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2013年深圳市南山区高一下学期期末考试数学试题及答案.doc 2


高 一 期 末 考 试 数
试时间 120 分钟. 注意事项:
1、答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损.之后务必用黑色签字笔在答题 卡指定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号,在右上角的信息栏填写自己 的考号,并用 2B 铅笔填涂相应的信息点. 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选

涂其它答案,答案不能答在试卷上. 不按要求 填涂的,答案无效. 3、非选择题必须用黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排。如需改动,先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案。不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁,不折叠,不破损.考试结束后,将答题卡交回. 5、考试不可以使用计器.



2013.07.03

本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分, 共 150 分, 考

第Ⅰ 卷(选择题共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上. 1、cos240cos360-sin240 sin360 的值等于 A.

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. cos120

2、问题:有 1000 个乒乓球分别装在 3 个箱子里,其中红色箱子内有 500 个,蓝 色箱子内有 200 个,黄色箱子内有 300 个,现从中抽取一个容量为 100 的样本: 方法:Ⅰ .随机抽样法 Ⅱ .系统抽样法 Ⅲ .分层抽样法. 其中问题与方法能配对的 是
高一数学试题 第 1 页 共 10 页

A.Ⅰ B.Ⅱ C.Ⅲ D.Ⅱ 或Ⅲ 原题:问题:① 有 1000 个乒乓球分别装在 3 个箱子内,其中红色箱子内有 500 个,蓝色箱子内有 200 个,黄色箱子内有 300 个,现从中抽取一个容量为 100 的 样本;② 从 20 名学生中选出 3 名参加座谈会. 方法:Ⅰ.随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法. 其中问题与方法能配对的是 A.①Ⅰ,②Ⅱ B. ① Ⅲ ,② Ⅰ C. ① Ⅱ ,② Ⅲ D. ① Ⅲ ,② Ⅱ 解:1000 个乒乓球分别装在 3 个箱子内,其中红色箱子内有 500 个,蓝色箱子内 有 200 个,黄色箱子内有 300 个,总体的个体差异较大,可采用分层抽样; 从 20 名学生中选出 3 名参加座谈会,总体个数较少,可采用随机抽样法. 综上可知,问题与方法能配对的是① Ⅲ ,② Ⅰ ,故选择 B.

2 ,则 cos(π-2α)= 3 1 1 5 A. ? B. ? C. 9 9 3 4、若 a = (3, m) , b = (2,?1) ,且 a ? b ,则实数 m 的值为
3、已知 sin ? ? A. 3 B. 6 C.-3

D.

5 3

D. -6

cosα + sinα 5、若 2sinα +cosα =0,则 的值为 cosα ? sinα 2 1 2 A. B. ? C. 3 3 3 1 1 1 1 6、右图给出的是计算 ? ? ? ... ? 的值 2 4 6 100
的一个程序框图,则判断框中应该填入的条件是 A.i>98 B.i≤98 C. i≤100 D.i>100 7、在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P, 则△PBC 的面积不小于

D. ?

1 3

开始 S=0 i=2 N Y S=S+1/i i=i+2 输出S 结束

S 的概率是 3 1 B. 3 1 D. 4

2 A. 3 3 C. 4

8、函数 f(x)是以 4 为周期的奇函数,且 f(-1)=1,则 sin[ ?f (5) ? ] ?
高一数学试题 第 2 页 共 10 页

? 2

A.-1 B.0 C.0.5 D.1 9、某工厂的某种型号的机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元)有下表的 统计资料: x y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0

根据上表可得回归直线方程 y =1.23x + a ,则 a ? A.0.08 B.1.08 C.0.18 D.0.8 10、设圆 x2+y2-4x-5=0 的弦 AB 的中点为 P(3,1),则直线 AB 的方程为 A. x+y-4=0 B. x+y-5=0 C. x-y+4=0 D. x-y+5=0

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷上. 11、平面向量 a = (1 , 2) , b = (?3, 2) ,则 | a ? b |? 12、某人射击一次,命中 7~10 环的概率表: 命中环数 概率 7 0.32 8 0.28 . 9 0.18 10 0.12 .

