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2015四校联考


2015 届高三调研测试

数学试题

2015.03.02

数学(I) 必做题部分
注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题) .本卷 满分为 160 分,考试时间为 120 分钟.考试结束后,请

将答题卡交回. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷 及答题卡的规定位置. 3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答,在其它位置 作答一律无效. 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 1 n 1 n 参考公式:样本数据 x1 , x2 , , xn 的方差 s 2 ? ? ( xi ? x)2 ,其中 x ? ? xi ; n i ?1 n i ?1 棱锥的体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 是棱锥的底面积,h 是棱锥的高. 3

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需写出解题过程,请把答案 直接填写在答题卡相应位置上 ) ........ 1.设集合 A ? ?1, k ? 1? , B ? ?2,3? ,且 A 2.设 i 是虚数单位,则复数
B ? ?2? ,则实数 k 的值为





i 的模为 2?i
3 4



. ▲ .

3. 下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况, 则这五次测试得分的方差为 次数 1 2 5 . . 33 30 27 29 31 得分 4.如图是一个算法流程图,则输出的 S 的值为 ▲ 5.已知 sin 2? ?
开始
a ? 5, S ? 1

1 1 1 ? ,则 的值为 3 tan ? tan 2?



a?4 S ? S ?a a ? a ?1

N
输出S

Y

6.以双曲线

x2 y2 ? ? 1 的中心为顶点,右准线为准线的 4 12
▲ . y 1
y0

结束

抛物线方程为

第 4 题图

7.右图是函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0) 图像的一部分, 则 ? 的值为 ▲ . 8.若一个正四棱锥的底面边长为 2cm ,侧棱长为 3cm, 3 则它的体积为 ▲ cm .
高三数学(I)试题 第 1 页 (共 14 页)

x0 ?

? y0

O

x0

? 6

x

-1 O
第 7 题图

9.将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次 得到的点数 m 、 n 分别作为点 P 的横、纵坐标,则点 P 不 在 直线 x ? y ? 5 下方的概率为 . . ▲ .

10.已知圆 C 的圆心 C 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上,且圆 C 经过两点 A(0,4) ,B(2,2) ,则 圆 C 的方程为 ▲ .
2

11.已知函数 f ( x) ( x ? R) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? log1 (2 x ? 1) ,则满足不等式

f (log3 ( x ? 2)) ? f (2) ? 0 的 x 的取值范围是



.

12.已知数列 {a n } , {b n } 的通项公式分别为 a n ? 2 n , b n ? 3n ,若

c n ? a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ? ? ? an b1 ,则数列 {c n } 的通项公式为



.

13.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x 图像上有两点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ), x1 ? x2 ? 0 ,若曲线

y ? f ( x) 分别在点 A、B 处的切线互相垂直,则 2 x1 ? x2 的最大值是



.

14.设函数 f ( x) ? 2ax2 ? bx ? 3a ? 1 ,当 x ? [?4,4] 时, f ( x) ? 0 恒成立,则 5a ? b 的最 小值是 ▲ . 二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(14 分)如图,在△ABC 中, CD ? 2DB . (1)若 AD ? x AB ? y BC ( x、 y 为实数) ,求 x、 y 的值; (2)若 AB=3,AC=4,∠BAC=60°,求 AD ? BC 的值. A D B C

16.(14 分)如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是平行四边形. (1)若 CF⊥AE,AB⊥AE,求证:平面 ABFE⊥平面 CDEF; E (2)求证:EF//平面 ABCD. D

F

C

A
高三数学(I)试题 第 2 页 (共 14 页)

B

17.(14 分)如图(1) ,有一块形状为等腰直角三角形的薄板,腰 AC 的长为 a 米(a 为常 数) ,现在斜边 AB 上选一点 D,将△ACD 沿 CD 折起,翻扣在地面上,做成一个遮阳棚, 如图(2). 设△BCD 的面积为 S,点 A 到直线 CD 的距离为 d. 实践证明,遮阳效果 y 与 S、d 的乘积 Sd 成正比,比例系数为 k(k 为常数,且 k>0). (1)设∠ACD= ? ,试将 S 表示为 ? 的函数; (2)当点 D 在何处时,遮阳效果最佳(即 y 取得最大值)? C D

?
S A D 图(1) B

C A 图(2)

B

18.(16 分)在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C :

1 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 2 a b

右焦点 F(1,0) ,点 P 在椭圆 C 上,且在第一象限内,直线 PQ 与圆 O: x 2 ? y 2 ? b 2 相 y 切于点 M. P (1)求椭圆 C 的方程; M (2)求 PM·PF 的取值范围; x O F (3)若 OP⊥OQ,求点 Q 的纵坐标 t 的值.

