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浙江省深化课程改革协作校2016届高三上学期11月期中联考数学(理)试题 Word版含答案


浙江省深化课程改革协作校 2016 届高三 11 月期中联考

数学(理科)试题卷
命 题:安吉高级中学

本试题卷分选择题和非选择题两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 参考公式:

? sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高. 1 锥体的体积公式 V ? sh 其中 S 表示锥体

的底面积, h 表示锥体的高. 3 1 台体的体积公式 V ? h s1 ? s1s2 ? s2 其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高. , 3
柱体的体积公式 V
[来

?

?

球的表面积公式 S 球的体积公式 V

? 4? R2 .
4? 3 R ,其中 R 表示球的半径. 3

?

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的)
2 1. 设全集 U ? R ,集合 A ? x | x ? 2x ? 3 ? 0 , B ? ?x | x ? 1?,则集合 A ∩(?U B ) =

?

?



) B. ?x | ?1 ? x ? 1? ) B.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ) C. a ? c ? b ) D. a ? b ? c C. ?x | ?1 ? x ? 2? D. ?x | ?1 ? x ? 1?

A. ?x | x ? 1?

2. “ sin x ? 0 ”是“ cos x ? 1 ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件
2 1

3. 已知 a ? 2 5 , b ? 3 2 , c ? log3 2 ,则( A. c ? a ? b B. c ? b ? a

4. 能判断出函数 y ? f ?x ? 在 R 上为增函数的是( A.若 m, n ? R ,且 m ? n ,则 f m B.若 m, n ? R ,且 m ? n ,则 f m C.若 m, n ? R ,且 m ? n ,则 f 2

? ? ? f ?n ?
2 2 3 3 m n

? ? ? f ?n ?
?? 1 ?m ? f ?? ? ? ?? 2 ? ? ? ?

? ? ? f ?2 ?

?? 1 ?m ? D.若 m, n ? R ,且 m ? n ,则 f ? ? ? ? ? ?? 2 ? ? ? ?
5. 将函数 f ( x ) = sin(2 x +

p
3

)的图像向左平移 n (n ? 0) 个单位,再将图像上各点的横坐标伸

长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像对应的函数为偶函数,则 n 的最小值为( A.



5? 6

B.

? 6

C.

? 12

D.

? 24

6. 如图, F1 , F2 是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 作两条相互垂直的 a 2 b2

直线 l1 , l 2 ,其中直线 l1 交双曲线右支于点 M ,直线 l 2 交双曲线右支于点 N ,以下说法一定 正确的是( )

A.若 F2 M ? F2 N ,则 ?MF2 N 为锐角 B.若 F2 M ? F2 N ,则 ?MF2 N 为钝角 C.若 F2 M ? F1 N ,则 ?MF2 N 为锐角 D.若 F2 M ? F1 N ,则 ?MF2 N 为钝角 (第 6 题图) 7.实数 x, y , z 满足 x ? y ? z ? 1,则 xy ? yz 的最小值为(
2 2 2



A. ? C. ?

1 2

B. ? D. ?

2 3

2 2

2 4
) D.

8. 将一个棱长为 a 的正方体嵌入到四个半径为 1 且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内, 使得正方体能够任意自由地转动,则 a 的最大值为( A.

2 2? 6 6

B.

2 3? 6 6

C.

2 3?2 2 3

3 2 ?2 3 3

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,第 9~12 题每题 6 分,第 13~15 题每题 4 分,共 36 分) 9. 在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? ?1, a2 ? 1,则 a10 ? _________, S10 ? ___________.
2 ? ? x ? 4 x, x ? 1 10. 已知函数 f ? x ? ? ? ,则 f ? f ?? 9?? ? ? ?lg x ? 1 , x ? 1

, f ( x ) 的零点个数为 ,体积为 .

个.

11. 若四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的表面积为 12. 已知直线 y ? x ? b 上存在唯一一点 A ,满足点 A 则 b ? _________,点 A 的坐标为________.

到直线 l : x ? ?1 的距离等于点 A 到点 F ?1,0? 的距离,

(第 11 题图)

13.圆心在直线 l1 : x ? y ? 0 上且半径为 1 的圆 C 始终不与直线 l 2 : ?? ? 1?x ? y ? 1 ? ? ? 0

?? ? R?相切,则 ? ? __________.
?x ? 3 y ? 1 ? 0 ? 14. 若实数 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,且 2 x ? 3 y 的最小值为 ? 2 ,则实数 a 的取值范围 ?ax ? y ? a ? 0 ?
是 . 15. 已知点 O 为坐标原点, ?ABC 为圆 C1 : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 的内接正三角形,则

OA? OB ? OC 的最小值为

?

?

