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(理数)茂名市2012届高三第一次模拟考试


试卷类型:A

茂名市 2012 年第一次高考模拟考试

数学试卷(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1、答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上. 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用 铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回. 5、参考公式: V锥体 ?

1 S底 ? h 3

第一部分 选择题(共 40 分)
一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知复数 z1 ?1 ? i , z 2 ? A.第一象限
2

1 z ,则复数 z ? z1 在复平面内对应的点位于( 2 i
C.第三象限 D.第四象限

)

B.第二象限

2.已知函数 y ? x ? x 的定义域为{0,1,2} ,那么该函数的值域为( )

A.{0,1,2}
3.若 cos( ? ? ? ) ?

B.{0,2}

C.{y | ?

1 ? y ? 2} 4

D{ y | 0 ? y ? 2}

1 3 , ? ? ? ? ? ,则 sin(5? ? ? ) ? 2 2
B. ? 3 2 C. 3 2 D. ? 3 2

A. ?

1 2

4.设数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列, Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,若 S1, S2 , S4 成等比 数列,则 a4 ? 1 A.3 B.4 C.6 D.7 ) 5.设 ? , ? , ? 是不重合的三个平面,m,n 是不重合的两条直线,下列判断正确的是( A.若 m // n. ,且 m ? ? , n ? ? ,则 ? // ? B.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? , C.若 m ? ? , n ? ? 且 ? // ? ,则 m // n.
1

a

D.若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n 6.某小区有 7 个连在一起的车位,现有 3 辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的 4 个 车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为( ) A.16 种 B.18 种 C.24 种 D.32 种 7.由直线 y ? x ? 3 上的点向圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 引切线,则切线长的最小值为( )

A. 31

B.4 2

C. 33

D. 29
)

8.已知向量 a ? (1,0) , b ? (0,1) , c ? a ? ?b(? ? R ) ,向量 d 如图所示.则( A.存在 ? ? 0 ,使得向量 c 与向量 d 垂直
? B.存在 ? ? 0 ,使得向量 c 与向量 d 夹角为 60 ? C.存在 ? ? 0 ,使得向量 c. 与向量 d 夹角为 30

D.存在 ? ? 0 ,使得向量 c 与向量 d 共线

第二部分

非选择题(共 110 分)

二、填空题:(本大题共 7 小题.第 14、15 小题任选一题作答,多选的按第 14 小题给分, 共 30 分) 9.已知直线 y ? ex 与函数 f ( x) ? e 的图象相切,则切点坐标为___________
x

10.某人向正东方向走了 x 千米,然后向右转 120 ,再朝新方向走了 3 千 米,结果他离出发点恰好 13 千米,那么 x 的值是___________ 11.按如右图所示的程序框图运算,若输入 x ? 2 ,则输出 k 的值是 ___________ 12.为了加强食品安全管理,某市质监局拟招聘专业技术人员 X 名,行政管 理人员 y 名,若 x, y ? N ? 且满足 ? ___________

o

?y ? x ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为 ? y ? ?x ? 4

? f ( x ? 4), x ? 0 ? ) 13.若 f ( x) ? ? x ,则 f (2012 ? ___________ 4 costdt, x ? 0, ??x ?

2

选做题:以下两题任选—道作答,两题都答的按第 14 题正误给分 14.(极坐标与参数方程选做题)若 M,N 分别是曲线 ? sin ? ? 2 和 ? ? 2 cos? 上的动点, 则|MN|的最小值是___________ 15.(几何证明选讲选做题)从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC,D 为切点,已 知 AD=4,AC=8,圆 O 半径为 5,则圆心 O 到直线 AC 的距离为____________ 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)已知向量 a ? (cos (1)求 a ? b 及 | a ? b | (2)若 f ( x) ? a ? b? | a ? b | ,求 f (x) 的值域. 17. (本小题满分 12 分)为了调查茂名市某中学高三 男学生的身高情况,在该中学高三男 学生中随机抽取了 40 名同学作为样本, 测得他们的 身高后,画出频率分布直方图如下: (1)估计该校高三男学生的平均身高; (2)从身高在 170cm(含 170cm)以上的样本中随机抽 取 2 人,记身高在 170~175cm 之间的人数为 X.求 X 的分布列和数学期望。 (部分参考数据: 167.5 ? 0.125? 172.5 ? 0.35 ? 177.5 ? 0.325 ? 139.00)