Q

高三数学(I)试题 第 3 页 (共 14 页)

19.(16 分)已知 a 是实数,函数 f ( x) ? ax ? ln x , g ( x) ? e x ,其中 e 是自然对数的底数. (1)设 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间; (2)设 a=0 时,试比较 g ( x) 与 f ( x) ? 2 的大小,并给出证明; x?m (3)若关于 x 的不等式 g ( x) ? 有解,求实数 m 的取值范围. x

20. (16 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且 S n ?1 ? S n ? (n ? 1) a n ?1 ? (1)若数列 {an } 是等差数列,求数列 {an } 的通项公式; (2)设 a 2 ? 6 ,求证:数列 {an } 是等差数列.

1 a n ? 1 ,n ? N * . 2

高三数学(I)试题 第 4 页 (共 14 页)

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数学试题

2015.03.02

数学Ⅱ(附加题)
注意事项 1.本试卷共 2 页,均为解答题(第 21 题~第 23 题,共 4 题) .本卷满分为 40 分,考试 时间为 30 分钟.考试结束后,请将答题卡交回. 2.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答,在其它位置 作答一律无效. 21.【选做题】本题包括 A, B,C,D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作 ........... 答 .若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 21.A.选修 4-1【几何证明选讲】 (10 分) 如图,已知 AB 为半圆 O 的直径,点 C 为半圆上一点,过点 C 作半圆的切线 CD, 过点 A 作 AD⊥CD 于点 D. 求证:AC 平分∠BAD. D C A 21.B.选修 4-2【矩阵与变换】 (10 分) 二阶矩阵 A 有特征值 ? ? 6 ,其对应的一个特征向量为 e ? ? ? ,并且矩阵 A 对应的 变换将点(1,2)变换成点(8,4) ,求矩阵 A. 21.C.选修 4-4【坐标系与参数方程】 (10 分) 已知直线 l 的参数方程为 ? O B

?1? ?1?

? x ? ?4 ? t (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为 ?y ? t
2

极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4? sin ? ? 2 ? 0 ,直线 l 与圆 C 相交于点 A、B. (1)将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求线段 AB 的长度.

高三数学(I)试题 第 5 页 (共 14 页)

21.D.选修 4-5【不等式选讲】 (10 分)

? 1 1 1 ? ? ? ? 设 a、b、c>0,求证: a ? b ? c ? ? ? ? ?6 3. b c? ? a
22.(10 分)已知抛物线 y 2 ? 2 x 上有四点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y 2 ) 、C ( x3 , y3 )、D( x4 , y 4 ) , 点 M(3,0) ,直线 AB、CD 都过点 M,且都不垂直于 x 轴,直线 PQ 过点 M 且垂直于 x 轴,交 AC 于点 P,交 BD 于点 Q. y (1)求 y1 y 2 的值; (2)求证:MP=MQ. A O D Q P M B C

2

x

23.(10 分)设 Pn ? (1 ? x) 2n?1 , Qn ? 1 ? (2n ? 1) x ? (n ? 1)(2n ? 1) x 2 , x ? R, n ? N ,
*

(1)当 n ? 2 时,试指出 ..Pn 与 Qn 的大小关系; (2)当 n ? 3 时,试比较 Pn 与 Qn 的大小,并证明你的结论.

高三数学(I)试题 第 6 页 (共 14 页)

2015 届高三调研测试
数学参考答案与评分标准
1、3 2、

5 5
5 6

3、4

4、20

5、3

6、 y 2 ? ?4 x

7、6

8、

4 7 3

9、

10、 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 74 13、 ? 2 ? 1 14、 ?

11、 (?2,?

