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2012年高考理科新课标数学试题参考答案


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷) 理科数学试题参考答案

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷) 理科数学试题参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给同的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。
1,2,3, 4?, B ? ??x,y ? | x ? A,y ? A,x

? y ? A?,则 B 中所含元素的个 1、已知集合 A ? ?

数为( ) A、3 解析:选 D

B、6

C、8

D、 10

x ? 5 , y ? 1 ,2,3,4; x ? 4 , y ? 1 ,2,3; x ? 2 , y ? 1 共 10 个

2、将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践 活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( ) A、12 种 B、10 种 C、9 种 D、8 种 解析:选 A
1 2 甲地由 1 名教师和 2 名学生: C2 C4 ? 12 种

3、下面是关于复数 z ?

2 的四个命题:其中的真命题为( ?1? i



p1 :| z |? 2 ; p 2 : z 2 ? 2i ; p 3 : z 的共轭复数为 1 ? i ; p 4 : z 的虚部为 ?1

A、 p 2 , p3 解析:选 C
z?

B、 p1 , p 2

C、 p 2 , p 4

D、 p3 , p4

2 2?? 1 ? i ? ? ? ?1 ? i ? 1 ? i ?? 1 ? i ??? 1 ? i ?

p1 :| z |? 2 ; p 2 : z 2 ? 2i ; p 3 : z 的共轭复数为 ?1 ? i ; p 4 : z 的虚部为 ?1

4、设 F1、F2 是椭圆 E :

y2 x2 3a ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? 的左、右焦点,P 为直线 x ? 上一点, 2 a b 2

?F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角形,则 E 的离心率为(


3 4

A、

1 2

B、

2 3

C、

D、

4 5

解析:选 C
c 3 ?3 ? ?F2 PF1 是底角为 30? 的等腰三角形 ? PF2 ? F2 F1 ? 2? a ? c ? ? 2c ? e ? ? a 4 ?2 ?

5、已知 ?a n ?为等比 数列, a 4 ? a 7 ? 2 , a5 a 6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? ( A、7 B、 5 C、-5

) D、-7

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解析:选 D
a 4 ? a 7 ? 2 , a5 a6 ? a 4 a7 ? ?8 ? a 4 ? 4 , a 7 ? ?2 或 a 4 ? ?2 , a7 ? 4 a 4 ? 4 , a7 ? ?2 ? a1 ? ?8 , a10 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7 a 4 ? ?2 , a 7 ? 4 ? a1 ? 1 , a10 ? ?8 ? a1 ? a10 ? ?7

6、如果执行右边的程序框图,输入正整数 N ?N ? 2? 和实数 a 1 , a2 ,…, an ,输 出 A,B,则( )
开始

A、 A ? B 为 a 1 , a2 ,…, an 的和 B、
A? B 为 a 1 , a2 ,…, an 的算术平均数 2

输入 N,a1,a2,…,an

k=1,A=a1,B=a1

C、A 和 B 分别是 a 1 , a2 ,…, an 中最大的数和最小的数
x =ak

D、A 和 B 分别是 a 1 , a2 ,…, an 中最小的数和最大的数 解析:选 C
x>A 否 是 x<B B=x 否 是

k=k+1

A=x

k≥N 是 输出 A,B



结 束

7、如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则 此几何体的体积为( ) A、6 B、9 C、12 D、18 解析:选 B 该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为 3 此几何体的体积为 V ? ? ? 6 ? 3 ? 3 ? 9 8、等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y 2 ? 16x 的准线交于
1 3 1 2

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A,B 两点, | AB |? 4 3 ,则 C 的实轴长为( A、 2 解析:选 C B、 2 2

) C、4 D、8

设 C : x 2 ? y 2 ? a 2 ?a ? 0? 交 y 2 ? 16x 的准线 ? : x ? ?4 于 A ? 4, 2 3 , B ? 4, ?2 3 得: a 2 ? 4 ? a ? 2 ? 2a ? 4
? 9、已知 ? ? 0 ,函数 f ?x ? ? sin? ?x ? ?

?

?

?

?

??

?? ? ? 在 ? ,? ? 上单调递减,则 ? 的取值范围是 4? ?2 ? ? ? 1? 2?




? ? A、 ? , ? ?2 4? 1 5 ? ? B、 ? , ? ?2 4? 1 3

C、 ? 0, ?

2? D、 ?0,

解析:选 A
, ? 不合题意 排除 D ?? 4? ? ? 4 4 ? ? ? ? 3? 5? ? ? ? ? 1 ? ? ?x ? ? ? ? , ? 合题意 排除 B、C 4? ? 4 4 ? ?

? ? 2 ? ? ?x ?

? ?

? ? ? 5? 9? ?