.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
2 2 2 16.(本题满分 15 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且满 足 a ? b ? 2c ,

sin A cos B ? 2 cos A sin B . (Ⅰ)求 cos C 的值; (Ⅱ)若 c ? 6 ,求 ?ABC 的面积. 17. 如图, ?ABC 为等边三角形, EB ? 平面 ABC , FA // EB ,

P, Q 分别为线段 AC, EF 的中点, EB ? 2 FA ? 2 , AB ? 3 .
(Ⅰ)证明 PQ // 平面 EBC ; (Ⅱ)求锐二面角 P ? BQ ? A 的平面角的余弦值.

18.已知 f ?x ? ? ax ? bx ? 1?a ? 0, b ? R?
2

(Ⅰ)已知 f ?x ? 在 R 上存在唯一一个零点 1 ,求 a 和 b 的值; (Ⅱ)已知 f ?x ? 在区间 ?0,1? 上存在两个零点,证明: a ? b ? 3 .

(第 17 题图)

y
M A 19 .( 本 题 满 分 15 分 ) 已 知 椭 圆

? F1

O

? F2
N

x

B (第 19 题图)

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,直线 l 经过 F2 且交椭圆 C 于 a2 b2 , ?ABF A, B 两点(如图) 1 的周长为 4 2 ,原点 O 到直线 l 的最大距离为 1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)过 F2 作弦 AB 的垂线交椭圆 C 于 M , N 两点,求四边形 AMBN 面积最小时直线 l C:
的方程.

20. (本题满分 14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 S n ?

(Ⅰ)证明: an ? ?? 1? 为等比数列,并求出 ?an ? 的通项公式;
n

?

?

3 n a n ? ?? 1? ? 2( n ? N ? ). 2

(Ⅱ)设数列 ?

?1? 2 ? ? 的前 n 项和为 Tn ,证明: Tn ? ( n ? N ). 3 ? an ?

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数学(理科)参考答案
一、选择题:本大题共有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 B 5 C 6 C 7 C 8 D

二、填空题:本大题共 7 小题,第 9-12 题每题 6 分,第 13-15 题每题 4 分,共 36 分. 9.________ 17 ________________ ;___________ 80 __________ . 10._________ ? 3 _____________ ;____________ 2 ___________ . 11.______ 2 ?

1 2 ____ ;__________ _____________ . 3

12.__________ 1_____________; ___________ ?1,2? _________ . 13. 14. 15.

?2

?

1 2 ?a? 3 3 5

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 15 分) 解: (Ⅰ)? sin A cos B ? 2 cos A sin B ,? a ?

a2 ? c2 ? b2 b2 ? c2 ? a2 ? 2b ? 2ac 2bc

? 2 7 2 1 2 ? 2 a ? c 2 ? 1 2 ? ?a ? b ? c 6 2 2 化简得: a ? b ? c ,联立 ? ??????(4 分) 3 ,得 ? 5 3 2 2 2 2 2 ? ?a ? b ? 2c b ? c ? ? 6 ?

cosC ?

a2 ? b2 ? c2 ? 2ab

c2 2 7 5 c? c 6 6

?

3 35 ??????(8 分) 35

(Ⅱ)由 c ?

6 ,有 a ? 7 , b ? 5 , sin C ? 1 ? cos2 C ?

26 35

??????(12 分)

S?

1 1 26 26 ??????(15 分) absin C ? 7? 5? ? 2 2 2 35

17. (本小题满分 15 分) 解: (Ⅰ)法 1.取线段 BE 中点 G ,线段 EG 中点 N ,线段 BC 中点 M , 连 PM , MN , NQ, QP, FG ………………(3 分)

? N , Q 为中点, QN ? //

1 1 FG ,同理 PM // AB , ? 2 2

? QN ? // PM ,? 四边形 QNMP 为平行四边形,? PQ? // MN
又? PQ ? 平面 EBC ,? PQ // 平面 EBC ………………(6 分) 法 2.取线段 AB 中点 R ,连 PR, QR ………………(3 分)

? QR 为梯形 AFEB 的中位线,? QR // EB ,又? QR ? 平面 EBC , ? QR // 平面 EBC
? PR 为 ?ABC 的中位线,? PR // BC ,又? PR ? 平面 EBC , ? PR // 平面 EBC
又? PR ? QR ? R ,? 平面 QRP // 平面 EBC ,

? PQ // 平面 EBC ………………(6 分)
(Ⅱ)法 1. 过点 P 作 AB 的垂线,垂足为 O ,过 O 作 BQ 的垂线,垂足为 T ,连 PT ………………(9 分) 易知 PO ? 平面 ABEF ,? BQ ? PO ,又? BQ ? OT , BQ ? 平面 POT

? BQ ? PT ,? ?PTO 为二面角 P ? BQ ? A 的平面角.
………………(11 分) 在 ?PTO 中, ?POT ? 90 , PO ?
0

1 3 3 ? 3? ? 2 2 4

易知 BO ?