17 ) 9

12、 cn ? 6(3n ? 2 n )

1 3 2 1 AB ? AC ??3 分 3 3

15.(1)∵ CD ? 2DB ,∴ AD ? AC ? 2( AB ? AD) ,∴ AD ? 又∵ AD ? x AB ? y BC ? ( x ? y) AB ? y AC ∴

2 1 AB ? AC ? ( x ? y) AB ? y AC ??????5 分 3 3

2 ? x? y ? ? 1 ? 3 ∵ AB 与 AC 不共线,∴ ? ,∴ x ? 1, y ? ??????7 分 3 ?y ? 1 ? 3 ?
2 1 AB ? AC ) ? ( AC ? AB ) ??????10 分 3 3 2 2 1 2 1 ? AB ? AC ? AB ? AC ????????12 分 3 3 3 4 = ??????14 分 3
(2) AD ? BC ? ( 注:也可建立直角坐标系,用坐标运算求解本题. 16. (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AB//CD,又∵AB⊥AE,∴AE⊥CD??4 分 又∵AE⊥CF,CD∩CF=C,CD、CF ? 平面 CDEF,∴AE⊥平面 CDEF????6 分 又∵AE ? 平面 ABFE,∴平面 ABFE⊥平面 CDEF??????7 分 (2)∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AB//CD 又∵AB ? 平面 CDEF,CD ? 平面 CDEF,∴AB//平面 CDEF????10 分 又∵AB ? 平面 ABFE,平面 ABFE∩平面 CDEF=EF,∴AB//EF???12 分 又∵EF ? 平面 ABCD,AB ? 平面 ABCD,∴EF//平面 ABCD.????14 分 17.(1)△BCD 中

BC CD ? , sin ?CDB sin ?B
高三数学(I)试题 第 7 页 (共 14 页)



a CD ,∴ CD ? ? ? sin(? ? 45 ) sin 45?

a 2 sin(? ? 45? )

????4 分

∴S ?

1 2a 2 cos? ? BC ? CD ? sin ?BCD ? , 0 ? ? ? 90 ??6 分(其中范围 1 分) ? 2 4 sin(? ? 45 )

(2) d ? a sin ? ????8 分

ka 3 sin ? cos? 2ka 3 sin ? cos? ??????10 分 y ? kSd ? ? 2(sin ? ? cos? ) 4 sin(? ? 45? )
t 2 ?1 令 sin ? ? cos ? ? t ,则 t ? (1, 2 ] , sin ? cos? ? 2
∴y?

ka 3 (t 2 ? 1) ka 3 1 ? (t ? ) 在区间 (1, 2 ] 上单调递增,????12 分 4t 4 t

∴当 t ?

2 时 y 取得最大值,此时 ? ?

?
4



即 D 在 AB 的中点时,遮阳效果最佳.??????14 分

?c 1 ? ? 18.(1) ? a 2 ????2 分 ? ?c ? 1
∴c=1,a=2,∴ b ?

3 ,∴椭圆方程为
2 2

x2 y2 ? ? 1 ????4 分 4 3

(2)设 P( x0 , y0 ) ,则

x0 y ? 0 ? 1(0 ? x0 ? 2) 4 3

PM= x0 ? y 0 ? 3 ? PF= 2 ?

2

2

x0 ? 3 ?

2

3 2 1 x0 ? 3 ? x0 ,??????6 分 4 2

1 x0 ????8 分 2 1 1 2 ∴PM·PF= x0 (4 ? x0 ) ? ? ( x0 ? 2) ? 1 , 4 4
∵ 0 ? x0 ? 2 ,∴|PM|·|PF|的取值范围是(0,1).????10 分

高三数学(I)试题 第 8 页 (共 14 页)

(3)法一:①当 PM⊥x 轴时,P ( 3,

3 ) ,Q ( 3, t ) 或 (? 3, t ) , 2

由 OP ? OQ ? 0 解得 t ? ?2 3 ????????12 分 ② 当 PM 不 垂 直 于 x 轴 时 , 设 P( x0 , y0 ) , PQ 方 程 为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , 即

kx ? y ? kx0 ? y0 ? 0
∵PQ 与圆 O 相切,∴
2

| kx0 ? y0 | k ?1
2

? 3 ,∴ (kx0 ? y0 ) 2 ? 3k 2 ? 3

∴ 2kx0 y0 ? k 2 x0 ? y0 ? 3k 2 ? 3 ??????13 分 又 Q( ∴

2

t ? y 0 ? kx0 x ( y ? kx0 ) , t ) ,所以由 OP ? OQ ? 0 得 t ? 0 0 ????14 分 k x0 ? ky0
2

x0 (kx0 ? y 0 ) 2 x0 (3k 2 ? 3) x0 ( y0 ? kx0 ) 2 ? 2 t ? ? 2 2 2 2 2 ( x0 ? ky0 ) 2 x0 ? k 2 y 0 ? 2kx0 y 0 x0 ? k 2 y0 ? k 2 x0 ? y0 ? 3k 2 ? 3
2

