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广东省东莞市2015年11月高中数学竞赛决赛试题


2015 年东莞市高中数学竞赛决赛试题
满分:150 分,考试时间:2015 年 11 月 22 日上午 9:30—11:30,不能使用计算器和涂改液。 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.每小题各有四个选择支,仅有一个选择支正确.请 把正确选择支号填在答题卡的相应位置. ) 1. An ? x | 2n ? x ? 2n?1 , x ? 3m

, m ? N ,若 An 表示集合 An 中元素的个数,则 A 1 ? A 2 ? A 3 ? A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

?

?

2.已知直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 x ? ay ? 1 ? 0 互相垂直,则 a ? A.0 B.1 C. ?1 D.1 或 ?1

3. 已知角 ? 的终边经过点 P(?1, 2) ,则 tan ? ? ? A.

? ?

??

? 的值是 4?
3
D. ?3

1 3

B. ?

1 3

C.

4.在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a2 ? ?1,且 an?2 ? an?1 ? an , n ? 1, 2,? .则 a2015 = A. ?1 B. 0 C. 1 D. 2

5. 半径为 R 的球的内部装有 4 个有相同半径 r 的小球,则小球半径 r 可能的最大值是 A.

3 2? 3

R

B.

1 R 1? 3

C.

2 R 6 ?2

D.

5 2? 5

R

6. 已知 f ? x ? ? x2 , g ? x ? ? x ?1 ,令 f1 ? x ? ? g ? ? f ? x ?? ?,

f n?1 ? x ? ? g ? ? f n ? x ?? ? ,则方程 f2015 ? x ? ? 1 实数解的个数是

A. 2014 B. 2015 C. 2016 D. 2017 2 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.请把答案填在答题卡相应题的横线上. ) , 7.分别写有数字 1,2,3,4 的 4 张卡片,从这 4 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之 , 6 8.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半圆,则该几何体的表面积 和为奇数的概率为 ▲ . 为 ▲ .

2 2 9.设圆 C 的半径为 1 ,圆心在 l : y ? x ? 1 ( x ? 0 )上,若圆 C 与圆 x ? y ? 9

相交,则圆心 C 的横坐标的取值范围为 10.设 x, y 满足约束条件 ? 值为 3,则 a 的值为__▲



.

?1 ? x ? 3, ,且目标函数 z ? ax ? y(a ? 0) 的最大 ??1 ? x ? y ? 0
.

11.设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? 9 x ? 对一切 x ? 0 都成立,则 a 的取值范围为 ▲
第 1 页 共 8 页


a2 ? 7 ,若 f (x) ?a ?1 x



12.圆 O 的半径为 1, P 为圆周上一点,现将如图放置的边长为 1的正方形(实线所示 ,正方形的顶点 A 和点 P 重合)沿着圆周顺时针滚动,经过若干次滚动,点 A 第一次回到点 P 的位置,则点 A 走过的 路径的长度为 ▲ .
D A A(P) B D C C

三、解答题(本大题共 6 小题,共 78 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 13.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? . 2 2

(1)求 f ( x ) 的单调递增区间;

n B? 2sin (2)设 ?ABC 的内角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c , 且 c ? 3 , f (C ) ? 0 , 若 si
求 a , b 的值. 14.(本小题满分 12 分) 设向量 a ? (? ? 2, ? 2 ? 3 cos 2? ) , b = ( m, (1)若 ? ?

A,

?

?

?

12 ? ? ? (2)若 a ? 2b ,求 的取值范围. m
15. (本题满分 13 分)

时恒有 a ? b , 求 m 的取值范围;

?

?

m ? sin ? cos ? ) ,其中 ? , m , ? 为实数. 2

如图,在四棱锥 P — ABCD 中, AD ? CD ?

1 AB , AB ∥ DC , AD ? CD , PC ? 平面 ABCD . 2

(1)求证: BC ? 平面 PAC ; (2)若 M 为线段 PA 的中点,且过 C , D, M 三点的平面与 PB 交于点 N ,求 PN : PB 的值.
P

M

A D C (第 15 题图)

B

第 2 页 共 8 页

16. (本题满分 13 分) 若数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 2Sn ? 3an ?1 (n ? N* ) ,等差数列 {bn } 满足 b1 ? 3a1,b3 ? S2 ? 3 . (1)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ?