3 3 3 0 AB ? , ?EBF 为等边三角形,? ?ABF ? ?FBQ ? 30 4 4 3 3 3 9 3 13 ? ? , TP ? PO2 ? OT 2 ? 4 2 8 8

? OT ? BO sin ?OBT ?

? cos?PTO ?

OT 3 13 ? ………………(15 分) TP 13

法 2.以点 B 为原点,过点 B 且垂直于 BA 的直线为 x 轴,

BA 所在直线为 y 轴, BE 所在直线为 z 轴建系如图

则 A 0, 3 ,0 , B?0,0,0?, C ? ,

?

?

?3 3 ? ? ? 2 2 ,0 ? ? ?

?3 3 3 ? ? 3 3? ? ? ? P? ? 4 , 4 ,0 ?, Q? 0, 2 , 2 ? ? ? ? ?

?3 3 3 ? ? 3 3? ?, BQ ? ? 0, ? BP ? ? , , 0 ?4 4 ? ? 2 , 2 ? ,………………(9 分) ? ? ? ?
设平面 BPQ 的法向量 n1 ? ?x, y, z ?,则

?3 3 3 y?0 ? x? ?4 4 ,可取 n1 ? 3,? 3,1 ,………………(11 分) ? 3 3 ? y? z ?0 ? 2 ? 2

?

?

显然有平面 ABQ 的法向量 n2 ? ?1,0,0? , cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 n1 ? n2

?

3 13

?

3 13 13

已知锐二面角 P ? BQ ? A 为锐二面角? 二面角 P ? BQ ? A 的余弦值为 分) 18. (本小题满分 15 分)

3 13 ………………(15 13

1 , f? ,2 ………………(3 分) 解: (Ⅰ)由题意 ? ? b ? 4a ? 0 ○ 1? ? a ? b ? 1 ? 0 ○
2

1 ,○ ,2 解得 a ? 1, b ? ?2 .………………(6 分) 联立○

?? ? b 2 ? 4 a ? 0 ? b ? ?1 (Ⅱ)法 1.? f ?x ? 在区间 ?0,1? 上存在两个零点,? ?0 ? ? ………………(10 分) 2 a ? ? ? f ?1? ? a ? b ? 1 ? 0
?b 2 ? 4a (1) ? (2) 即 ?? 2 a ? b ? 0 ?b ? ?a ? 1 (3) ?
2 2 由(2) 2a ? ?b ,又由(1) b ? 4a 得 b ? ?2b .? b ? 0,? b ? ?2 .………………(13 分)

再由(2) a ?

?b ? 1 (或由(3) a ? ?b ? 1 ? 1 )? a ? b ? 3 ………………(15 分) 2
b
2a ? b ? 0

法 2. ? f ?x ? 在区间 ?0,1? 上存在两个零点,

b 2 ? 4a

a ? b ?1 ? 0

a

?? ? b 2 ? 4 a ? 0 ? b ? ?1 ………………(10 分) ? ?0 ? ? 2a ? ? ? f ?1? ? a ? b ? 1 ? 0
?b 2 ? 4a (1) ? (2) , 即 ?? 2 a ? b ? 0 ?b ? ?a ? 1 (3) ?
表示区域如图中阴影部分 目标函数 z ? a ? b ? a ? b .………………(13 分) 联立 ?

?b 2 ? 4a ,得 A?1,?2?,此时 z ? 3 由线性规划原理, a ? b ? 3 ………………(15 分) ?b ? ?2a

法 3.设 f ?x ? 的两个零点为 x1 , x 2 ,? f ?0? ? 1,? x1 , x2 ? 0 ,即 x1 , x2 ? ?0,1?, x1 ? x2

? b ? ? x1 ? x 2 ? ? a 则? ,………………(10 分) 1 ? ? x ?x 1 2 ? ?a

1 ? ?a ? x ? x ?? 1 ? x ? x2 ? 1 1 ? 1 2 ? 即? ?a ? b ? ? 1 ?? ? 1? ? 1? ? ? ? ? ? 1 ………………(13 分) x1 ? x2 x1 ? x2 ? x1 ?? x2 ? ?b ? ? x1 ? x 2 ? x1 ? x 2 ?
? 0 ? x1 ? 1,? 1 1 ? 1 ? 2 ,同理 ? 1 ? 2 ,? a ? b ? 3 x1 x2

? x1 ? x2 ,? a ? b ? 3,? a ? b ? 3 ………………(15 分)
19. (本小题满分 15 分) 解: (Ⅰ)由题意 4a ? 4 2 , c ? 1

? a ? 2 ,又? a 2 ? b 2 ? c 2 ,? b ? 1 x2 ? 椭圆 C 的标准方程为 ? y 2 ? 1 ………………(4 分) 2 (Ⅱ)当直线 AB 的斜率不存在时 ? 1 2? ? , AB ? 2 , MN ? 2 2 ,? S ? AB ? MN ? 2 有 A?1, ? 2 ? 2 ? ? 当直线 AB 的斜率为 0 时 1 AB ? 2 2 , MN ? 2 ,? S ? AB ? MN ? 2 ………………(6 分) 2

当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时 设直线 AB 的方程为 y ? k ?x ? 1? ,则直线 MN 的方程为 y ? ?

