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2012年第29届物理竞赛复赛试卷


29 届全国中学生物理竞赛复赛试卷
一、(17 分)设有一湖水足够深的咸水湖,湖面宽阔而平静,初始时将一体积很小的匀质 正立方体物块在湖面上由静止开始释放,释放时物块的下底面和湖水表面恰好接触。已知 湖水密度为;物块边长为,密度为,且。在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下, 求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。 二、(23 分)设想在地球赤道平面内有一垂直于地面

延伸到太空的轻质电梯,电梯顶端可 超过地球的同步卫星高度(从地心算起)延伸到太空深处。这种所谓的太空电梯可用于低 成本地发射绕地人造卫星,其发射方法是将卫星通过太空电梯匀速地提升到某高度,然后 启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去。 1.设在某次发射时,卫星在太空电梯中及其缓慢地匀速上升,该卫星在上升到处意外地和 太空电梯脱离(脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零)而进入太空。 ⅰ .论证卫星脱落后不会撞击地面 ⅱ .如果卫星脱落后能再次和太空电梯相遇,即可在它们相遇时回收该卫星,讨论该卫星从 脱落时刻起,在小时及小时两个时间段内被太空电梯回收的可能性。 2.如果太空电梯地点位于东经 110 度处,在太空电梯上离地心距离为处有一卫星从电梯脱 离(脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零),脱离后该卫星轨道刚好能和 赤道某处相切,而使卫星在该点着地,试求卫星卓地点的经度。提示:此问要用数值方法 求解高次方程。 已知:地球质量,半径的球体;引力恒量;地球自转周期小时;假设卫星与太空电梯脱离 后只受地球引力作用。

R

0.80R

R0

三、(25 分)如图所示,两根刚性轻杆和在端牢固粘接在一起,延长线于的夹角为锐角, 杆长为,杆长为。在杆的、和三个点各固连一质量均为的小球,构成一刚性系统,整个系 统放在光滑水平桌面上,桌面上有一固定的光滑竖直挡板。杆延长线与挡板垂直,现使该 系统以大小为、方向沿的速度向挡板平动。在某时刻,小球与挡板碰撞,碰撞结束时球在 垂直于挡板方向的分速度为零,且球与挡板不粘连。若使求碰撞后,球先于球与挡板相 碰。求夹角应满足什么条件。

A

B α

v0

C

四、(21 分)如图所示,虚线小方框是由个电容器联成的有限网络;虚线大方框是并联的 两个相同的无线网络。此无线网络的结果是:从左到中间,每个电容器的右极板与两个电 容器的左极板相连,直至无穷;从中间到右,每两个电容器的右极板与一个电容器的左极 板相连,直至联结到一个电容器为止。网络中的所有电容器都是完全相同的平行板真空电 容器,其极板面积为,极板间距为。整个电容网络体系与一内电阻可忽略不计的电池连 接,电池电动势恒定、大小为。忽略电容器的边缘效应,静电力常量已知。 1.若将虚线小方框中标有的电容器的右极板极缓慢地向右拉动,使其两极板的距离变为。 求在拉动过程中电池所做的功和外力所做的功。 2.在电容器两极板的距离变为后,再将一块与电容器的极板形状相同、面积也为、带电荷 量为的金属薄板沿平行于的极板方向全部插入到电容器中,使金属薄板电容器左极板的距 离为。求此时电容器的左极板所带的电荷量。

……

a

ε

五、(25 分)如图所示,两个半径不等的用细金属导线做成的同心圆环固定在水平的桌面 上。大圆环半径为。小圆环表面绝缘半径为,两圆环导线每单位长度电阻均为,它们处于 匀强磁场中,磁感应强度大小为,方向竖直向下。一每单位长度电阻为的长直金属细杆放 在大圆环平面上,并从距圆环中心左侧为的 的位置,以速度匀速向右沿水平面滑动到相 对于大圆环中心与对称的位置,滑动过程中金属杆始终与大圆环保持密接。假设金属杆和 大圆环的电流在小圆环处产生的磁场均可视为匀强磁场。试求在上述滑动过程中通过小圆 环导线横截面的电荷量。 提示:当半径为、长度为的一段圆环导线通有电流时,圆弧电流在圆心处产生的磁感应强 度大小为,方向垂直于圆弧所在平面且与圆弧电流的方向满足右手螺旋法则;无限长直导 线通有电流时,电流在距直导线距离为处产生的磁感应强度的大小为,其中是已知常量。
a c

v R1

R2

b

d

六、(15 分)如图所示,刚性绝热容器和水平放置,一根带有绝热阀门和多孔塞的绝热刚 性细短管把容器、相互连通。初始时阀门是关闭的,内装有某种理想气体,温度为;内为 真空。现将阀门打开,气体缓慢通过多孔塞后进入容器中,当容器中气体的压强降到与初 始时中气体压强之比为时,重新关闭阀门。设最后留在容器内的那部分气体与进入容器中 的气体之间始终无法热量交换,求容器中气体质量与气体总质量之比。已知:1 摩尔理想 气体的内能为,其中是已知常量,为绝对温度;一定质量的理想气体经历缓慢的绝过程 时,其压强与体积满足过程方程常量,其中为普适气体常量。重力影响和连接管体积忽略 不计。
阀门

A

B

多孔塞

七(16 分)图中为一薄凸透镜,为高等于与光轴垂直放置的线状物,已知经成一实像,像 距为,现于的右方依次放置薄凸透镜、和薄凸透镜以及屏,它们之间的距离如图所示,所 有的透镜都共轴,屏与光轴垂直,、焦距的大小均为。已知物经上述四个透镜最后在屏上 成倒立的实像,像高为。
P L1 L2 L3 L4

27.5cm 2.5cm 5.0cm

26.0cm

1. 焦距的大小为 ,焦距的大小为 。 2.保持、和位置不变,而沿光轴平移和,最后在屏上成倒立的实像,像高为,此时到的距 离为 ,到的距离为 。 八、(18 分)如图所以,竖直固定平行放置的两条相同长直导线 1 和 2 相距为(长直导线 的长度),两导线中通有方向和大小都相同的稳恒电流,电流方向向上。导线中正离子都 是静止的,每单位长度导线中正离子的电荷量为;形成电流的导电电子以速度沿导线向下 匀速运动,每单位长度的导线中导电电子的电荷量为。已知:单位长度电荷量为的无限长 均匀带电直导线在其距离为处产生的电场强度大小为,其中是常量;当无线长直导线通有 恒稳电流时,电流在距导线距离为处产生磁场的磁感应强度大小为,其中是常量。试利用 狭义相对论中的长度收缩公式求常量和的比值。 提示:忽略重力;正离子和电子的电荷量与惯性参照系的选取无关;真空中的光速为。

1

2


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