1 n?2 ? ( n ? N ),且 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? . 4 bn ? bn?1 ? a n

17. (本题满分 14 分) 如图(示意) ,公路 AM、AN 围成的是一块顶角为 α 的角形耕地,其中 tan?=-2 .在该块土地中 P 处有一小型建筑,经测量,它到公路 AM,AN 的距离分别为 3km, 5km.现要过点 P 修建一条直线公路 BC(点 B, C 分别在射线 AM , AN 上) ,将三条公路围成的三角形区域 ABC 建成一个工业园.为尽量减少 耕地占用,问如何确定 B 点的位置,使得该工业园区的面积最小?并求最小面积.
N C
:学_科_网 Z_X

·
α
A

P

B (第 17 题图)

M

18. (本题满分 14 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? 5 x ? a ? 2a .
2

(1)若函数 f ( x ) 在 [0,3] 上单调,求实数 a 的取值范围; (2)若存在实数 x1 , x2 ,满足 ( x1 ? a)( x2 ? a) ? 0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) .求当 a 变化时, x1 ? x2 的取值范围.

第 3 页 共 8 页

2015 年东莞市高中数学竞赛决赛试题 参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.每小题各有四个选择支,仅有一个选择支正确.请 把正确选择支号填在答题卡的相应位置. ) 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 C 5 C 6 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.请把答案填在答题卡相应题的横线上. ) 7.

2 3

8.

3 ?? 3 2

9.

? 7 ? 1 31 ? 1 ? ? ? 2 , 2 ? ? ? ?

10.

2

11.

a??

8 7

12.

?2 ? 2 ? ?
2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 78 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 13.(本小题满分 12 分) 解:(1) f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 ?
………………………2 分 ………………………3 分 ………………………4 分 ………………………5 分

? 3 1 ? cos 2 x 1 sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 6 2 2 2 ? ? ? 由 ? ? 2 k? ? 2 x ? ? ? 2 k? , 2 6 2 ? ? 得 ? ? k? ? x ? ? k ? , k ? Z 6 3 ? ? ∴函数 f ( x ) 的单调递增区间为 [ ? ? k? , ? k? ] , k ? Z . 6 3 ? (2)由 f (C ) ? 0 ,得 sin(2C ? ) ? 1 6
∵ 0 ? C ? ? ,∴ ? ∴ 2C ?

?
6

? 2C ?

?
6

?

?

3 6 2 又 sin B ? 2sin A ,由正弦定理,得 b ? 2a .
由余弦定理,得 c ? a ? b ? 2ab cos
2 2 2

?

?

,C ?

?

11? , 6

………………………6 分 ………………………7 分 ① ………………………8 分



?

3

, ② ………………………9 分 ………………………12 分

即 a ? b ? ab ? 3
2 2

由①②解得 a ? 1 , b ? 2 .
第 4 页 共 8 页

14.(本小题满分 12 分) 解: (1) ? ?

?
12

时, a ? ? ? ? 2, ? 2 ?

?

? ?

3? ? ? m 1? ? , b ? ? m, ? ? , 2? ? 2 4?

∵ a ? b , ∴ ? ? ? 2? m ? ? ? 2 ?

?

?

? ?

3 ?? m 1 ? ?? ? ? ? 0 , 2 ?? 2 4 ?
…………………… 3 分

整理得 ?

5 3 ?m 1? 2 ? ? ? ? m? ? m ? ? 0 对一切 ? ? R 均有解, 4 8 ? 2 4?
1 1 时,得 ? ? ?2 ,符合题意,当 m ? ? 时, 2 2

当m ? ?

3? 3 2 1 3 ? 2m ? 1 ?? 5 ? ? m2 ? 4 ? ?? m ? ? ? ? m ? m ? ? 0 , 8? 2 2 8 ? 4 ?? 4
解得 ?

1 10 1 10 , ? ?m?? ? 6 6 6 6 1 10 1 10 . ? ?m?? ? 6 6 6 6
…………………… 6 分

∴ m 的取值范围为 ? (2)∵ a ? 2b , ∴?

?

?