x x ? ? 3 3 x, sin x) , ? (cos , sin ) , x ? [? , ], b 且 2 2 6 3 2 2

18.(本小题满分 14 分)如图 1,在正三角形 ABC 中,已知 AB=5,E、F、P 分别是 AB、AC、 BC 边上的点,设 AE ? 2 x, CF ? CP ? x,0 ? x ? 使二面角 A1 ? EF ? B 的大小为 (1)求证:PF∥平面 A1 EB (2)若 EF⊥平面 A1 EB ,求 x 的值; (3)当 EF⊥平面 A1 EB 时,求平 A1BP 与平面 A EF 所成锐二面角的余弦值. 1

? ,连结 A1B、A1P (如图 2). 2

5 ,将△ABC 沿 EF 折起到 ?A1 EF 的位置, 2

3

19.(本小题满分 14 分)在直角坐标平面 xoy 中,已知点 F1 (?5,0) 与点 F2 (5,0) ,点 P 为坐 标平面 xoy 上的一个动点,直线 PF1 与 PF2 的斜率 k PF1 与 kPF2 都存在,且 kPF1 ? kPF2 ? ?, ? 为一个常数. (1)求动点 P 的轨迹 T 的方程,并说明轨迹 T 是什么样的曲线. (2)设 A、B 是曲线 T 上关于原点对称的任意两点,点 C 为曲线 T 上异于点 A、B 的另一任意 点,且直线 AC 与 BC 的斜率 k AC 与 k BC 都存在.若 k AC ? k BC ? ?

9 ,求常数λ 的值. 25

20.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x 的图像是曲线 C,点 An (an , f (an ))(n ? N * ) 是曲线 C 上的一系列点,曲线 C 在点 An (a n , f (a n )) 处的切线与 y 轴交于点 Bn (0, bn ) ,若 数列 {bn} 是公差为 2 的等差数列,且 f (a1 ) ? 3. (1)分别求出数列 {an } 与数列 {bn} 的通项公式; (2)设 O 为坐标原点, Sn 表示 ?OAn Bn 的面积,求数列 {Sn } 的前 n 项和 Tn .

21.(本小题满分 14 分)
x 已知函数 f ?x? ? ln e ? a (a 为常数)是实数集 R 上的奇函数, 函数 g ( x) ? ?f ( x) ? sin x 是

?

?

区间[-1,1]上的减函数. (1)求 a 的值: (2)若 g ( x) ? t ? ?t ? 1在 x ? [?1,1] 及λ 所在的取值范围上恒成立,求 t 的取值范围;
2

(3)讨论关于 x 的方程

ln x ? x 2 ? 2ex ? m 的根的个数. f ( x)

4

试卷类型:A

茂名市 2012 年第一次高考模拟考试

数学试卷(理科)参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)
题号 答案 1 B 2 B 3 D 4 D 5 A 6 C 7 A 8 D

部分试题解析提示: 4.由 S2 ? S1 ? S4 ? d ? 2a1,? a4 ?
2 1

a

a1 ? 3d ?7 a1

6. 第一步:选取 4 个连在一起的空车位的取法有 4 种;
3 3 第二步:在剩下的 3 个车位上安排 3 部不同的车的排法有 A3 ;总共有 4 A3 ? 24 种排

法. 8.先将 d 平移至以 O 为起点处,判断 A、将 d 逆时针旋转 90? ,所得向量 m 应与 c 方

向相同,观察可知 m 横坐标为负,而 c 的横坐标为正,表明方向不同,此情形不 合;将 d 顺时针旋转 90? ,得到的向量 m 横坐标为正,纵坐标为负,若 c 与 m 共 线,可推断 ? ? 0 可知 A 不正确;选项 B,C,D 推理同上,注意用方格判断 d 与 x 轴 正方向的夹角范围为 (30? ,45? ) ?
二、填空题(每小题 5 分,共 30 分,其中 14、15 题是选做题) 9.(1,e)
14.1 10.4 15、4 11.5 12.10

13 .