? y ? k ?x ? 1? ? 联立 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?2
2

1 ?x ? 1? k

得 2k 2 ? 1 x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0
2

?

?

? 4k 2 ? 2k 2 ? 2 2 2 k 2 ? 1 ? ? AB ? k ? 1 ? ? 2 ? ? 4 2k 2 ? 1 ? 2k 2 ? 1 ? 2k ? 1 ?
?? 1 ?2 ? 2 2 ? ? ? ? ? 1? ?? k ? ? 2 2 k 2 ?1 ? ?? 同理 MN ? 2 k2 ? 2 ? 1? 2? ? ? ? 1 ? k?

?

?

?

?

1 k 2 ?1 ………………(11 分) ? S ? AB ? MN ? 4 2 2k 2 ? 1 k 2 ? 2

?

?

??

?

2

?

t2 1 ?4 2 2 2t ? t ? 1 9 ?1 1 ? ?? ? ? ? 4 ?t 2? 1 1 16 2 当 ? 。即 k ? 1 ? 2 ,即 k ? ?1 时, S min ? t 2 9
令 t ? k ? 1?t ? 1? , S ? 4
2

此时设直线 AB 的方程为 y ? ??x ? 1? 20. (本小题满分 14 分)

………………(15 分)

3 ? n S n ? a n ? ?? 1? ? 2 ? ? 2 解: (Ⅰ)由 ? ?S ? 3 a ? ?? 1?n ?1 ? 2 n ?1 n ?! ? 2 ? 3 3 n ?1 n 得 a n ?1 ? a n ?1 ? a n ? ?? 1? ? ?? 1? 2 2 n?1 n 即 an?1 ? 3an ? 2?? 1? ? 2?? 1?

?

a n?1 ? ?? 1? a n ? ?? 1?
n

n ?1 n

? an ? ?? 1? ? 3n ,即 an ? 3n ? ?? 1? ………………(6 分)
n n

? an ? ?? 1? 为等比数列………………(4 分) 3 n S n ? a n ? ?? 1? ? 2 令 n ? 1 ,解得 a1 ? 2 2 n ? an ? ?? 1? 是首项为 3 ,公比为 3 的等比数列

? ?

? ?

3a n ? ?? 1? ? 2?? 1? 3a n ? 3(?1) n ? ? ?3 a n ? (?1) n a n ? (?1) n
n ?1 n

(Ⅱ)法 1.当 k 为正偶数时,

1 1 1 1 3k ?1 ? 3k 3k ?1 ? 3k 1 1 ? ? k ? k ?1 ? 2 k ?1 k ?1 k ? ? k ? k ?1 2 k ?1 ak ak ?1 3 ? 1 3 ? 1 3 ? 3 ? 3 ?1 3 3 3

……………… (9 分)

当 n 为奇数时

? 1 1 1 1? 1 ? 1 1? 1 ? 1 ?1 ? ? ? ? ? ? 2 ? 3 ? ? n?1 ? n ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 3 ? a1 ? a2 a3 ? ? an?1 an ? 2 ? 3 1 1? 1 ? 2 ? ? ?1 ? n?1 ? ? ………………(12 分) 2 6? 3 ? 3 当 n 为偶数时 2 2 Tn ? Tn ?1 ? ,? Tn ? ( n ? N ? )………………(14 分) 3 3 Tn ?
1 1 1 ? ? n n?2 n 3 ? (?1) 9? 3 ? (?1) 8? 3n ? 2 1 1 1 1 1 1 53 2 ?Tn ? ? ? 24 ? ? ? ? ? 2 10 1 ? 1 2 10 16 80 3 3 1 1 1 法 2. 当 n ? 3 时, n ………………(9 分) ? ? n n n?2 8 ? 3n?2 3 ? ?? 1? 9 ? 3 ? ?? 1? n ? 3,
n

?1? 1? ? ? 1 1 1?1 1 1 ? 1 1 1 1 3 ? Tn ? ? ? ? ? 2 ? ? ? n ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 10 8 ? 3 3 3 ? 2 10 8 3 1? 3 n?2 1 1 1 ? ? 1 ? ? 1 1 1 53 2 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ………………(14 分) 2 10 16 ? 3 2 10 16 80 3 ? ? ? ? ?

n?2


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