则射击一次,命中环数不足 ..9 环的概率为 13、已知函数 f(x) =

? 1 cos 2x ,将函数 f(x)图像上所有的点向右平移 个单位得 4 2

到函数 g(x)的图像, 再将 g(x)的图像上所有的点横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不 变) 得到函数 h(x) 的图像,则 h(x)的表达式为__________. 14、已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线 l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,有结 论: ① 直线 l 过定点(3, 1); ② 不论 m 取什么实数, 直线 l 与圆 C 恒交于两不同点; ③ 直线被圆 C 截得的弦长最小值时 l 的方程为 y=2x-5. 以上结论正确 的有______. .. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明或演算步骤. 15、(本小题满分 12 分) 设向量 a , b 的夹角为θ , a = (2, 1) , a +3b = (5, 4) ,求 sinθ 的值.

高一数学试题 第 3 页 共 10 页

16、(本小题满分 12 分) 为了了解 2013 年某校高三学生的视力情况, 随机抽查了一部分学生视力,将调查结果分 组,分组区间为:(3.9,4.2],(4.2,4.5],…, (5.1,5.4]经过数据处理,得到如右图频率分 布表: (1)求频率分布表中未知量 n,x,y,z 的值; (2)画出图频率分布直方图. 频率/组距

分组 (3.9, 4.2] (4.2, 4.5] (4.5, 4.8] (4.8, 5.1] (5.1, 5.4] 合计

频数 3 6 25 y 2 n

频率 0.06 0.12 x z 0.04 1.00

O 3.9 4.2 4.5 4.8 5.1 5.4 分组 17、(本小题满分 14 分) 已知 cosα ?

1 13 π , cos(α ? ?) ? ,且 0 < β < α < . 7 14 2

(1)求 tan2α 的值; (2)求角β .

18、(本小题满分 14 分) 先后随机投掷 2 枚正方体骰子, 其中 x 表示第 1 枚骰子出现的点数, y 表示第 2 枚 骰子出现的点数. (1)写出点 P(x,y)在直线 y=x-1 上所有事件,并求其概率; (2)求点 P(x,y)满足 y2≤4x 的概率.

高一数学试题 第 4 页 共 10 页

19、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x) ? 2sin( x ? ) ,x∈R.

1 2

? 3

?? ) 的值; 3 π ?? 10 ?? 6 β ? [0, ] , f(2? + ) = , f(2? + ) = ,求 cos(α+β)的值. (2)设 α, 2 3 13 3 5
(1)求 f(

20、(本小题满分 14 分)

ωx + ? , 1) , OB = (1, 3a sin(ωx + ?) ? a) , 2 ? 设函数 f(x) ? OA ? OB ,(a≠0,ω>0, 0 ? ? ? ),若 f(x)的图像相邻两最高点的 2 ? 距离为 π,且其图像有一条对称轴方程为 x ? . 12
已知 x∈ R,向量 OA = (2a cos
2

(1)求函数 f(x)的表达式; (2)求当 a>0 时,f(x)的单调增区间; (3)当 x ? [0, ] 时,f(x)+b 的最大值为 2,最小值为 ? 3 ,求 a 和 b 的值.

π 2

高一数学试题 第 5 页 共 10 页

高一数学试题参考答案及评分标准
2013.07.03
一、选择题:(10×5′=50′) 1 2 3 题 号 A C、D B 答 案 二、填空题:(4×5′=20′) 11、 2 5 ; 12、0.7; 13、 4 B 5 C 6 C 7 A 8 A 9 A 10 A

1 sin x ; 2

14、①②③.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明或演算步骤. 15、(本小题满分 12 分) 设向量 a , b 的夹角为θ , a = (2, 1) , a +3b = (5, 4) ,求 sinθ 的值. 解:∵ a = (2, 1) , a +3b = (5, 4) , b = (1, 1) , ∴ a ? b ? ? ?? ? ? , 又 a ? b ?| a | ? | b | cos ? ? 5 ? 2 cos ? , ∴ cos ? ? ……3 分 ……5 分 ……7 分 ……9 分 ……10 分

3 , 10

又 θ∈ [0,π], ∴ sin ? ? ?? cos2 ? ? ?? ?