2 2

部分试题解析提示:
10. x 2 ? 32 ? 2x ? 3 ? cos60? ? ( 13) 2 ,解得 x ? ?1 (舍去), x ? 4

14.当 x ? 0, f ( x) ? f ( x ? 4), ? f (2012 ? 503? (?4)) ? f (0),

f (0) ? ? 4 cos tdt ? sin t |04 ? sin
0

?

?

?
4

? sin 0 ? sin

?
4

?

2 2

2 15.由切割线定理: AD ? AB ? AC ,可得, AB ? 2, 则 BC ? 6 ,圆心 O 到 AC 的距离

即圆心 O 到弦 BC 的距离,根据弦心距公式得: 52 ? 32 ? 4 三、解答题(共 80 分)
5

16.解:(1) a ? b ? cos

3 x 3 x x cos ? sin x sin ? cos 2 x ………………………2 分 2 2 2 2 3x x 3 x a ? b ? (cos ? cos , sin x ? sin ). …………………………………3 分 2 2 2 2

? a ? b |? (cos |
? x ? [?

3x x 3x x ? cos )2 ? (sin x ? )2 ? 2 ? 2 cos x2x ? 2 | cos x | …5 分 2 2 2 2
? cos x ? 0

? ?

, ] 6 3

? a ? b |? 2 cos x ………………………6 分 |
(2)由(1)可得 f ( x) ? cos 2x ? 2 cos x ? 2 cos2 x ? 2 cos x ? 1

? x ? [?

1 , ] ? ? cos x ? 1, ………………………………………10 分 6 3 2 1 3 ∴当 cos x ? 时, f (x) 取得最小值为 ? ; 2 2
当 cos x ? 1 时, f (x) 取得最大值为-1

? ?

1 3 ? 2(cos x ? ) 2 ? …………………………………8 分 2 2

3 ? f (x) 的值域为 [ ? ,?1] ………………………………………12 分 2
17.解:(1)由频率分布直方图可知,该校高三男学生的平均身高为

x ? 162.5 ? 0.05 ? 167.5 ? 0.125? 172.5 ? 0.35 ? 177.5 ? 0.325? 182.5 ? 0.1 ? 187.5 ? 0.05
………………………………………………………………2 分

? 174.750(cm) ……………………………………………………………4 分
(2)由频率分布直方图可知 所抽取的样本中身高在 170—175cm 之间的人数有 0.070 ? 5 ? 40 ? 14 人 所抽取的样本中身高在 170cm(含 170cm)以上的人数有
……5 分

(0.070 ? 0.065 ? 0.020 ? 0.010) ? 5 ? 40 ? 33 人………………6 分
所以 X 的可能取值为 0,1,2

P( X ? 0) ?

2 0 C19C14 171 ? 2 C33 528

1 1 C19C14 266 P( X ? 1) ? ? 2 C33 528 0 2 C19C14 91 ? , …………………………………………9 分 2 C33 528

P( X ? 2) ?

6

所以 X 的分布列为

……………………………………10 分

X 的数学期望为

EX ?

171 266 91 448 28 ?0? ?1 ? ?2? ? , ……………………………………12 分 528 528 528 528 33
CF CP ? CA CB

18.(1)证明:?

? PF // EB, ………………………2 分

? PF ? 平面A1EB , EB ? 平面A1EB ,? PF // 平面A1EB …………………3 分 ?
(2)解:若 EF ? 平面A1EB, 则 EF ? AE , ?AEF ? 90o ……………………4 分

? ?EAF ? 60? , ?

AE 2x 1 ? cos 60 ? , 即 ? ,解得 x ? 1, ………………6 分 5? x 2 AF

(3)解:∵二面角 A1 ? EF ? B 的大小为

? ,且 EF ? 平面A1EB, ? EF ? BE, 2

A1E ? EF ,平面 A1EF ? 平面BEF ? EF, . A1E ? 平面BEF,
又∵ BE ? 平面BEF, 即 A1E ? BE;

? EF、BE、A1E 两两相互垂直,

…………………………………………7 分

以 E 为原点,建立空间直角坐标系,如下图所示:

∵由已知条件得: BE ? 3, A1 E ? 2, PF ? FC ? PC ? 1,

EF ? 4 sin 60 o ? 4 ?