? ?? ? 2 ? 2m , 2 ? ?? ? 3 cos 2? ? m ? 2sin ? cos ?
2

∴ ? ? 2m ? 2 ? 4m ? 9m ? 4 ? 2sin(2? ? ∴ ?2 ? 4m ? 9m ? 4 ? 2 ?
2

?
3

),

…………………… 9 分

所以

?
m

1 ? m ? 2, 4
…………………… 12 分

?

2m ? 2 2 ? 2 ? ? [?6,1] . m m

15. (本题满分 13 分) 证明: (1)连结 AC.不妨设 AD=1. 1 因为 AD=CD= AB,所以 CD=1,AB=2. 2 因为?ADC=90?,所以 AC= 2,?CAB=45?. 在△ABC 中,由余弦定理得 BC= 2,所以 AC2+BC2=AB2. 所以 BC?AC. 因为 PC?平面 ABCD,BC?平面 ABCD,所以 BC?PC. 因为 PC?平面 PAC,AC?平面 PAC,PC∩AC=C, 所以 BC?平面 PAC.
第 5 页 共 8 页

…………………… 3 分

…………………… 7 分

(2)如图,因为 AB∥DC,CD?平面 CDMN,AB?平面 CDMN, 所以 AB∥平面 CDMN. 因为 AB?平面 PAB, 平面 PAB∩平面 CDMN=MN, 所以 AB∥MN. …………………… 11 分
D A

P

…………………… 9 分
M N

B C

在△PAB 中,因为 M 为线段 PA 的中点, 所以 N 为线段 PB 的中点, 1 即 PN:PB 的值为 . 2 16. (本题满分 13 分) 解: (1)当 n ? 1 时, 2S1 ? 3a1 ? 1,∴ a1 ? 1 当 n ? 2 时, 2an ? 2Sn -2Sn-1 =( ,即 3an ?1 )-(3an-1 ?1 ) …………………… 13 分

(第 15 题图)

………………………1 分

an ?3 an?1

………………………3 分

∴数列 {an } 是以 a1 ? 1 为首项,3 为公比的等比数列,∴ an ? 3n?1 , 设 {bn } 的公差为 d , b1 ? 3, b3 ? S 2 ? 3, d ? 2 ∴ bn ? 2n ? 1

………………………4 分 ………………………5 分 ………………………6 分

(2)由(1)得 cn ?

n?2 3 1 1 ? [ ? ] ……………8 分 n ?1 n ?1 (2n ? 1)(2n ? 3) ? 3 4 (2n ? 1) ? 3 (2n ? 3) ? 3n

?Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ?? cn
3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 ( ? )? ( ? )? ( ? ) ??? ( ? ) 2 2 3 n ?1 4 3 ?1 5 ? 3 4 5 ? 3 7 ? 3 4 7?3 9?3 4 (2n ? 1) ? 3 (2n ? 3) ? 3n 3 1 1 ? ( ? ) 4 3 (2n ? 3) ? 3n 1 1 1 ? ? ? n ?1 4 4(2n ? 3) ? 3 4 ?
………………………13 分 17. (本题满分 14 分)
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解:如图,以 A 为原点,AB 为 x 轴,建立平面直角坐标系. 因为 tan?=-2 ,故直线 AN 的方程是 y=-2 x . 设点 P(x0,y0). 因为点 P 到 AM 的距离为 3,故 y0=3 .
第 6 页 共 8 页 (A ) O (第 16 题图) B x N C y

·

P

由 P 到直线 AN 的距离为 5, 得

2 x0 + y0 5

1 或 x0=? 4 (舍去), ? 5 ,解得 x0=
……………………………… 4 分

所以点 P(1,3).

显然直线 BC 的斜率存在.设直线 BC 的方程为 y-3=k ( x- 1) , k ? (-2, 0) . 令 y=0 得 xB ? 1 ? 由

3=k ( x-1) ?yy- ? ?2 x

3 . k
,解得 yC ?

6 ? 2k . k ?2

……………………………… 7 分

设△ABC 的面积为 S ,则 S ?

1 ? k 2 ? 6k ? 9 8k ? 9 xB yC ? ? ?1 ? 2 . …………… 8 分 2 2 k ? 2k k ? 2k
t ?9 . 8

令 8k ? 9 ? t ,则 t ? (-25,-9) ,从而 k ? 因此 S ? ?1 ?

t ?t ?9? ?t ?9? ? ? ? 2? ? ? 8 ? ? 8 ?