3 2 1 10 . ) ? ? 10 10 10
分组 (3.9, 4.2] (4.2, 4.5] (4.5, 4.8] (4.8, 5.1] (5.1, 5.4] 合计 频数 3 6 25 y 2 n

……12 分

16、(本小题满分 12 分) 为了了解 2013 年某校高三学生的视力情况, 随机抽查了一部分学生视力,将调查结果分 组,分组区间为:(3.9,4.2],(4.2,4.5],…, (5.1,5.4]经过数据处理,得到如右图频率分 布表: (1)求频率分布表中未知量 n,x,y,z 的值; (2)画出图频率分布直方图.

频率 0.06 0.12 x z 0.04 1.00 ……2 分

6 ? 50 人, 解:(1)高三总人数 n ? 0.12

高一数学试题 第 6 页 共 10 页

所以, x ?

24 ? 0.48 , 50

……4 分

y=50-(3+6+24+2)=15, z ? (2)频率分布表: 分组 (3.9,4.2] (4.2,4.5] (4.5,4.8] (4.8,5.1] (5.1,5.4] 合计 图频率分布直方图为:

15 ? 0.30 . 50

……7 分

频数 3 6 25 15 2 50

频率 0.06 0.12 0.48 0.30 0.04 1.00

频率/组距 0.2 0.4 1.6 1.0 0.13

频率/组距 1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 O 3.9 4.2 4.5 4.8 5.1 5.4 人数

17、(本小题满分 14 分) 已知 cosα ?

1 13 π , cos(α ? ?) ? ,且 0 < β < α < . 7 14 2

(1)求 tan2α 的值; (2)求角 β. 解:(1) ∵0 < α < ∴tanα ?

π 1 4 3 2 , cosα ? ,∴sinα ? 1 ? cos α ? , ……2 分 2 7 7
……4 分

sin α ?4 3, cosα

∴tan2α ?

2 tan α 2? 4 3 8 3 . ? ?? 2 2 1 ? tan α 1 ? (4 3) 47
高一数学试题 第 7 页 共 10 页

……6 分

(2)由题意知, 0 < β < α <

π π 13 ,可得 0 < α ? β < , cos(α ? ?) ? , 2 2 14

∴ sin(α ? ?) ? 1 ? cos (α ? ?) ?
2

3 3 , 14

……8 分 ……10 分 ……12 分 ……14 分

cosβ=cos[α-(α-β)]= cosαcos (α-β)+sinαsin (α-β)

1 13 4 3 3 3 1 ? ? ? ? ? , 7 14 7 14 2
又∵ 0 < β <

π π ,∴ β = . 3 2

18、(本小题满分 14 分) 先后随机投掷 2 枚正方体骰子, 其中 x 表示第 1 枚骰子出现的点数, y 表示第 2 枚 骰子出现的点数. (1)写出点 P(x,y)在直线 y=x-1 上所有事件,并求其概率; (2)求点 P(x,y)满足 y2≤4x 的概率. 解:该事件的基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3), (3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3), (6,4),(6,5),(6,6),共有 36 种, ……3 分 (1)点 P(x,y)在直线 y=x-1 上的基本事件有:(2,1),(3,2),(4,3),(5,4), (6,5),共有 5 种, ……5 分 记“点 P(x,y)在直线 y=x-1 上”为事件 A,则 P(A) = 答:事件 A 发生的概率为

5 . 36
……8 分

(2)记“点 P(x,y)满足 y2≤4x” 为事件 B,则满足事件 B 的基本事件有: (1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4), 共有 17 种, ……12 分

5 . 36

P(B) =

17 . 36

答:事件 B 发生的概率为 19、(本小题满分 14 分)

17 . 36

……14 分

高一数学试题 第 8 页 共 10 页

已知函数 f(x) ? 2sin( x ? ) ,x∈R.

