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2.1.2-2指数函数的图象与性质


2. 1.2

指数函数的图像与性质

【教学目标】 (1)使学生了解指数函数模型的实际背景,认识数学与现实生活及其他学科的联系; (2)理解指数函数的的概念和意义,能画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函 数的单调性和特殊点; (3) 在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法, 如具体到一般的过程、 数形结合的方法等. 【教学

重难点】 教学重点:指数函数的的概念和性质. 教学难点:用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 【教学过程】 ㈠情景导入、展示目标 1. (合作讨论) 人口问题是全球性问题, 由于全球人口迅猛增加, 已引起全世界关注. 世 界人口 2000 年大约是 60 亿,而且以每年 1.3%的增长率增长,按照这种增长速度,到 2050 年世界人口将达到 100 多亿,大 有“人口爆炸”的趋势.为此,全球范围内敲起了人口警 钟,并把每年的 7 月 11 日定为“世界人口日” ,呼吁各国要控制人口增长.为了控制人口过 快增长,许多国家都实行了计划生育. 我国人口问题更为突出,在耕地面积只占世界 7%的国土上,却养育着 22%的世界人 口.因此,中国的人口问题是公认的社会问题.2000 年第五次人口普查,中国人口已达到 13 亿,年增长率约为 1%.为了有效地控制人口过快增长,实行计划生育成为我国一项基本 国策. 1 按照上述材料中的 1%的增长率,从 2000 年起,x 年后我国的人口将达到 2000 年的 ○ 多少倍? 2 到 2050 年我国的人口将达到多少? ○ 3 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响? ○ 2. 上一节中 GDP 问题中时间 x 与 GDP 值 y 的对应关系 y=1.073x(x∈N*,x≤20)能 否构成函数? 3. 一种放射性物质不断变化成其他物质,每经过一年的残留量是原来的 84%,那么 以时间 x 年为自变量,残留量 y 的函数关系式是什么? 上面的几个函数有什么共同特征? ㈡检查预习、交流展示 1.根据预习说以下你是怎么理解指数函数的定义? 2.指数函数的性质有哪些? ㈢合作探究、精讲精练 探究点 一:指数函数的概念 一般地,函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数(exponential function) ,其中 x 是自
x

1

变量,函数的定义域为 R. 1 指数函数的定义是一个形式定义,要引导学生辨析; 注意:○ 2 注意指数函数的底数的取值范围,引导学生分析底数为什么不能是负数、零 ○ 和 1. 例1:指出下列函数那些是指数函数:

4 (2) y ? x (3) y ? ? 4 (4) y ? (?4) (5) y ?? 1 (6) y ? 4 x (7) y ? x (8) y ? (2a ?1) (a ? , a ? 1) 2
(1) y ?
x
4

x

x

x

2

x

x

解析:利用指数函数的定义解决这类问题。 解: (1) , (5) , (8)为指数函数 (2) 是幂函数 (3) 是-1与指数函数的乘积 (4) 中底数-4<0, 不是指数函数 (6) 中指数不是自变量x,而是

x

2

的函数(7)中底数不是常数

点评:准确理解指数函数的定义是解好本题的关键. 变式训练一:1.函数 y ? (

a

2

? 3a ? 3) ? a 是指数函数,则有(

x



A.a=1或a=2 B.a=1 C.a=2 D.a>0且 a ? 1 答案:C 探究点二:指数函数的图象和性质 问题: 你能类比前面讨论 函数性质时的思路, 提出研究指数函数性质的内容和方法吗? 研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. 探索研究: 1.在同一坐标系中画出下列函数的图象:

1 x 3 1 x (2) y ? ( ) 2
(1) y ? ( ) (3) y ? 2 (4) y ? 3 (5) y ? 5
x

x

x

x 2. 从画出的图象中你能发现函数 y ? 2 的图象和函数 y ? ( ) 的图象有什么关系?可
x

1 2

x 否利用 y ? 2 的图象画出 y ? ( ) 的图象?
x

1 2

3.从画出的图象( y ? 2 、 y ? 3 和 y ? 5 )中,你能发现函数的图象与其底数之间
x x x

有什么样的规律? 4.你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗? 图象特征
2

函数性质

a ?1

0 ? a ?1

a ?1

0 ? a ?1
非奇非偶函数

向 x、y 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右看, 图象逐渐上升 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 图象上升趋势是越 来越陡 自左向右看, 图象逐渐下降 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1 图象上升趋势是越 来越缓

函数的定义域为 R 函数的值域为 R +

a0 ? 1
增函数 减函数

x ? 0, a x ? 1 x ? 0, a x ? 1
函数值开始增长较 慢,到了某一值后 增长速度极快;

x ? 0, a x ? 1 x ? 0, a x ? 1
函数值开始减小极 快,到了某一值后 减小速度较慢;

5.利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上, f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ; (2)若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; (4)当 a ? 1 时,若 x1 ? x 2 ,则 f ( x 1 ) ? f (x 2 ) ; 例2:求下列函数的定义域 (1) y ?

2

1 x?4

(2) y ? 5

x ?1

解析:求定义域注 意分母不为零,偶次根式里面为非负数。 解(1) :令x-4 ? 0,得x ? 4, 故定义域为(- ? ,4) ? (4,+ ? ) (2) :

? x ? 1 ? 0,? x ? 1,

所以 y ? 5

x ?1

的定义域为 {x x ? 1}

点评:求函数的定义域是解决函数问题的基础。

变式训练二: y ?