2

=?1 ?

64t 64t =?1 ? 2 t ? 34t ? 225 t ? 34t ? 225
2

=? 1 ?

64 225 t ? 34 ? t

……… ……………… 11 分

225 ? (-34,-30] , t 225 当且仅当 t ? -15 时,此时 AB=5 , 34 ? t + 的最大值为 4 .从而 S 有最小值为 15 . t
因为当 t ? (-25,-9) 时, t + 答:当 AB=5 km 时,该工业园区的面积最小,最小面积为 15km2. 18. (本题满分 14 分) 解: (1) f ( x) ? x ? 5 x ? a ? 2a ? ?
2

…………… 14 分

? x 2 ? 5 x ? 7 a, x ? a ? , 2 ? ? x ? 5 x ? 3a, x ? a

………………………… 1 分

当 0 ? x ? 3 时, 若 a ? 3 ,则 f ( x) ? x ? 5x ? 3a 在 [0,3] 上为增函数,符合题意;
2

若0 ? a ?

5 ,则 2
在 [0, a ] 上, f ( x) ? x ? 5x ? 3a 为增函数,
2 2 在 [ a , ] 上, f ( x) ? x ? 5x ? 7a 为减函数, 2 在 [ , 3] 上, f ( x) ? x ? 5x ? 7a 为增函数,

5 2

5 2

不合题意;
第 7 页 共 8 页



5 ? a ? 3 ,则 2
在 [0, a ] 上, f ( x) ? x2 ? 5x ? 3a 为增函数, 在 [ a,3] 上, f ( x) ? x 2 ? 5x ? 7a 为增函数,且 f ( x ) 在 [0,3] 上连续不断, 所以 f ( x ) 在 [0,3] 上为增函数,符合题意.

综上,所求 a 的取值范围为 a ?

5 . 2

………………………… 6 分

(2)因为 x1 , x2 满足 ( x1 ? a)( x2 ? a) ? 0 ,不妨设 x1 ? a ? x2 ,令 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? k ,当 a ?

5 时, 2

k ? f (a) ? a2 ? 2a ,当 0 ? a ?
①当 a ?

5 5 28a ? 25 ?k; 时, f ( ) ? 2 2 4

………………………… 8 分

5 ?5 ? 25 ? 4k ? 12a 5 ? 25 ? 4k ? 28a , 且 k ? f (a) ? a2 ? 2a 时, x1 ? x2 ? ? 2 2 2

?

?20a 关于 k 为增函数, 25 ? 4k ? 12a ? 25 ? 4k ? 28a
所以 0 ?

?20a ?10a , ? 25 ? 4k ? 12a ? 25 ? 4k ? 28a | a ? 5 | ? | a ? 5 | 2 2 5 ?10a 所以,当 a ? 时, ? ?5 ; 5 5 2 |a? |?|a? | 2 2 5 ?10a 当0 ? a ? , ? ?2a ? ?5 ,所以 ?5 ? x1 ? x2 ? 0 . 5 5 2 |a? |?|a? | 2 2 5 28a ? 25 ? k ? f (a ) ? a 2 ? 2a 时, ②当 0 ? a ? , 2 4

………………………… 11 分

?5 ? 25 ? 4k ? 12a 5 ? 25 ? 4k ? 28a ?5 ? 25 ? 4k ? 12a 5 ? 25 ? 4k ? 28a , ? ? x1 ? x2 ? ? 2 2 2 2
即?

1 2

?

25 ? 4k ? 12a ? 25 ? 4k ? 28a ? x1 ? x2 ?

?

1 2

?

25 ? 4k ? 12a ? 25 ? 4k ? 28a ,
28a ? 25 ? k ? a 2 ? 2a , 4

?

因为 25 ? 4k ? 12a ? 25 ? 4k ? 28a 关于 k 为增函数,且 所以 40a ? 25 ? 4k ? 12a ? 25 ? 4k ? 28a ? 10 ,

又当 a ? 0 时, f ( x ) 关于 x 轴对称,从而 x1 ? x2 ? 0 可以取到, 所以当 a 变化时 ?5 ? x1 ? x2 ? 5 . 综上, x1 ? x2 的取值范围 ? ?5,5? . ………………………… 14 分

第 8 页 共 8 页


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