?? ? ? ?? ? ? ? ? ? 3? ? ? ? 另: ? ? ? - ? ? ? ? ? ? 2 , ? ?x ? ? ? ? ? ? ,?? ? ? ? ? , ?
? 2? ? 4? ?2 4 4? ?2 2 ?

得: ? ?
2

?

?
4

?

?
2

, ?? ?

?
4

?

3? 1 5 ? ?? ? 2 2 4

10、 已知函数 f ?x ? ?
y

1 ,则 y ? f ?x? 的图像大致为( ln?x ? 1? ? x
y y


y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

解析:选 B
g ?x? ? ln?1 ? x? ? x ? g ??x? ? ? x 1? x

? g ??x ? ? 0 ? ?1 ? x ? 0 , g ??x ? ? 0 ? g ?x ? ? g ?0? ? 0

得: x ? 0 或 ?1 ? x ? 0 均有 f ?x? ? 0 ,排除 A、C、D 11、已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上, ?ABC 是边长为 1 的正 三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ,则此棱锥的体积为( )

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A、

2 6

B、

3 6

C、

2 3

D、

2 2

解析:选 A
?ABC 的外接圆的半径 r ?

3 6 ,点 O 到面 ABC 的距离 d ? R 2 ? r 2 ? 3 3 2 6 3

SC 为球 O 的直径 ? 点 S 到面 ABC 的距离为 2d ? 此棱锥的体积为 V ? S ?ABC ? 2d ? ? 另: V ? S ?ABC ? 2 R ?
1 3 1 3 1 3 3 2 6 2 ? ? 4 3 6

3 排除 B、C、D 6 1 12、设点 P 在曲线 y ? e x 上,点 Q 在曲线 y ? ln?2 x ? 上,则 | PQ | 最小值为( 2



A、 1 ? ln 2 解析:选 A
1 2 1 2

B、 2 ?1 ? ln 2?

C、 1 ? ln 2

D、 2 ?1 ? ln 2?

函数 y ? e x 与函数 y ? ln?2 x ? 互为反函数,图象关于 y ? x 对称
? ? 函数 y ? e x 上的点 P? x, e x ? 到直线 y ? x 的距离为 d ? ? 1 2 ?
1 2 1 2

1 x e ?x 2 2
1 ? ln 2 2

设函数 g ?x ? ? e x ? x ? g ??x ? ? e x ? 1 ? g ?x ?min ? 1 ? ln 2 ? d min ? 由图象关 于 y ? x 对称得: | PQ | 最小值为 2d min ? 2 ?1 ? ln 2? 第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都 必须作答,第 22—第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13、已知向量 a , b 夹角为 45? ,且 | a |? 1 , 2a ? b ? 10 ,则 b ? ________. 解析: 3 2
2a ? b ? 10 ? 2a ? b ? 10 ? 4 ? b ? 4 b cos 45? ? 10 ? b ? 3 2
? x,y ? 0 ? 14、设 x,y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 ,则 z ? x ? 2 y 的取值范围为 ?x ? y ? 3 ?

?

?

2

2

.

解析:[-3,3] 约束条件对应四边形 OABC 边际及内的区域:C(0,0) ,A(0,1) ,B(1,2) , C(3,0)
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则 z ? x ? 2 y ? [-3,3] 15、某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元 件 3 正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从 正态分布 N(1000, 50 2 ) ,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超 过 1000 小时的概率为 .
元件 1 元件 3 元件 2

解析:使用寿命超过 1000 小时的概率为

3 8
1 2 3 4

三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N(1000, 50 2 ) 得:三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 P ?

超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率 P1 ? 1 ? ?1 ? p ?2 ? 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 P2 ? p1 ? p ?
3 8

16、数列 ?a n ?满足 a n?1 ? ?? 1?n a n ? 2n ? 1 ,则 ?a n ? 的前 60 项和为 解析: ?a n ?的前 60 项和为 1830

.

可证明: bn?1 ? a4n?1 ? a 4n? 2 ? a4n?3 ? a4n? 4 ? a4n?3 ? a4n?2 ? a4n?1 ? a4n ? 16 ? bn ? 16
b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 10 ? S ? 10 ? 15 ? 15 ? 14 ? 16 ? 1830 2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、 (本小题满分 12 分) 已知 a、b、c 分别为 ?ABC 三个内角 A、B、C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (1)求 A; (2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ,求 b、c. 解: (1)由正弦定理得:
a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C

? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin? A ? C ? ? sin C

? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin? A ? 30?? ?

1 2

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? A ? 30? ? 30? ? A ? 60?