3 ? 2 3, 2

则有 E(0,0,0), A(0,0,2), B(3,0,0), P(1,2 3,0) , F (0,2 3,0),

? A1B ? (3,0,?2) , BP ? (?2,2 3,0), ………………………8 分
易知 BE 是平面 A1EF 的一个法向量, BE ? (?3,0,0) ……………………9 分
7

设平面 A1 BP 的法向量为 n ? ( x, y,1) , 则由 ?

?n ? A1B ? 0 ? ?n ? BP ? 0 ?

,得 ?

?3 x ? 2 ? 0

2 2 3 ,解得 n ? ( , ,1) ………………11 分 3 9 ?? 2 x ? 2 3 y ? 0

? cos EB , n ?

?

?

EB ? n | EB | ? | n |

?

?2 ? 2 129 ……………………13 分 ? 43 4 4 3? ? ?1 9 27
2 129 43 …………………14 分 y ? ………………………………1 分 x?5

∴平面 A1BP 与平面 A EF 所成锐二面角的余弦值为 1 19.解:(1)设点 P( x, y) ,则 k PF1 ?

y , k PF2 x?5

由 kPF1 ? kPF2

y2 ? ? ,得 x 2 ?25 ? ? ,即 y 2 ? ?x2 ? ?25?, ( x ? ?5) …………………2 分 ?

∴动点 P 的轨迹方程为 y 2 ? ?x 2 ? ?25?, ( x ? ?5) …………………………3 分 ?
① ? ? ?1 时,轨迹 T 是—个焦点落在 y 轴上且去掉短轴的两个端点的椭圆:

②? ? ?1 时,轨迹 T 是—个圆心在坐标原点半径为 5 且去掉与 x 轴的两个交点的圆.
③当 ? 1 ? ? ? 0 时,轨迹 T 是一个焦点落在 x 轴上且去掉长轴的两个端点的椭圆 ④当 ? ? 0 时,动点 P 的轨迹方程为 y ? 0, ( x ? ?5), 轨迹 T 是去掉两个点的一条直线 ?

⑤当 ? ? 0 时,轨迹 T 是—个焦点落在 x 轴上且去掉实轴的两个端点的双曲线。
…………………………………8 分

(2)设点 A( x1 , y1 ) ,则点 B(? x1,? y1 ) ,设点 C( x0 , y0 ) ,
0 0 则 k AC ? x ? x 1 , kBC ? x ? x 1 0 1 0 1

…………………9 分

y ?y

y ?y

由 k AC ? k BC ? ?

9 y 2 ? y12 9 ,得 02 2 ? ? ①…………………………………10 分 x0 ? x1 25 25

∵点 A( x1 , y1 ) 在曲线 T 上
? y12 ? ?x12 ? ?25?, ( x1 ? ?5) ?
? y12 ? ?x12 ? 25?, ( x1 ? ?5) ② ………………………………11 分 ?
2 同理 y0 ? ?x2 ? 25?, ( x0 ? ?5) ③ …………………………………12 分 ? 0
? ? ? ? x2 ? x2 ? ? ? 2 x0 ? x12
0 1

将②③代入①得

??

9 …………………………………13 分 25

8

?? ? ?

9 ……………………………………………………14 分 25
1 1 , k ? f ?(an ) ? , f (a n ) ? ln a n …………2 分 x an

20.解:(1)? f ?( x ) ? (ln x)? ?

∴曲线 C 在点 An (a n , f (a n )) 处的切线方程为 y ? ln an ?

1 ( x ? an ) ………………3 分 an

又因为该切线与 y 轴的交点为 Bn (0, bn ) ,令 x ? 0 ,得 bn ? ln an ? 1,
又已知 f (a1 ) ? ln a1 ? 3 ,所以 b1 ? ln a1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 2.