2

2

=

(1 ? k 2 ) x0

2

x0 (3k 2 ? 3) =12,∴ t ? ?2 3 ??16 分 3 2 2 2 ? (1 ? k )(3 ? x0 ) ? 3k ? 3 4

2

法二:设 P( x0 , y0 ) ,则直线 OQ: y ? ? ∵OP⊥OQ,∴OP·OQ=OM·PQ ∴ x0 ? y 0 ? ∴
2 2

x0 y x ,∴ Q(? 0 t , t ) , y0 x0

y0 x0 t2 x0
2

2 2

t 2 ? t 2 ? 3 ? ( x0 ?

y0 2 t ) ? ( y 0 ? t ) 2 ????12 分 x0
2 2

x0 ? y 0 ?
2 2

2

2

( x0 ? y 0 ) ? 3 ? x0 ?
2

2

2

2

y0 x0
2 2

t 2 ? y0 ? t 2 ? 3 ?

2

x0 ? y 0 x0
2

2

2

( x0 ? t 2 )

2

∴ ( x0 ? y0 )t 2 ? 3( x0 ? t 2 ) ,∴ t 2 ?

3x 0
2

x0 ? y 0 ? 3

??????14 分

高三数学(I)试题 第 9 页 (共 14 页)

2 x y 3x 3x0 2 ∵ 0 ? 0 ? 1 ,∴ y 0 ? 3 ? 0 ,∴ t 2 ? ? 12 ,∴ t ? ?2 3 ?????16 分 1 2 4 4 3

2

2

2

4

x0

1 19.(1) f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? a ? ( x ? 0) . x 10 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,? f ( x) 在 (0, ??) 单调递增;??????2 分 1 2 0 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ? , a 1 则当 x ? (0, ? ) 时, f ?( x) ? 0 ,? f ( x) 单调递增, a 1 当 x ? (? , ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减. a 综上:当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ??) 单调递增; 1 1 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ? ) 单调递增,在 (? , ??) 单调递减.????5 分 a a
(2)法一:令 m( x) ? e x ? ln x ? 2 , m?( x) ? e ?
x

1 , x

1 m?( x) 在 (0,??) 单调递增, m ?( ) ? e ? 2 ? 0 , m?(1) ? e ? 1 ? 0 2 1 ∴ m?( x) =0 在 (0,??) 有且只有一解 t,且 t ? ( ,1) ??????7 分 2 1 ∴ m( x) 在 ( , t ) 单调递减,在 (t ,1) 单调递增 2 ∴ m( x) 的最小值为 m(t ) ? e t ? ln t ? 2 1 t ?t ∵ m?(t ) ? 0 ,∴ e ? ,∴ t ? e , t 1 t ∴ m( x) 的最小值 m(t ) ? e ? t ? 2 ,且其在 t ? ( ,1) 上单调递增 2 1 ∴ m( x) 的最小值 m(t ) ? m( ) ? e ? 1 ? 0 2 ∴ m( x) >0,∴ g ( x) ? f ( x) ? 2 ????????10 分 x x 法二: (1)令 m( x) ? e ? x, x ? (0,??) , m?( x) ? e ? 1 ? 0 ,
∴ m( x) 在 (0,??) 单调递增,∴ m( x) ? m(0) ? 1,即 e ? x ? 1 ????7 分
x

令 h( x) ? x ? ln x, x ? (0,??) , h ?( x ) ? 1 ?

∴ h( x) 在 (0,1) 单调递减,在 (1,??) 单调递增,∴ h( x) ? h(1) ? 1,即 x ? ln x ? 1 ∴ e ? ln x ? 2 ,即 g ( x) ? f ( x) ? 2 ??????10 分 x?m (3)由题意: e x ? 有解,即 e x x ? x ? m 有解, x
x

1 , x

高三数学(I)试题 第 10 页 (共 14 页)

因此 m ? x ? e x x , x ? (0, ??) 有解??????12 分 设 h( x) ? x ? e x x , h?( x) ? 1 ? e x x ? ∵ x?
1 2 x ?2
1

ex 2 x

? 1 ? ex ( x ?