(2) S ? bc sin A ? 3 ? bc ? 4
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b ? c ? 4

1 2

解得: b ? c ? 2 18、 (本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的 价 格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。 (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:枝, n ? N )的函数解析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 (i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分 布列,数学期望及方差; (ii) 若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花, 你认为应购进 16 枝还是 17 枝? 请说明理由。 解: (1)当 n ? 16 时, y ? 16 ? ?10 ? 5? ? 80 当 n ? 15 时, y ? 5n ? 5?16 ? n? ? 10n ? 80 得: y ? ?
?10n ? 80 ?80

?n ? 15? ?n ? N ? ?n ? 16?

(2) (i)X 可取 60,70,80
P? X ? 60? ? 0.1 , P? X ? 70? ? 0.2 , P? X ? 80? ? 0.7

X 的分布列为 X P 60 0.1 70 0.2 80 0.7

EX ? 60 ? 0.1 ? 70 ? 0.2 ? 80 ? 0.7 ? 76

DX ? 162 ? 0.1 ? 6 2 ? 0.2 ? 4 2 ? 0.7 ? 44

(ii)购进 17 枝时,当天的利润为
Y ? ?14 ? 5 ? 3 ? 5? ? 0.1 ? ?15 ? 5 ? 2 ? 5? ? 0.2 ? ?16 ? 5 ? 1 ? 5? ? 0.16 ? 17 ? 5 ? 0.54 ? 76.4
76.4 ? 76 得:应购进 17 枝。

19、 (本小题满分 12 分)
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如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC ? BC ? AA1 ,D 是棱 AA1 的中点,DC1 ? BD . (1)证明: DC1 ? BC ; (2)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小。 解: (1)在 Rt?DAC 中, AD ? AC 得: ?ADC ? 45? 同理: ?A1 DC1 ? 45? ? ?CDC1 ? 90? 得: DC1 ? DC , DC1 ? BD ? DC1 面 BCD ? DC1 ? BC (2) DC1 ? BC , CC1 ? BC ? BC ? 面 ACC1 A1 ? BC ? AC 取 A1 B1 的中点 O,过点 O 作 OH ? BD 于点 H,连接 C1O , C1 H
A1C1 ? B1C1 ? C1O ? A1 B1 ,面 A1 B1C1 ,面 A1 BD ? C1O ? 面 A1 BD OH ? BD ? C1 H ? BD 得:点 H 与点 D 重合
A D A1

1 2

C1

B1

C

B

且 ?C1 DO 是二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角 设 AC ? a ,则 C1 O ?
2a , C1 D ? 2a ? 2C1O ? ?C1 DO ? 30? 2

既二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30? . 20、 (本小题满分 12 分) 设抛物线 C : x 2 ? 2 py? p ? 0? 的焦点为 F,准 线为 ? , A ? C , 已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 ? 于 B、D 两点。 (1)若 ?BFD ? 90? , ?ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A、B、F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个 公共点,求坐标原点到 m、n 距离的比值。 解: (1)由对称性知: ?BFD 是等腰直角三角形,斜边 | BD |? 2 p 点 A 到准线 ? 的距离 d ?| FA |?| FB |? 2 p
1 S ?ABD ? 4 2 ? ? | BD | ?d ? 4 2 ? p ? 2 2

圆 F 的方程为 x 2 ? ? y ? 1?2 ? 8

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? p? 0 ? (2)由对称性设 A? ? x0, ??x0 ? 0? ,则 F ? 0, ??x 0 ? 0 ?

? ?

x2 ? 2p ?

?

2?

点 A、B 关于点 F 对称得: B? ? ? x0,P ?
?

?

2 ? x0 x2 p 2 ? ? p ? 0 ? ? ? x0 ? 3p2 ? 2p ? 2p 2

3p p ? 3p ? p 3p ? 得: A? 3 p, ? ,直线 m : y ? 2 2 x ? ? x ? 3 y ? ?0 2 ? 2 2 ? 3p
x 2 ? 2 py ? y ?

? 3p p ? x2 x 3 3 ? y? ? ? ?x? p ? 切点 P? ,? ? 3 6? 2p p 3 3 ? ?

直线 n : y ?