?? ) 的值; 3 π ?? 10 ?? 6 β ? [0, ] , f(2? + ) = , f(2? + ) = ,求 cos(α+β)的值. (2)设 α, 2 3 13 3 5 1 ? 解:(1)∵ f(x) ? 2sin( x ? ) ,x∈R, 2 3 ?? 1 ?? ? ?? ? ? ? ) ? 2sin( ? ) ? 2sin ? 2 . ∴ f( ) ? 2sin( ? ……4 分 3 2 3 3 6 3 2 ?? 1 ?? ? 10 ) = 2sin[ (2? + ) ? ] = 2sin? = , (2)∵ f(2? + 3 2 3 3 13 5 ∴ sin? = , ……6 分 13 ?? 1 ?? ? ? 6 ) ? 2sin[ (2? + ) ? ] ? 2sin(? + ) ? 2 cos ? ? , 又∵ f(2? + 3 2 3 3 2 5 3 ∴ cos ? ? , ……8 分 5 4 π 12 β ? [0, ] ,∴ cos? = ,∴ sin ? ? , 而 α, ……11 分 5 2 13 12 3 5 4 16 ? ? ? ? ∴cos(α+β)= cosαcosβ-sinαsinβ = . ……14 分 13 5 13 5 65
(1)求 f( 20、(本小题满分 14 分)

1 2

? 3

ωx + ? , 1) , OB = (1, 3a sin(ωx + ?) ? a) , 2 ? 设函数 f(x) ? OA ? OB ,(a≠0,ω>0, 0 ? ? ? ),若 f(x)的图像相邻两最高点的 2 ? 距离为 π,且其图像有一条对称轴方程为 x ? . 12
已知 x∈R,向量 OA = (2a cos
2

(1)求函数 f(x)的表达式; (2)求当 a>0 时,f(x)的单调增区间; (3)当 x ? [0, ] 时,f(x)+b 的最大值为 2,最小值为 ? 3 ,求 a 和 b 的值. 解:(1)由题意, f(x) ? OA ? OB = (2a cos
2

π 2

ωx + ? , 1) ? (1, 3a sin(ωx + ?) ? a) 2

高一数学试题 第 9 页 共 10 页

ωx + ? ? 3a sin(ωx + ?) ? a 2 = a[1+ cos(ωx + ?)] ? 3a sin(ωx + ?) ? a = 2a cos 2

? = 3a sin(ωx + ?) + a cos(ωx + ?) ? 2a sin(ωx + ? ? ) , 6
∵f(x)的图像相邻两最高点的距离为 π,∴T=π, 又T ?

……3 分

? ? ? ,∴ ωx + ? ? ? k? ? , 12 6 2 ? ? ? ? + ? ? ? k? ? ,即 ? ? k? ? (k∈Z), 即 2? 12 6 2 6 ? ? ? ∵ ? ? ??, ? ,∴ ? ? . ∴ f(x) = 2a sin(2x + ) . ……6 分 6 2 3 ? ? ? (2)当 a>0 时,f(x)的单调增区间为: 2k? ? ? 2x + ? 2k? ? (k∈Z), 2 3 2 ?? ? , k? ? ] 即 [k? ? (k∈Z). ……8 分 12 12 π ? ? ?? 3 ? ? sin(2x + ) ? 1 ,……10 分 (3)由 x ? [0, ] ,得 ? 2x + ? ,∴? 2 3 3 3 2 3 ? ? ?a = ?1 ?? 3a + b = 2 ① 若 a<0 时,有 ? ,解得 ? , ……12 分 ? ? ?b = 2 ? 3 ?2a + b = ? 3 ? ?a = ?1 ? 2a + b = 2 ② 若 a>0 时,有有 ? ,解得 ? . ……14 分 ? ?b = 0 ? ? 3a + b = ? 3
且其图像有一条对称轴方程为 x ?

2? ? ? ,∴ω =2, ω

……4 分

高一数学试题 第 10 页 共 10 页


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