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第5章 第3节 等比数列及其前n项和


2009~2013 年高考真题备选题库 第 5 章 数列 第 3 节 等比数列及其前 n 项和 考点一 等比数列的通项公式
1. (2013 新课标全国Ⅱ,5 分)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S3 = a2 +10a1 , a5=9,则 a1=( 1 A. 3 1 C. 9 ) 1 B.- 3 1 D.- 9

解析:本题考查等比数

列的基本知识,包括等比数列的前 n 项和及通项公式,属于基础 a1?1-q3? 题,考查考生的基本运算能力.由题知 q≠1,则 S3= =a1q+10a1,得 q2=9,又 a5 1-q 1 =a1q4=9,则 a1= ,故选 C. 9 答案:C 2. (2013 北京, 5 分) 若等比数列{an}满足 a2+a4=20, a3+a5=40, 则公比 q=________; 前 n 项和 Sn=________. 解析:本题考查等比数列的通项公式和求和公式,考查方程思想以及考生的运算求解能 力. a3+a5 + q= =2,又 a2+a4=20,故 a1q+a1q3=20,解得 a1=2,所以 Sn=2n 1-2. a2+a4 答案:2 2n 1-2


3.(2013 湖北,12 分)已知等比数列{an}满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125. (1)求数列{an}的通项公式; 1 1 1 (2)是否存在正整数 m,使得 + +…+ ≥1?若存在,求 m 的最小值;若不存在, a1 a2 am 说明理由. 解:本题考查等比数列的通项公式、前 n 项和公式、不等式等基础知识和基本方法,考 查方程思想、分类与整合思想,考查运算求解能力、逻辑思维能力,考查综合运用知识分析 问题和解决问题的能力.
3 3 ? ? ?a1=3, ?a1q =125, (1) 设等比数列 {an} 的公比为 q ,则由已知可得 ? 解得 ? 2 ?|a1q-a1q |=10, ? ?

5



?q=3,

? ?a1=-5, ? ?q=-1. ?

5 n-1 - 故 an= · 3 ,或 an=-5· (-1)n 1. 3 5 n-1 1 3 ?1?n-1 ?1? 3 1 (2)若 an= · 3 ,则 = · ,故?a ?是首项为 ,公比为 的等比数列, 3 an 5 ?3? 5 3 ? n? 3 ? ?1?m? ·1- 1 5 ? ?3? ? 9 ? ?1?m? 9 从而 ? = = · 1- < <1. a 1 10 ? ?3? ? 10 n=1 n 1- 3
m

1 1 ?1? 1 - - 若 an=-5· (-1)n 1,则 =- (-1)n 1,故?a ?是首项为- ,公比为-1 的等比数列, an 5 5 ? n?

? 1 1 ?-5,m=2k-1?k∈N+?, 从而 ? =? n=1 an ?0,m=2k?k∈N+?, ?
m

故?

m

n=1

1 <1. an

综上,对任何正整数 m,总有 ?

m

n=1

1 <1. an

1 1 1 故不存在正整数 m,使得 + +…+ ≥1 成立. a1 a2 am 4. (2012 辽宁,5 分)已知等比数列{an}为递增数列,且 a2 5=a10,2(an+an+2)=5an+1,则 数列{an}的通项公式 an=________. 1 9 解析:由 2(an+an+2)=5an+1?2q2-5q+2=0?q=2 或 ,由 a2 5=a10=a1q >0?a1>0,又 2
4 2 9 数列{an}递增,所以 q=2.a2 5=a10>0?(a1q ) =a1q ?a1=q=2,所以数列{an}的通项公式为

an=2n. 答案:2n 5. (2010 福建,4 分)在等比数列{an}中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数 列的通项公式 an=________. 解析:∵在等比数列{an}中,前 3 项之和等于 21, ∴ a1?1-43? =21, 1-4


∴a1=1,∴an=4n 1. 答案:4n
-1

6.(2011 新课标全国,12 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a2 3=9a2a6. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{ }的前 n 项和. bn

2 2 2 1 解:(1)设数列{an}的公比为 q.由 a2 3=9a2a6 得 a3=9a4,所以 q = .由条件可知 q>0,故 9

1 q= . 3 1 由 2a1+3a2=1,得 2a1+3a1q=1,得 a1= . 3 1 故数列{an}的通项公式为 an= n. 3 (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an= n?n+1? -(1+2+…+n)=- . 2 1 2 1 1 故 =- =-2( - ). bn n n?n+1? n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n + +…+ =-2[(1- )+( - )+…+( - )]=- . b1 b2 bn 2 2 3 n n+1 n+1 1 2n 所以数列{ }的前 n 项和为- . bn n+1