? p 3? ? x ? 3 p ? ? x ? 3y ? 3 p ? 0 ? 6 3 ? 3 ? 6 ? ?
3p 3p : ?3. 2 6

坐标原点到 m , n 距离的比值为 21、 (本小题满分 12 分)

已知函数 f ?x ? 满足满足 f ?x? ? f ??1?e x?1 ? f ?0?x ? x 2 . (1)求 f ?x ? 的解析式及单调区间; (2)若 f ?x? ? x 2 ? ax ? b ,求 ?a ? 1?b 的最大值。 解: (1) f ?x? ? f ??1?e x?1 ? f ?0?x ? x 2 ? f ??x? ? f ??1?e x?1 ? f ?0? ? x 令 x ? 1 得: f ?0? ? 1
f ?x? ? f ??1?e x ?1 ? x ? 1 2 x ? f ?0? ? f ??1?e ?1 ? 1 ? f ??1? ? e 2 1 2 1 2 1 2

1 2

得: f ?x? ? e x ? x ? x 2 ? g ?x? ? f ??x? ? e x ? 1 ? x
g ??x? ? e x ? 1 ? 0 ? y ? g ?x? 在 x ? R 上单调递增
f ??x ? ? 0 ? f ??0? ? x ? 0 , f ??x ? ? 0 ? f ??0? ? x ? 0 ? ? ? ,单调递减区间 得: f ?x ? 的解析式为 f ?x? ? e x ? x ? x 2 且单调递增区间为 ?0,

1 2

为 ?? ?0? . (2) f ?x? ? x 2 ? ax ? b ? h?x? ? e x ? ?a ? 1?x ? b ? 0 得 h??x? ? e x ? ?a ? 1? ①当 a ? 1 ? 0 时, h??x ? ? 0 ? y ? h?x ?在 x ? R 上单调递增
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x ? ?? 时, h?x ? ? ?? 与 h?x ? ? 0 矛盾

②当 a ? 1 ? 0 时, h??x ? ? 0 ? x ? ln?a ? 1?, h??x? ? 0 ? x ? ln?a ? 1? 得:当 x ? ln?a ? 1? 时, h?x?min ? ?a ? 1? ? ?a ? 1? ln?a ? 1? ? b ? 0

?a ? 1?b ? ?a ? 1?2 ? ?a ? 1?2 ln?a ? 1??a ? 1 ? 0?
令 F ?x? ? x 2 ? x 2 ln x?x ? 0? ;则 F ?x? ? x?1 ? 2 ln x?
F ??x? ? 0 ? 0 ? x ? e , F ??x? ? 0 ? x ? e

当 x ? e 时, F ?x ?max ?

e 2 e 2

当 a ? e ? 1 , b ? e 时, ?a ? 1?b 的最大值为 . 请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号。 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如 图,D、E 分别为 ?ABC 边 AB、AC 的中点,直线 DE 交 ?ABC 的外接圆于 F、 G 两点,若 CF // AB ,证明: (1) CD ? BC ; A ? BCD ? GBD (2) ∽ 解: (1) CF // AB , DF // BC ? CF //BD//AD ? CD ? BF
CF // AB ? AF ? BC ? BC ? CD
G D E F

(2) BC // GF ? BG ? FC ? BD
BC // GF ? ?GDE ? ?BGD ? ?DBC ? ?BDC ? ?BCD ∽ ?GBD
B C

23、 (本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 ?
? x ? 2 cos ? ??为参数 ? ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴 ? y ? 3 sin ?

为极轴建立坐标系,曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上, 且 A、B、C、D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 ? 2, ? .
3? ? ?

??

(1)求点 A、B、C、D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 | PA | 2 ? | PB | 2 ? | PC | 2 ? | PD | 2 的取值范围。 解: (1)点 A、B、C、D 的极坐标为 ? 2, ? , ? 2, ? , ? 2, ? , ? 2,
3? ? ?

??

? ?

5? ? 6 ?

? ?

4? ? 3 ?

? 11? ? ? 6 ? ?

点 A、B、C、D 的直角坐标为 1 ?1 ,3 , ? 3, 1 , ?1 , ? 3 , 3,

? ? ?

? ?

? ?

?

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(2)设 P?x 0,y 0 ? ;则 ?

? x 0 ? 2 cos ? ??为参数 ? ? y 0 ? 3 sin ?

t ?| PA | 2 ? | PB | 2 ? | PC | 2 ? | PD | 2 ? 4x 2 ? 4 y 2 ? 40
? 56 ? 20 sin 2 ? ( ? ? [56,76])

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ?x? ?| x ? a | ? | x ? 2 | . (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ?x? ? 3 的解集; (2)若 f ?x ? ?| x ? 4 | 的解集包含[1,2],求 a 的取值范围。 解: (1)当 a ? ?3 时, f ?x ? ? 3 ?| x ? 3 | ? | x ? 2 |? 3
?x ? 2 ?2 ? x ? 3 ?x ? 3 ?? 或? ? 或? ? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ?x ? 3 ? x ? 2 ? 3
? x ?1或 x ? 4

(2)原命题 ? f ?x? ?| x ? 4 | 在[1,2]上恒成立
?| x ? a | ?2 ? x ? 4 ? x 在[1,2]上恒成立
? ?2 ? x ? a ? 2 ? x 在[1,2]上恒成立

? ?3 ? a ? 0

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