1 2?( ) 2

x

的定义域

答案: [-1,+ ? ]

3

㈣反馈测试 导学案当堂检测 ㈤总结反思、共同提高

【板书设计】 一、指数函数 1.定义 2. 图像 3. 性质 二、例题 例1 变式 1 例2 变式 2 【作业布置】 导学案课后练习与提高

4

2.1.2

指数函数的图像与性质

课前预习学案 一.预习目标 了解指数函数的定义及其性质. 二.预习内容 1.一般地,函数 2.指数函数的定义 域是 3.指数函数 y ? 4.指数函数 y ? 叫做指数函数. ,值域 . . 时,

a a

x

(a ? 0, a ? 1) 的图像必过特殊点 (a ? 0, a ? 1) ,当

x

时,在 (??,??) 上是增函数;当

在 (??,??) 上是减函数. 三.提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有那些疑惑,请填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一.学习目标 (1)使学生了解指数函数模型的实际背景,认识数学与现实生活及其他学科的联系; (2)理解指数函数的的概念和意义,能画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函 数的单调性和特殊点; (3) 在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法, 如具体到一般的过程、 数形结合的方法等. 教学重点:指数函数的的概念和性质. 教学难点:用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 二、学习过程 1. (合作讨论) 人口问题是全球性问题, 由于全球人口迅猛增加, 已引起全世界关注. 世 界人口 2000 年大约是 60 亿,而且以每年 1.3%的增长率增长,按照这种增长速度,到 2050 年世界人口将达到 100 多亿, 大有 “人口爆炸” 的趋势. 为此, 全球范围内敲起了人口警 钟, 并把每年的 7 月 11 日定为“世界人口日” ,呼吁各国要控制人口增长.为了控制人口过快增 长,许多国家都实行了计划生育. 我国人口问题更为突出,在耕地面积只占世界 7%的国土上,却养育着 22%的世界人
5

口.因此,中国的人口问题是公认的社会问题.2000 年第五次人口普查,中国人口已达到 13 亿,年增长率约为 1%.为了有效地控制人口过快增长,实行计划生育成为我国一项基本 国策. 1 按照上述材料中的 1%的增长率,从 2000 年起, ○ x 年后我国的人口将达到 2000 年的 多少倍? 2 到 2050 年我国的人口将达到多少? ○ 3 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响? ○ 2.上一节中 GDP 问题中时间 x 与 GDP 值 y 的对应关系 y=1.073x(x∈N*,x≤20)能否 构成函数? 3.一种放射性物质不断变化成其他物质,每经过一年的残留量是原来的 84%,那么以时 间 x 年为自变量,残留量 y 的函数关系式是什么? 上面的几个函数有什么共同特征? 探究一:指数函数的定义及特点:

例1:指出下列函数那些是指数函数:

4 (2) y ? x (3) y ? ? 4 (4) y ? (?4) (5) y ?? 1 y ? 4 x (7) y ? x (8) y ? (2a ?1) (a ? , a ? 1) 2
(1) y ?
2

x

4

x

x

x

(6)

x

x

变式训练一:1.函数 y ? (

a

2

? 3a ? 3) ? a 是指数函数,则有(

x



A.a=1或a=2 B.a=1 C.a=2 D.a>0且 a ? 1

探究二:指数函数的图像与性质 在同一坐标系中画出下列函数的图象:

1 x 3 1 x (2) y ? ( ) 2
(1) y ? ( ) (3) y ? 2 (4) y ? 3
x

x

例2:求下列函数的定义域 (1) y ?

2

1 x?4

(2) y ? 5
6

x ?1

变式训练二 : y ?

1 2?( ) 2

x

的定义域

三.反思总结

四.当堂检测

1 1.关于指数函数 y ? 2 和 y ? ( ) 2
x

x

的图像,下列说法不正确的是(



A.它们的图像都过(0,1)点,并且都在x轴的上方. B.它们的图像关于y轴对称,因此它们是偶函数. C.它们的定义域都是R,值域都是(0 ,+ ? ) .

1 D.自左向右看 y ? 2 的图像是上升的, y ? ( ) 的图像是下降的. 2 2.函数 f ( x) ? ? a ? 1? 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是(
x
2 x

x



A、 a ? 1

B、 a ? 2

C、 a ? 2
1 ) ,则f(2)= 8

D、 1 ? a ? 2


3.指数函数f(x)的图像恒过点(-3,

参考答案:1.B 2.D 3.4

课后练习与提高 1.下列关系式中正确的是( )

7

A. (

1 ) 2

2 3



2

?1..5

<(

1 ) 2

1 3

B. (

1 ) 2

1 3

<(

1 ) 2

2 3



2

?1..5

1 C. 2 <( ) 2
?1..5

2 3

1 <( ) 2

1 3

1 D. 2 <( ) 2
?1..5
x

1 3

1 <( ) 2


2 3

2.下列函数中值域是( 0,+ ? )的函数是( A. y ?

2

1 x

B. y ?

2

?1

C. y ?

2

x

?1

1 D. y ? ( ) 2

2? x

3.函数 y ? A.0.5

a

x

在[0,1]上的最大值与最小值之和为3,则a等于( B.2 C.4 的定义域是 D.0.25



4.函数 f ( x) ?

1 1 ? ex
x

5.已知f(x)=

]= 2 ,则f[f(-1)
2 x2 ?3 x ? 2



6.设 0 ? a ? 1 ,解关于 x 的不等式 a

? a2 x

2

?2 x ?3



8


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