因为,数列 {bn } 是公差为 2 的等差数列, 所以 bn ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n ……………………………………………5 分
所以 ln an ?1 ? 2n, ln an ? 2n ? 1,

数列 {an} 的通项公式是 an ? e2n?1 ……………………………………8 分
(2)? Sn ? S?OAn Bn ?

1 1 | bn | ? | an |? ? 2n ? e2 n ?1 ? ne 2 n ?1 ……………………9 分 2 2

?Tn ? e3 ? 2e5 ? 3e7 ? ?? (n ?1)e2n?1 ? ne2n?1, ① ?e2Tn ? e5 ? 2e7 ? ?? (n ?1)e2n?1 ? ne2n?3 ②…………………10 分
由①-②,得 (1 ? e2 )Tn ? e3 ? e5 ? ?? e2n ?1 ? ne2n?3 …………………11 分

1 ? e2n ne2 n ? 5 ? ?n ? 1?e2 n ? 3 ? e3 2n ?3 ?e ( ) ? ne ? ……………13 分 1?e2 1 ? e2
3

?T ?

ne2 n ? 5 ? (n ? 1)e2 n ?3 ? e3 ……………………………………14 分 (e2 ? 1)2

x 21.解:(1)法一: f ( x) ? ln(e ? a) 是 R 上的奇函数,? f (0) ? 0, ………………2 分

即 ln(e ? a) ? 0,? a ? 0
x

当 a ? 0 时, f ( x) ? ln e x ? x ,显然 f (x) 为奇函数,? a ? 0 …………………3 分
法二: f ( x) ? ln(e ? a) 是 R 上奇函数,则 ln(e
x ?x

? a) ? ? ln(e x ? a) 恒成立.……1 分

?(e? x ? a)(e x ? a) ? 1 ,即 1 ? ae? x ? aex ? a 2 ? 1 ………………2 分

9

? a(e x ? e ? x ? a) ? 0,? a ? 0. ………………………3 分
(2)由(1)知 f ( x) ? x, ? g ( x) ? ?x ? sin x ? g?( x) ? ? ? cos x
又? g (x) 在[-1,1]上单调递减,? g ?x?max ? g ?? 1? ? ?? ? sin1 且 g?( x) ? ? ? cos x ? 0 对于 ?x ? [?1,1] 恒成立, 即 ? ? ? cos x 对 x ? [?1,1] 恒成立,∴ ? ? ?1 ……………6 分

? g ( x) ? t 2 ? ?t ? 1在 x ?[?1,1] 上恒成立 ??? ? sin 1 ? t 2 ? ?t ? 1, 即 (t ? 1)? ? t 2 ? sin 1 ? 1 ? 0 对 ? ? ?1 恒成立
令 h(? ) ? (t ? 1)? ? t 2 ? sin 1 ? 1(? ? ?1) ,则 ?

?t ? 1 ? 0
2 ?? t ? 1 ? t ? sin 1 ? 1 ? 0

?t ? ?1 ?? 2 , ?t ? t ? sin 1 ? 0
而 t 2 ? t ? sin 1 ? 0 恒成立,?t ? ?1. ……………………………8 分
(3)由(1)知 f ( x) ? x,

ln x ? x 2 ? 2ex ? m, x ln x 令 f1 ( x ) ? , f 2 ( x) ? x 2 ? 2ex ? m, x 1 ? ln x ? f1?( x) ? , x2

∴方程为

当 x ? (0, e) 时, f1?( x) ? 0,? f1 ( x) 在(0,e]上为增函数;

x ?[e,??) 时, f1?( x) ? 0,? f1 ( x) 在[e,+∞)上为减函数,……………………10 分
1 当 x ? e 时, f1 ( x) max ? f1 (e) ? , 而 f 2 ( x) ? ( x ? e) 2 ? m ? e2 ………………11 分 e

∴函数 f1 ( x)、f 2 ( x) 在同一坐标系的大致图象如图所示,

…………………12 分

1 1 ∴①当 m ? e 2 ? , 即 m ? e 2 ? 时,方程无解. e e 1 1 ②当 m ? e 2 ? ,即 m ? e 2 ? 时,方程有—个根. e e 1 1 ③当 m ? e 2 ? ,即 m ? e 2 ? 时,方程有两个根.………………………………14 分 e e
10


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