考点二 等比数列的前 n 项和
1. (2013 辽宁,5 分)已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是{an}的前 n 项和.若 a1,a3 是方程 x2-5x+4=0 的两个根,则 S6=________. 解析:本题主要考查等比数列的性质、通项公式、求和公式,意在考查考生对等比数列 公式的运用,以及等比数列性质的应用情况.由题意得,a1+a3=5,a1a3=4,由数列是递增 数列得,a1=1,a3=4,所以 q=2,代入等比数列的求和公式得 S6=63. 答案:63 2. (2013 湖北,13 分)已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S4,S2,S3 成等差数列,且 a2+a3+a4=-18. (1)求数列{an}的通项公式; (2)是否存在正整数 n,使得 Sn≥2013?若存在,求出符合条件的所有 n 的集合;若不存 在,说明理由. 解:本题主要考查等比数列的性质、等差数列的性质、等比数列的通项公式及前 n 项和 公式,也考查了分类讨论思想. (1)设数列{an}的公比为 q,则 a1≠0,q≠0.由题意得
?S2-S4=S3-S2, ?-a1q2-a1q3=a1q2, ? ? ? 即? 2 ?a2+a3+a4=-18, ? ? ?a1q?1+q+q ?=-18, ?a1=3, ? - 解得? 故数列{an}的通项公式为 an=3(-2)n 1. ? q =- 2. ?

3[1-?-2?n] (2)由(1)有 Sn= =1-(-2)n. 1-?-2? 若存在 n,使得 Sn≥2 013,则 1-(-2)n≥2 013,即(-2)n≤-2 012. 当 n 为偶数时,(-2)n>0,上式不成立; 当 n 为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 012,即 2n≥2 012,则 n≥11. 综上,存在符合条件的正整数 n,且所有这样的 n 的集合为{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}. 3. (2013 陕西,12 分)设{an}是公比为 q 的等比数列. (1)推导{an}的前 n 项和公式; (2)设 q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列. 解:本题考查等比数列前 n 项和公式推导所用的错位相减法以及用反证法研究问题,深 度考查考生应用数列作工具进行逻辑推理的思维方法. (1)设{an}的前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=a1+a1+…+a1=na1; 当 q≠1 时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn 1,①


qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,② ①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn, na ,q=1, ? ? 1 a1?1-qn? ∴Sn= ,∴Sn=?a1?1-qn? 1-q ,q≠1. ? ? 1-q (2)证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的 k∈N+, (ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1), a2 k+1+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,
2k k k 1 a2 · a1qk 1+a1qk 1+a1qk 1, 1q +2a1q =a1q
- + - +

∵a1≠0,∴2qk=qk 1+qk 1.
- +

∵q≠0,∴q2-2q+1=0, ∴q=1,这与已知矛盾. ∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列. 4. (2010 广东,5 分)已知数列{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a2· a3=2a1,且 5 a4 与 2a7 的等差中项为 ,则 S5=( 4 A.35 C.31 ) B.33 D.29

解析:设数列{an}的公比为 q,a2· a3=a2 q3=a1· a4=2a1?a4=2,a4+2a7=a4+2a4q3=2 1· 5 1 +4q3=2× ?q= , 4 2

a1?1-q5? a4 故 a1= 3=16,S5= =31. q 1-q 答案:C 5. (2010 安徽,5 分)设{an}是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和 分别为 X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是( A.X+Z=2Y C.Y2=XZ ) B.Y(Y-X)=Z(Z-X) D.Y(Y-X)=X(Z-X)

解析:根据等比数列的性质:若{an}是等比数列, 则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 也成等比数列,即 X,Y-X,Z-Y 成等比数列, 故(Y-X)2=X(Z-Y),整理得 Y(Y-X)=X(Z-X),故选 D. 答案:D 6. (2010 辽宁,5 分)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1, S3=7,则 S5=( 15 A. 2 33 C. 4 ) 31 B. 4 17 D. 2
3

a q· a q =1 ? ? 1 1 3 解析:显然公比 q≠1,由题意得,?a1?1-q ? , ? 1-q =7 ? a =4 ? ? 1 解得? 1 , ? ?q=2 1 4?1- 5? 2 a1?1-q5? 31 ∴S5= = = . 1 4 1-q 1- 2 答案:B 7. (2010 天津,5 分)已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3 1 =S6,则数列{ }的前 5 项和为( an 15 A. 或 5 8 31 C. 16 ) 31 B. 或 5 16 15 D. 8

