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国立板桥高中数学培训班教材柯光远老师编


國立板橋高中數學培訓班教材
一、學科能力競賽數學科競賽方式及內容:
方式 時間 題型 計算證明 題數 3 ~ 4題 配分 49 分

柯光遠老師編

內容 仿國際數學奧林匹 亞方式命題

筆試 (一) 2 小時

筆試 (二) 1 小時 口試 20 分鐘

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填充

6 ~ 7題

21 分 30 分

基本能力與概念 筆試最優前 6 至 10 名參加

二、競賽試題選講: (一)數論
1.平面上的格子點到直線 15x ? 20y ? 12 ? 0 的最短距離為 指兩個坐標都是整數的點) 【92(二) 2】 2.平面上所有格子點到直線 y ?
5 4 x ? 的距離之最小值為 3 5

(二)

。 (格子點是

(二)



(平面上 x 坐標與 y 坐標都是整數的點稱為格子點。) 【94(二) 2】 3.設 a , b 為正整數且 a ? b ,滿足 ab ? a ? b ? 181 及 a 2 b ? ab2 ? 3900。求 a 2 ? b 2 ? (三) 。 【92(二) 3】

4.設 n 為自然數,試證:在任意 3n 個正整數中,必存在 2 n 個數的和是 2 n 的倍數。 (17 分) 【93(一) 3】 5.設 n 為一正整數,且滿足 n 2 ? 735是某整數的四次方,求 n 的所有可能值為何。 (10 分) 【94(一) 1】

6.試求滿足下列條件的所有正整數 n : (1) n 恰有 6 個正因數:1, d1 , d 2 , d 3 , d 4 , n ; (2) 1 ? n ? 5(d1 ? d 2 ? d3 ? d 4 ) 。 (16 分) 【92(一) 1】 知識補給:數學競賽常用的數論

練習題: 1. 求一個四位數,它的前兩位元數位及後兩位元數位分別相同,而該數本身等於 一個整數的平方.

2.哪些连续正整数之和为 1000?试求出所有的解.

3.在数 3000003 中,应把它的百位数字和万位数字 0 换成什么数字,才能使所 得

数能被 13 整除?

4.(a)求出所有正整数 n 使 2 n -1 能被 7 整除.

(b)证明:没有正整数 n 能使 2 n +1 被 7 整除.

5. 證明:如果三個連續自然數的中間一個是自然數的立方,那麼它們的

乘積能被 504 整除.

(二)代數
1.方程式 3 8 ? x ? 3 8 ? x ? 1的解為 2.定義兩正數如下:
a? b? 1 1 1 1 ? ? ??? , 1? 2 3 ? 4 5 ? 6 2003 ? 2004 1 1 1 1 ? ? ??? , 1 0 0? 32 0 0 4 1 0 0? 42 0 0 3 1 0 0? 52 0 0 2 200? 41 0 0 3

(一)

。 【92(二) 1】



a ? b

(二)

。 (化成最簡分數) 【92(二) 2】

3.設 a 為實數,使得 a ? log2 3 , a ? log4 3 , a ? log8 3 形成等比數列,則此等比數列的 公比為 (一) 。 【94(二) 1】

4.觀察以下數列的規律: 0, 1, ? 1 , 2, 3, ? 2 , 4, 5, 6, ? 3 , 7, 8, 9, 10, ? 4 , 11, 12, 13, 14, 15, ? 5 , …… 則第 2004 項為 (七) 。 【93(二) 7】

5.給定數列 ?xn ? 如下: x1 ? 試問 x101 是幾位數?

