =1 的能级间的跃迁中辐射的. 32、 (5370B30) 解:把一个基态氢原子电离所需最小能量 Ei = 13.6 eV 1 h? ? E i ? mev 2 则有 2 v ? 2(h? ? Ei ) / me ? 7.0?105 m/s

2分

1分 2分 2分

33、 (4234C45) 解:从题设可知,若圆周半径为 r,则有 2?r = n?,这里 n 是整数,?是电子物质波的 波长. 1分 ? ? h /(mv ) 根据德布罗意公式 2?r ? nh /(mv ) 得 2?rmv ? nh 于是 2分 这里 m 是电子质量,v 是电子速度的大小,r mv 为动量矩,以 L 表示, 则上式为: L ? nh /(2?) 这就是玻尔的动量矩量子化条件. 2分 34、 (4431B35) 解:(1) 德布罗意公式: ? ? h /(mv ) 由题可知? 粒子受磁场力作用作圆周运动 qvB ? m?v 2 / R , m?v ? qRB 又 q ? 2e 则 4分 m?v ? 2e R B 故 ?? ? h /(2eRB) ? 1.00?10?11 m ? 1.00?10?2 nm (2) 由上一问可得 v ? 2eRB/ m? 对于质量为 m 的小球 3分

??
35、 (4506A10) 解: 36、 (4522C55) 解:据 得

m m h h ? ? ? ? ? ? ?? =6.64?10-34 m mv 2e R B m m

3分 3分 2分 1分 1分 1分 2分

EK ? p 2 /(2me ) ? (h / ? ) 2 /(2me ) =5.0?10-6 eV EK ? mc2 ? m0 c 2 ? (m0 c 2 / 1 ? (v / c) 2 ) ? m0 c 2 m ? ( EK ? m0 c 2 ) / c 2
2 v ? c E K ? 2 E K m0 c 2 /( E K ? m0 c 2 )

将 m,v 代入德布罗意公式得
2 ? ? h/mv ? hc / E K ? 2 E K m0 c 2 ???????

37、 (4525C55) 解: ? ? h / p ? h /(mv ) 因为若电子在第 n 玻尔轨道运动,其轨道半径和动量矩分别为 L ? mvrn ? nh /(2?) rn ? n 2 a 故 mv ? h /(2?na) 得 ? ? h /(mv ) ? 2?na 38、 (4527C55) 解:用相对论计算 由
p ? mv ? m0v / 1 ? (v / c) 2 ???? eU 12 ? [m0 c 2 / 1 ? (v / c) 2 ] ? m0 c 2

1分 2分 2分

① ② ③

? ? h/ p
计算得

??

hc eU12 (eU12 ? 2m0 c )
2

? 3.71? 10?12

6分

若不考虑相对论效应 则 p ? m0v 1 eU 12 ? m0v 2 由③,④,⑤式计算得 ? ? ? h /(2m0 eU12 )1/ 2 ? 3.88?10-12 m 相对误差 39、 (4535B25) 解:非相对论动能 而
EK ? 1 mev 2 2

④ ⑤ 3分 1分

?? ? ? ? 4.6% ?

p ? mev

故有

又根据德布罗意关系有 则 40、 (4542C55) 解:由 解出: 根据德布罗意波: 把上面 m,v 代入得: 当 得 当
2

p2 EK ? 2 me p ? h / ? 代入上式 1 E K ? h 2 /(me ?2 ) ? 4.98?10-6 eV 2

2分 1分 2分

EK ? mc2 ? m0 c 2 ? [m0 c 2 / 1 ? (v / c) 2 ] ? m0 c 2 m ? ( EK ? m0 c 2 ) / c 2
2 v ? c E K ? 2 E K m0 c 2 /( E K ? m0 c 2 )

2分 2分 2分 2分 2分

? ? h / p ? h /(mv ) hc ?? 2 E K ? 2 E K m0 c 2

2 2 EK ?? m0 c 2 时,上式分母中, EK ?? 2EK m0 c 2 , E K 可略去.