9?1-q3? 1-q6 解析:由题意可知 = ,解得 q=2, 1-q 1-q 1 1 数列{ }是以 1 为首项,以 为公比的等比数列, an 2

31 由求和公式可得 S5= . 16 答案:C S6 S9 8.(2009· 辽宁,5 分)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 =( S3 S6 A.2 8 C. 3 解析:由等比数列的性质: S3,S6-S3,S9-S6 仍成等比数列,于是,由 S6=3S3,可推出 S9-S6=4S3,S9=7S3,∴ S9 7 = . S6 3 答案:B 7 B. 3 D.3 )

考点三 等比数列的性质及应用
1. (2013 江西,5 分)等比数列 x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( A.-24 C.12 B.0 D.24 )

解析:选 A 本题考查等比数列的通项以及等比数列的性质,意在考查考生的运算能力 及对基础知识的掌握情况.由等比数列的前三项为 x,3x+3,6x+6,可得(3x+3)2=x(6x+6), 解得 x=-3 或 x=-1(此时 3x+3=0,不合题意,舍去),故该等比数列的首项 x=-3,公 3x+3 比 q= =2,所以第四项为(6x+6)×q=-24. x 1 2. (2013 江苏,5 分)在正项等比数列{an}中,a5= ,a6+a7=3.则满足 a1+a2+…+ 2 an>a1a2…an 的最大正整数 n 的值为________. 解析:本题主要考查等比数列的基本性质,意在考查学生的运算能力. 1 1 设等比数列{an}的公比为 q(q>0).由 a5= ,a6+a7=3,可得 (q+q2)=3,即 q2+q-6 2 2 n - - - =0,所以 q=2,所以 an=2n 6,数列{an}的前 n 项和 Sn=2n 5-2 5,所以 a1a2…an=(a1an) 2 n?n-11? n?n-11? n?n-11? - - - =2 ,由 a1+a2+…+an>a1a2…an 可得 2n 5-2 5>2 ,由 2n 5>2 ,可 2 2 2 求得 n 的最大值为 12,而当 n=13 时,28-2 5>213 不成立,所以 n 的最大值为 12.


答案:12 3. (2012 新课标全国,5 分)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10 =( ) A.7 B.5

C.-5

D.-7

? ?a4+a7=2, 解析:设数列{an}的公比为 q,由? ?a5· a6=a4· a7=-8, ?

? ? ? ? 1 ?a4=4, ?a4=-2, 得? 或? 所以? 3 1 ?a7=-2, ? ? ?a7=4, ?q =- ,
a =-8, 2

?

? ?a1=1, 或? 3 ?q =-2, ?

? ? ?a1=-8, ?a1=1, 所以? 或? 所以 a1+a10=-7. ?a10=1, ? ? ?a10=-8,

答案:D 4. (2010 北京,5 分)在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若 am=a1a2a3a4a5,则 m= ( ) A.9 C.11


B.10 D.12

解析:由题知 am=|q|m 1=a1a2a3a4a5=|q|10,所以 m=11. 答案:C 5. (2012 浙江,4 分)设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3a2+2, S4=3a4+2,则 q=____________. 解析:∵S4-S2=a3+a4=3(a4-a2),∴a2(q+q2)=3a2(q2-1), 3 解得 q=-1(舍去)或 q= . 2 3 答案: 2 6.(2011 江西,12 分)已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0), b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3. (1)若 a=1,求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}唯一,求 a 的值. 解:(1)设数列{an}的公比为 q,则 b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2, 由 b1,b2,b3 成等比数列得(2+q)2=2(3+q2). 即 q2-4q+2=0,解得 q1=2+ 2,q2=2- 2. 所以数列{an}的通项公式为 an=(2+ 2)n
-1

或 an=(2- 2)n 1.


(2)设数列{an}的公比为 q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得 aq2-4aq+3a-1=0(*), 由 a>0 得 Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根. 由数列{an}唯一,知方程(*)必有一根为 0,代入(*)得 1 a= . 3


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