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配方法 、分离常数法


函数的值域(配方法,分离常数法) 一、配方法。 例 1.求函数 y ? ? x2 ? 4x ? 2 ( x ?[?1,1] )的值域。 【解析】 y ? ? x2 ? 4x ? 2 ? ?( x ? 2)2 ? 6 。
? 2 ?? 1 , ) 2? 9 ∵ ?1 ? x ? 1 , ∴ ?3? x ∴ 1 ?( x?2
2 x 2 )? 6? 5 , ∴ ?

3?? ( ?

, ∴ ?3 ? y ? 5 。

∴函数 y ? ? x2 ? 4x ? 2 ( x ?[?1,1] )的值域为 [?3,5] 。 例 2.求函数 y ? 2 ? ? x 2 ? 4 x ( x ? ?0, 4?) 的值域。 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解,为便于计算不妨设:

f ( x) ? ? x 2 ? 4x( f ( x) ? 0) 配方得:f ( x) ? ?( x ? 2) 2 ? 4( x ? ?0, 4?) 利用二次函数的相关知识
得 f ( x) ? ?0, 4? ,从而得出: y ? ? ?0, 2? 。 说明:在求解值域(最值)时,遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域 的限制,本题为: f ( x) ? 0 。

例 3.若 x ? 2 y ? 4, x ? 0, y ? 0 ,试求 lg x ? lg y 的最大值。
【 分 析 与 解 】 本 题 可 看 成 第 一 象 限 内 动 点 P( x, y) 在 直 线 x ? 2 y ? 4 上 滑 动 时 函 数
lg x ? lg y ? lg xy 的最大值。利用两点 (4, 0) , (0, 2) 确定一条直线,作出图象易得:

x ? (0, 4), y ? (0, 2), 而lg x ? lg y ? lg xy ? lg[ y(4 ? 2 y)] ? lg[?2( y ?1)2 ? 2] ,y=1 时, lg x ? lg y 取
最大值 lg 2 。 练习.求下列函数的最大值、最小值与值域: ① y ? x 2 ? 4x ? 1 ; ② y ? x 2 ? 4x ? 1, x ? [3,4] ; ③ y ? x 2 ? 4x ? 1, x ?[0,1] ;

④ y ? x 2 ? 4x ? 1, x ? [0,5] ;⑤ y ? ? x2 ? 2 x ? 3 。 【答案】① [?3, ??) ;② [?2,1] ;③ [?2,1] ;④ [?3, 6] ;○ 6 [0, 2] 二、分离常数法 适用类型 1:分子、分母是一次函数的有理函数,可用分离常数法 1? x 例 4:求函数 y ? 的值域。 2x ? 5 1 7 7 ? (2 x ? 5) ? 1? x 1 解:∵ 2 ?? ? 2 , y? ? 2 2x ? 5 2x ? 5 2 2x ? 5

7 1 1? x 1 2 ?0 y?? y? {y | y ? ? } 2 ,∴函数 2 x ? 5 的值域为 2 ∵ 2x ? 5 ,∴
适用类型 2 :分式且分子、分母中有相似的项,通过该方法可将原函数转化为为
y ? k ? f ( x) ( k为 常数)的形式。

例 5:求函数 y ?

x2 ? x 的值域。 x2 ? x ?1

分 析 与 解 : 观 察 分 子 、 分 母 中 均 含 有 x2 ? x 项 , 可 利 用 分 离 变 量 法 ; 则 有

1 x2 ? x x2 ? x ? 1 ?1 ? 1 ? 1 3。 y? 2 ? 2 ( x ? )2 ? x ? x ?1 x ? x ?1 2 4
1 2 3 1 ?3 ( f ( x) ? 0) 从而 f ( x) ? ? ,?? ? 。 不妨令: f ( x) ? ( x ? ) ? , g ( x) ? 2 4 f ( x) ?4

? 4? ? 1 注意:在本题中若出现应排除 f ( x) ? 0 ,因为 f ( x) 作为分母.所以 g ( x) ? ? 0, ? 故 y ? ?? ,1? 。 ? 3 ? 3?
1.求函数 y ? 【答案】 . (2,
2x 2 ? 2x ? 3 的值域。 x2 ? x ?1

10 ] 3


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