? ? hc / 2 E K m0 c 2 ? h / 2 E K m0 ???
EK ?? m0 c 时,上式分母中, E ?? 2EK m0 c , 2EK m0 c 可略去.
2 K 2 2

1分

得 ? ? hc/ EK 41、 (4631B35) 解:若电子的动能是它的静止能量的两倍,则: mc2 ? me c 2 ? 2me c 2 故: m ? 3me 由相对论公式 有 ??
m ? me / 1 ? v 2 / c 2

1分

1分 1分

? 3me ? me / 1 ? v 2 / c 2 1分 2分

解得 v ? 8c / 3 德布罗意波长为: ? ? h /(mv) ? h /( 8me c) ? 8.58? 10?13 m 42、 (4774A20) 解:远离核的光电子动能为 1 E K ? mev 2 ? 15 ? 13 .6 ? 1.4 eV 2 2EK v? ? 7.0?105 m/s 则 me 光电子的德布罗意波长为

2分

??
43、 (5248B40) 解:

h h ? ? 1.04?10 9 m =10.4 ? ? p mev

3分 ① 2分 2分

? ? h /(mev )
v ?v ? 2ad
2 2 0

② ③

由①式: 由③式: 由②式:

eE ? me a v ? h /(me ? ) ? 7.28?106 m/s a ? eE / me ? 8.78?1013 m/s2

2 d ? (v 2 ? v 0 ) /(2a) = 0.0968 m = 9.68 cm

4分 2分 2分

44、 (1813C50) 解:光子动量: 电子动量: 两者波长相等,有 得到

pr = mr c = h /? pe = me v = h /? mr c = me v mr / me = v/ c m0 电子质量 me ? 1? v2 / c2 式中 m0 为电子的静止质量.由②、④两式解出 c v? 2 1 ? ( m0 ? 2 c 2 / h 2 ) 代入③式得
mr 1 ? 2 2 2 me 1 ? ( m0 ? c / h 2 )

① ② ③ ④

2分

2分 2分

45、 (4430B30) 解:先求粒子的位置概率密度

? ( x) ? (2 / a) sin 2 (?x / a) ? (2 / 2a)[1 ? cos(2?x / a)]
2

2分
2?x / a ? ?



c o s ( x / a) ? ?1 时, ? (x ) 有最大值.在 0≤x≤a 范围内可得 2?
2



x?

1 a. 2

3分

46、 (4435B35) 解:1 keV 的电子,其动量为 p ? (2mEK )1 / 2 ? 1.71?10 23 kg?m?s 1 据不确定关系式:? ?p ? ?x ? ?

2分 2分 1分
?p ? ?x

? ? / ?x ? 0.106?10?23 kg?m?s 1 ∴ ? ?p / p =0.062=6.2% [若不确定关系式写成 ?p ? ?x ? h 则??p / p =39%,或写成 ?p / p =3.1% , 均可视为正确.] 47、 (4442B40) p ? h/? 解:光子动量 按题意,动量的不确定量为 2 ?p ? ? h / ? ?? ? ( h / ? )( ?? / ? ) ?

?p
-

? ?/2 则

1分 2分

h? ? ? 2?h(?? / ? ) 2?(?? / ? ) 故 ?x≥0.048 m=48 mm 1 若用? ?x ? ?p x ? h /(4?) 或 ?x ? ?p x ? h ,或 ?x ? ?p x ? h ,计算?x 同样得 2 分. 2 48、 (4526C50) 2 2 2 ?x dP ? ? dx ? si n dx 解: a a 粒子位于 0 – a/4 内的概率为: a/4 a/4 2 2 ?x 2 a 2 ?x ?x P ? ? sin dx ? ? sin d( ) a a a? a a 0 0

根据测不准关系式得:? ?x≥ h /(2??p) ?

2分

3分

1 2?x 2 1?a 1 2? a ? [ ? sin ] ? [2 ? sin( )] =0.091 ? a 4 a 0 ? a 4 4 a 4 2
1 2

?x

a/4

2分

49、 (4779B30)
h ?p x 据题意 ?p x ? mv 以及德布罗意波公式 ? ? h / mv 得 h ?? ?p x 比较①、②式得 ? ?x ≥ ? 50、 (4970A20) 解: d 分壳层就是角量子数 l =2 的分壳层. d 分壳层最多可容纳的电子数为 Z l ? 2(2l ? 1) ? 2(2 ? 2 ? 1) ? 10个

解:由

?p x ?x ≥ h



?

?x ≥



1分



2分 2分 2分 2分 2分

ml =0,±1,±2

ms ? ?