1 2 x

) ,??????14 分

1 ? 2 ? 1 ,且 x ? (0, ??) 时 e x ? 1 , 2

∴1 ? ex ( x ?

) ? 0 ,即 h?( x) ? 0 ,故 h( x) 在 (0, ??) 单调递减, 2 x ? h( x) ? h(0) ? 0 ,故 m ? 0 .??????16 分

20.(1)∵ S n ?1 ? S n ? (n ? 1) a n ?1 ?

1 an ? 1 2

∴ 2 S n ? na n ?1 ?

1 an ? 1 2

又∵ {an } 是等差数列,设公差为 d,则

n(n ? 1) ? 1 ? 2?na1 ? d ? ? n(a1 ? nd) ? [a1 ? (n ? 1)d ] ? 1 2 2 ? ?
∴ dn ? (2a1 ? d )n ? dn ? (a1 ?
2 2

d 1 )n ? (a1 ? d ) ? 1 ????4 分 2 2

d ? 2a1 ? d ? a1 ? ? ? 2 ∴? ? 1 (a ? d ) ? 1 ? 0 ?2 1 ?

∴?

?a1 ? 2 ?d ? 4

??????6 分

∴ an ? 4n ? 2 ????8 分

1 ? 2 S ? a ? a1 ? 1 1 2 ? ? 2 注:由 ? 解得 a1 ? 2, d ? 4 ,但没有证明原式成立,只给 4 分. 1 ?2S ? 2a ? a ? 1 2 3 2 ? 2 ?
(2)∵ 2 S n ? na n ?1 ? ∴ 2 S n ?1

1 an ? 1 ① 2 1 ? (n ? 1)a n ? a n ?1 ? 1 ② 2

①—②得 2nan?1 ? (2n ? 3)an ? an?1 ? 0(n ? 2) ????????10 分 ∴ (2n ? 2)an?2 ? (2n ? 5)an?1 ? an ? 0(n ? 1) 两式相减得 (2n ? 2)an?2 ? (4n ? 5)an?1 ? (2n ? 4)an ? an?1 ? 0(n ? 2) ????12 分
高三数学(I)试题 第 11 页 (共 14 页)

∴ (2n ? 2)an?2 ? (4n ? 4)an?1 ? (2n ? 2)an ? an?1 ? 2an ? an?1 ? 0(n ? 2) ∴ (2n ? 2)[an?2 ? 2an?1 ? an ] ? an?1 ? 2an ? an?1 (n ? 2) ????14 分 ∵ a2 ? 6 ∴可得 a1 ? 2, a3 ? 10 ∴ a3 ? 2a2 ? a1 ? 0

∴ an?2 ? 2an?1 ? an ? 0

∴ {an } 是等差数列??????16 分

注:先猜 an ? 4n ? 2 ,后用第二数学归纳法证明,只给 5 分.

数学Ⅱ

附加题部分

D C O B

21.A.连接 OC ∵CD 与圆 O 相切于点 C,∴OC⊥CD??3 分 又∵AD⊥CD,∴OC//AD????????6 分 A ∴∠OCA=∠DAC???????????8 分 又∠OAC =∠OCA,∴∠BAC =∠DAC 即 AC 平分∠BAD.??10 分

? Ae ? 6e ? ?a b ? 21.B.设所求二阶矩阵 A= ? ,则 ? ?1 ? ?8 ? ??????4 分 ? ?c d ? ? A? ? ? ? ? ? ? 2? ? 4?
? ? a ? b ? ?6 ? ?a ? b ? 6 ?? ? ?? ? ?c ? d ? 6 ? ?c ? d ? ?6 ? ? ∴? ∴? ??8 分 ??a ? 2b ? ? ?8 ? ?a ? 2b ? 8 ? ? ? ? ?? ??c ? 2d ? ?4? ?c ? 2d ? 4
解方程组得 A= ?
2

?4 2 ? ? ??????10 分 ?8 ? 2?
2

21.C.(1) x ? y ? 4 y ? 2 ? 0 ????4 分 (2)直线 l 的普通方程为 x ? y ? 4 ? 0 ??????6 分 又圆心 C(0,2) ,半径 r ?

6 ,∴C 到 l 的距离为

|2| 2

? 2,

∴AB ? 2 6 ? 2 =4.?????10 分 21.D.∵ a、b、c>0, ∴ a ? b ? c ? 33 abc ??????3 分
高三数学(I)试题 第 12 页 (共 14 页)

1 a

?

