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2015年全国高中数学联赛(B卷word版)


2015 年全国高中数学联赛(B 卷) (一试)
一、填空题(每个小题 8 分,满分 64 分 1:已知函数 f ( x) ? ? 值范围是 2:已知 y ? f ( x) ? x3 为偶函数,且 f (10) ? 15 ,则 f (?10) 的值为 3:某房间的室温 T (单位:摄氏度)与时间 t (单位:小时)的函数关系为:

? a?x x ?

a log2

x ? [0,3] x ? (3,??)

,其中 a 为常数,如果 f (2) ? f (4) ,则 a 的取

T ? a sin t ? b cost , t ? (0,??) ,其中 a , b 为正实数,如果该房间的最大温差为 10 摄氏度,
则 a ? b 的最大值是 4: 设正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面 ABCD 是单位正方形, 如果二面角 A1 ? BD ? C1 的 大小为

? ,则 AA 1 ? 3

5:已知数列 ?an ?为等差数列,首项与公差均为正数,且 a2 , a5 , a9 依次成等比数列,则使得

a1 ? a2 ? ? ? ? ? ak ? 100a1 的最小正整数 k 的值是
2 2 6:设 k 为实数,在平面直角坐标系中有两个点集 A ? ( x, y ) x ? y ? 2( x ? y ) 和

?

?

B ?? ( x, y) kx ? y ? k ? 3 ? 0?,若 A ? B 是单元集,则 k 的值为
7:设 P 为椭圆

y2 x2 ? ? 1 上的动点,点 A(1,1), B(0,?1) ,则 PA ? PB 的最大值为 4 3

8:正 2015 边形 A1 A2 ? ? ? A2015 内接于单位圆 O ,任取它的两个不同顶点 Ai , Aj , 则 OAi ? OAj ? 1的概率为 二、解答题 9: (本题满分 16 分)数列 ?an ?满足 a1 ? 3, 对任意正整数 m, n ,均有 am?n ? am ? an ? 2mn (1)求 ?an ?的通项公式; (2)如果存在实数 c 使得

?a
i ?1

k

1
i

? c 对所有正整数 k 都成立,求 c 的取值范围

10: (本题满分 20 分)设 a1 , a2 , a3 , a4 为四个有理数,使得:

3 1 ? ?a a 1 ? i ? j ? 4?? ? ?? 24,?2,? ,? ,1,3? ,求 a ? a
i j

?

2

8

?

1

2

? a3 ? a4 的值

11: (本题满分 20 分)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (c,0) ,存在经过点 F a 2 b2

的一条直线 l 交椭圆于 A, B 两点,使得 OA ? OB ,求该椭圆的离心率的取值范围

(加试)
1: (本题满分 40 分)证明:对任意三个不全相等的非负实数 a, b, c 都有:

(a ? bc) 2 ? (b ? ac) 2 ? (c ? ab) 2 1 ? ,并确定等号成立的充要条件 (a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 2

2: (本题满分 40 分)如图,在等腰 ?ABC 中, AB ? AC ,设 I 为其内心,设 D 为 ?ABC 内的一个点,满足 I , B, C, D 四点共圆,过点 C 作 BD 的平行线,与 AD 的延长线交于 E 求证: CD ? BD ? CE
2

) 满足: 3: (本题满分 50 分)证明:存在无穷多个正整数组 (a, b, c)(a, b, c ? 2015
a bc ? 1, b ac ? 1,c ab ? 1

4: (本题满分 50 分)给定正整数 m, n(2 ? m ? n) ,设 a1 , a2 ,? ? ?, am 是 1,2,? ? ?, n 中任取 m 个 互不相同的数构成的一个排列,如果存在 k ? ? 1,2,? ? ?, m?使得 ak ? k 为奇数,或者存在整数

k , l (1 ? k ? l ? m) ,使得 ak ? al ,则称 a1 , a2 ,? ? ?, am 是一个“好排列” ,试确定所有好排列
的个数。


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