1 ? 2

2分

四、证明题:
1、 (0486A15) 证:碰撞前后的光子的能量分别为 E ? h? 0 ? hc / ?0 ? E ? ? h? ? hc / ? 据能量守恒,反冲电子的动能应当为 K ? E ? E? K E ? E ? ? ? ?0 ? ? 则 E E ? 2、 (0504C45) 证:将动量守恒关系式写成分量形式: ? mv s i n ? (h / ? ) s i n ? 0 ? ? 3分 ?0 ? ? ? v 3分 mv c o ? ? (h / ? ) c o ? ? h / ?0 s s sin ? 则 tg? ? (? / ? 0 ) ? c o ? s ? ? s i n ? 2 s i n () c o s ( ) ? 上式分子: 2 2 ? ? (? ? ?0 ) ? ? ?0 ? 上式分母: ?c o? ? 0 s ? c o ? ? (1 ? c o ? ) ? s s 1分 1分 2分 1分

?0

?0

由康普顿效应的结论已知: ∴ ∴

? ? ?0 ?

? h ? h 2 ? 2 ? ? c o ? ? 2 s i n( ) ? s ? 2 s i n ( ) ? 2 sin 2 ( )[1 ? ] ?0 2 m0 c?0 2 2 m0 c?0 h ? tg? ? [(1 ? ) tg( )]?1 m0 c?0 2
1 ? mv 2 ? h? ? A 2 A ? h? 0 ?
1 mv 2 2

2h 2 ? s i n( ) m0 c 2

?0

2分 3分

1分

3、 (4394A20) 证:由爱因斯坦方程 及逸出功 得 因为

2分

h? ? h? 0 ?

1 mv 2 EK 2 h? ? ? ?? 0 ? ?? 0

? ? ? 0 时 EK = 0,由图可知:
EK ? RS /(QS ) ? ?? 0

入射光频率为?时 即 4、 (4443C60)

h ? RS /(QS)

3分

? ? 证:散射图中 n0 和 n 分别代表碰撞前后光子运动方向的单位

矢量, 设碰撞后电子沿?角方向飞出, 它的能量和动量分别变 ? 2 为 mc 和 m v .因为光子与电子碰撞过程服从能量守恒定律 和动量守恒定律,有 ① 3分 h? 0 ? me c 2 ? h? ? mc2 ? ? ? ? ② 3分 mv ? (h? 0 / c)n0 ? (h? / c)n

h? 0 ? n0 c
?

h? ? n c
?

? mv

由图可看出,②式也可写成: s (m v ) 2 ? (h? 0 / c) 2 ? (h? / c) 2 ? 2(h? 0 / c)(h? / c) c o ? 即:
2 m2v 2 c 2 ? h 2? 0 ? h 2? 2 ? 2h 2? 0? c o ? s

③ ④

①式也可写成:

mc ? h(? 0 ?? ) ? me c
2

2

将④式平方减③式得: 2 m2 c 4 (1 ? v 2 / c 2 ) ? me c 4 ? 2h 2? 0? (1 ? c o ? ) ? 2me c 2 h(? 0 ?? ) s
2 根据相对论,上式中的 m2 (1 ?v 2 / c 2 ) ? me 所以上式可改写为: 2 2 me c 4 ? me c 4 ? 2h 2? 0? (1 ? c o ? ) ? 2me c 2 h(? 0 ?? ) s

由此可求得:

1? c o ? ? s
2 sin

me c 2 (? 0 ? ? ) h? 0?

3分 1分

?
2

?

me c 2 (? 0 ? ? ) 2h? 0?
1 1 ? 2) 2 2 n 1 1 1 / ?? ? 1 / ?23 ? R ( 2 ? 2 ) 2 3 1 1 1/ ?? ? 1/ ?24 ? R ( 2 ? 2 ) 2 4 1 / ? ? R(

5、 (4193A20) 证:根据巴耳末公式: 得第一条谱线波长为 第二条谱线波长为 而帕邢系中第一条谱线的波长应为 2分 2分 2分

1 / ?34 ? R (
由 可得 6、 (4417B25) 证: 当 n→∞得极限波长

1

?24

?

1

?23

?

?23 ? ?24 ?24 ?23 ?? ? ? ? ? ?34 ? 24 23 ? ?23 ? ?24 ?? ? ? ?