1 b

?

1 c

? 33

1 abc
2

(当 a=b=c 时取“=” )????6 分

? 1 1 1 ? 1 3 3 ? ? ? ∴a ?b?c ?? ? ? ? 3 abc ? 9 abc ? 2 27 ? 6 3 ????9 分 b c? ? a
(当 abc ? 3 3 ,即 a ? b ? c ? 3 时,取“=” )????10 分 22.(1)设直线 AB 的方程为 x ? m y ? 3 ,与抛物线联立得: y 2 ? 2my ? 6 ? 0 ??2 分 ∴ y1 y 2 ? ?6 ????4 分 (2)直线 AC 的斜率为

y1 ? y3 2 2 ∴直线 AC 的方程为 y ? ( x ? x1 ) ? y1 ? y1 ? y3 x1 ? x3 y1 ? y3 6 ? y1 y3 ????6 分 y1 ? y3

∴点 P 的纵坐标为 y P ?

6 ? (? ? ?

6 ) y3 y2

6 ? y3 y2

?

6( y 2 ? y 3 ) ????7 分 y 2 y3 ? 6

同理:点 Q 的纵坐标为 yQ ?

6( y3 ? y 2 ) ????9 分 y 2 y3 ? 6

∴ y P ? yQ ? 0 ,又 PQ⊥x 轴∴MP=MQ.??????10 分 23.(1)n=1 时, Pn ? Qn ;

n ? 2 时,当 x ? 0 时, Pn ? Qn ;当 x ? 0 时, Pn ? Qn ;当 x ? 0 时, Pn ? Qn ??3 分
(2) n ? 3 时,①x=0 时, Pn ? Qn ??????4 分 ②x≠0 时,令 F ( x) ? (1 ? x) 则 F ?( x) ? ?(2n ? 1)(1 ? x)
2 n?1

? 1 ? (2n ? 1) x ? (n ? 1)(2n ? 1) x 2

2 n ?2

? (2n ? 1) ? 2(n ? 1)(2n ? 1) x

F ??( x) ? (2n ? 1)(2n ? 2)(1 ? x) 2n?3 ? 2(n ? 1)(2n ? 1) = (2n ? 1)(2n ? 2)[(1 ? x) 2n?3 ? 1]
高三数学(I)试题 第 13 页 (共 14 页)

当 x>0 时, F ??( x) ? 0 , F ?( x) 单调递减;当 x<0 时, F ??( x) ? 0 , F ?( x) 单调递增 ∴ F ?( x) ? F ?(0) ? 0 ,∴ F ( x) 单调递减??????7 分 当 x>0 时, F ( x) ? F (0) ? 0 ,当 x<0 时, F ( x) ? F (0) ? 0 ∴当 x>0 时, Pn ? Qn ;当 x<0 时, Pn ? Qn ??????10 分 法二:可用数学归纳法证明当 x<0 时, Pn ? Qn ,如下: ①当 n=3 时,P3 ? Q3 ? (1 ? x) ? (1 ? 5 x ? 10 x ) ? ? x [( x ? ] ?
5 2 3 2

5 2

15 ] ? 0 成立??5 分 4

②假设 n ? k (k ? 3) 时有 Pk ? Qk , 则当 n ? k ? 1 时, Pk ?1 ? (1 ? x) 2k ?1 ? (1 ? x) 2 (1 ? x) 2k ?1

? (1 ? x) 2 [1 ? (2k ? 1) x ? (k ? 1)(2k ? 1) x 2
又 1 ? (2k ? 1) x ? ?k (2k ? 1) x 2 ? (1 ? x) 2 [1 ? (2k ? 1) x ? (k ? 1)(2k ? 1) x 2

? (2k ? 1) x 3 [(k ? 1) x ? (2k ? 1)] ? 0 ????????6 分
∴ n ? k ? 1 时也成立 ∴当 x<0 时, Pn ? Qn ??????7 分 当 x>0 时,用法一证明????10 分 法三:用二项式定理证明当 x<0 时, Pn ? Qn ,如下:
3 3 4 4 2n?1 2n?1 n ? 3 时, Pn ? Qn ? C2 ) 2n?1 C2 n?1 x ? C2n?1 x ? ? ? (?1 n?1 x

∴当 x<0 时, Pn ? Qn ??????7 分 当 x>0 时,用法一证明????10 分

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