1 , xn ? 3xn?1 ? 2(?1)n?1 , n ? 2,3, …。 2

(五)

。 【95(二) 5】

參考數據: log10 2 ? 0.3010, log10 3 ? 0.4771, log10 7 ? 0.8451 6.若拋物線 y ? x 2 ? k 與橢圓 9 x2 ? 16y 2 ? 144有四個相異交點,則常數 k 的範圍為 (六) 。 【92(二) 6】

7.設 a 是實數,方程式 x 4 ? (3 ? 2a) x 2 ? 2x ? a 2 ? 2a ? 0 的根都是實根,則 a 的範圍為 (六) 。 【93(二) 6】
1 4 9x ? ,則 的最小值為 9 4 ? x 9x ? 1

8.若 x 是正數,且 x ? 4 , x ? 【92(二) 5】

(五)



9.設 a , b 為實數,若函數 f ( x) ? (a cos x ? b sin x) cos x 有最大值 3 及最小值 ? 1 ,則 a 之 值為 (三) 。 【93(二) 3】

10.若 u, v, w, x, y, z 能使下圖各行 、 各列及兩個對角線的和都相等 。 則 uvw ? 2 5 z 【92(二) 5】 3 y v x u w

(五) 。

11.設 a , b, c 為某三角形之三邊長,試證: (a2 ? b2 ? c2 )2 ? 2(a4 ? b4 ? c4 ) 。 (16 分) 【93(一) 1】
? x0 ? 1 ? a 12.給定實數 a ? 0 。平面上點 Pn ( xn , y n ) , n ? 0,1,2,3,? , 滿足 ? 及 ? y0 ? 1 ? a ? x n ?1 ? 2 x n ? 3 y n ? ? y n ?1 ? 3 x n ? 2 y n
1 n ? 0,1,2,3,?。 試求 lim log OPn 之值 。 ( OP n的 n 表示原點到點 P n ?? n

距離)(13 分)【94(一) 4】 知識補給:遞迴數列 練習題:

1. 如果方程 x2+ax+b=0 與 x2+px+q=0 有一個公根 , 求以它們的相異根為根的二 次

方程.

2. x 取什麼值時,不等式

成立?

3. 設 x、y、z>0 且 x+y+z=1.求 1/x+4/y+9/z 的最小值.

4. 有一群兒童,他們的年齡之和 50 歲,其中最大的 13 歲,有一個是 10 歲;除去這個 10 歲兒童之外,其餘兒童的年齡都是整數且恰好組成 一 個等差數列.問有幾個兒童?每個兒童是幾歲? 5. 在公比大於 1 的等比數列中,最多有幾項是在 100 和 1000 之間的整 數.

(三)幾何
1.設圓 O 是△ABC 的內切圓,切點 P, Q, R 分別在 AB, BC, CA 上。若 AP ? x, BQ ? y,

CR ? z ,則圓 O 的半徑為

(四)

。 (以 x, y, z 表示) 【92(二) 4】

2.設 ?ABC 中 ?B ? 2?C , ? A 的平分線交 BC 於 D 點,使得 AB ? CD ,則 ?A ? (一) 。 【92(二) 1】

3.坐標平面上有三個圓 A 、 B 與 C 。圓 A 的圓心為 (0, a ) 而半徑為 a ,圓 B 與圓 A 外 切且與 x 軸相切於點 (a,0) ,圓 C 與圓 A 、圓 B 都外切且又與 x 軸相切,則圓 C 與 x 軸 切點的 x 坐標為 (四) 。 【92(二) 4】

4.在△ABC 中,點 D 在 AB 上且 AD ? 2BD ,又點 E 是 AC 的中點。若
?ACD ? ?BEC ,試證:△ABC 是直角三角形。 (16 分) 【93(一) 2】

5.在凸五邊形 ABCDE 中,若 AB ? BC ? CD ? DE ? EA ,而且 CD 的中點 M 滿足
?CMB ? ?DME ? 45? 。試求

(1) ?ABC 的度數; (9 分)

(2) CF : CM ,其中 F 是 B 至直線 CD 的垂足。 (8 分) 【92(一) 3】 6.設一直線 L 與一雙曲線相交於 A, B 兩點,並與該雙曲線之漸近線相交於 C , D 兩 點。試證: AC ? BD 。 (13 分) 【94(一) 3】 7.給定一個邊長為 1 的正四面體 ABCD 。設 A? 為 A 對於平面 BCD 的對稱點;
B ? 為 B 對於平面 ACD 的對稱點, M 是 CD 的中點。試求: (1) ?A?MB? 的面積;

(2)四面體 A?CB ?D 的體積。 (13 分) 【94(一) 2】


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