1 1 ? 2) 2 3 4 1 1 ? R ( 2 ? 2 ) ? 1/ ?34 3 4

2分

2分

1 / ? ? R[(1 / k 2 ) ? 1 / n 2 )} ∴ 1/ ?k ? R / k 2
1/ 2

k ? ?k R
2

1分 1分 2分 1分

k ? (?k R) ? 2 可见:该谱线系为巴尔末系. 7、 (4426B25) 解:应用库仑定律和牛顿运动定律 有:

mev 2 / r ? e 2 /(4?? 0 r 2 ) 根据玻尔理论的量子化条件假设: L ? mev r ? n? 由以上两式消去 v,并把 r 换成 rn.得 rn ? n 2? 0 h 2 /(?me e 2 ) ,n =1,2,3,?? 8、 (4427B25) ~ 解: ? kn ? (1/ h) ? ( En ? Ek ) , ? kn ? ? kn / c ? (1/ hc) ? ( En ? Ek )
而:
2 En ? ?me e 4 /(8? 0 h 2 n 2 ) , 2 Ek ? ?me e 4 /(8? 0 h 2 k 2 ) ,

1分 2分 2分 2分

代入上式: 与
~ ? kn ? R ( 1 1 ? 2) 2 k n 得里德伯常量

~ ? kn ?
比较

me e 4 1 1 ( 2 ? 2) 2 3 8? 0 h c k n

2 R ? me e 4 /(8? 0 h 3c) .

3分

9、 (4444D75) 证:(1) 根据: F ? mv 2 / r 及 F ? GMm / r 2 (M 为地球质量) G M mr 2 ? mv 2 / r / 得: h mvrn ? n ? 利用玻尔假设: 2? ?nh /(2?)?2 联立以上两式则得: rn ? Gm 2 M 2 h k? 2 2 令: 4? m MG 2 上式变为: rn ? kn 得证. (2) 由: rn ? kn 可得:
2

2分 1分 2分

1分 1分

rn?1 ? rn ? k (n ? 1) 2 ? kn2 ? (2n ? 1)k
估算 k 与 n:设 m > 1 kg,代入数据可得 k ? 10?82 m ,而

rn?1 ? rn ? 2nk ? 2(krn )1/ 2
则 (实际情形 rn﹥R) (rn?1 ? rn ) / rn ? 2(k / rn )1 / 2 ? 0 即相邻两个轨道之间的距离与轨道半径相比可忽略不计,这表明轨道半径的“容 许”值实际上可认为是连续变化的. 3分 10、 (4445C45) ? ? h/ p 证: 2分 如果考虑相对论效应,则有
p ? mv ? mev / 1 ? (v / c) 2 ?????

① ②

3分 3分

eU ?

me c

2 2

1 ? (v / c)

? me c 2

由①,②式计算得 则 11、 (4550B35)

p ? 2me eU ? e 2U 2 / c 2

??

h (2me eU ? e 2U 2 / c 2 )1 / 2

2分

证:单缝夫朗禾费衍射各级极小的条件为: ( k = 1,2??) a s i n ? ?k? ? 令 k = 1, 得 a s i n ? ? 1分 ? 可见,衍射图形第一级极小离中心点距离 1分 x1 ? R tg? ? f s i n ? f ? ? / a ? 又电子德布罗意波的波长 ? ? h / p 2分 所以中央最大强度宽度 1分 d ? 2 x1 ? 2Rh /(ap) 12、 (5240C45) 证:设电子在量子数为 n,半径为 rn 的稳定轨道上运动,运动速率为 vn.则根据玻尔 的角动量假设(或量子化条件)有 ( n =1,2,??) me rnv n ? n? ? 2分 rn ? n? /(mev n ) , 2?rn ? nh /(me v n ) 而 mev n ? pn 是电子在该轨道上运动时的动量.根据德布罗意假设,该电子的德布罗 意波长为: ?n ? h / pn 则 2?rn ? nh / pn ? n?n 因 n 只能取 1,2,3,??等整数值,这就证明了氢原子稳定轨道的长度正 好等于电子的德布罗意波长的整数倍. 3分 13、 (4434B40) n? / 2 ? d 解:依题意: 1分 ? ? 2d / n 则有 p ? h/? 由于 p ? nh /(2d ) 则 2分 2 2 2 2 故 E ? p /(2m) ? n h /(8md ) 即 2分 En ? n 2 h 2 /(8md2 ) ,n =1,2,3,?? 则


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