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对数式与对数函数复习课件


一、对数式
1.对数的定义
对数与指数的互化

如果ax=N(a>0且
a≠1),那么数x叫做 以a为底N的对数,记 作_________, x=logaN 其中 ____ a 叫做对数的底 数,____ N 叫做真数. 推论:
① N a loga N =_____; ②logaaN=_____( a>0

且a≠1). N

ax=N

x=logaN

一、对数式
2.几种常见对数
对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 特点 底数为a(a>0且a≠1) 10 底数为____ 记法 logaN _______ lg N ______ ln N ______

e 底数为____

一、对数式
3.对数的性质
① loga1=0(a>0且a≠1). ② logaa=1(a>0且a≠1) ③ 零和负数没有对数。

4.对数的运算法则
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么

logaM+logaN ①loga(MN)=______________;
② log a
M logaM-logaN =______________; N

logaM ③logaMn=n ___________( n∈R);

n ④ log a m M ? log a M . m
n

一、对数式
5.对数的重要公式
loga N ①换底公式: logb N ? loga b (a,b均大于零且不等于1);

1 , logb a logad 推广logab·logbc·logcd=______.
② log b ? a

二、对数函数
1.对数函数的定义 函数 y=logax(a>0, 且a?1)叫做对数函数, 其中 x 是自变量, 函数 的定义域是 (0,+∞) .

说明:对数函数有以下特点:
(1)自变量在真数上,且系数为1;

称以10为底的对数函 数y=lgx为常用对数函数 (2)底数是常数,且大于0不等于1; 称以无理数e为底的对 (3)对数式前面的系数为1。 数函数y=lnx为自然对数 函数

2.对数函数的图象和性质
a>1 图象 0<a<1

(0,+∞) (1)定义域:__________
(2)值域:_____ R

1 时,y=___ (3)过点_______, 0 (1,0) 即x=___
性质 y>0 y<0 (4)当x>1时,_____ (4)当x>1时,_______ y<0 y>0 当0<x<1时,_______ 当0<x<1时,_____

的说 是 真明 数: 取对 遍数 所函 有数 正值 实域 数为 指 R

(5)是(0,+∞)上的 增函数 ___________

(5)是(0,+∞)上的 减函数 ____________

3.反函数 y=logax 互为反函数,它 指数函数y=ax与对数函数_________ y= x 们的图象关于直线_________ 对称.

题型一 对数的化简与求值
lg 2 ? lg 5 ? lg 8 【例1】(1)化简: ; lg 50 ? lg 40 (2)化简: 23?log0.5 4 ;

(3)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.

答案

知能迁移1 (1)化简(log43+log83)(log32+log92)= 5 ________. 4 解析

1 1 1 原式 ? ( log2 3 ? log2 3)(log3 2 ? log3 2) 2 3 2
1 2 1 3 1 2

? log2 (3 ? 3 ) ? log3 (2 ? 2 ) 5 3 5 ? ( log2 3) ? ( log3 2) ? . 6 2 4

1 1 (2)已知3a=5b=A,且 ? ? 2, 则A的值是 a b A.15 B. 15 C. ? 15 D.225

( B )

解析

∵3a=5b=A,∴a=log3A,b=log5A,

1 1 ∴ ? =logA3+logA5=logA15=2, a b

∴A2=15,∴A= 15 或A= ? 15 (舍).

题型二 比较大小
【例2】设a=log2π , b ? log2 3, c ? log3 2 ,
则( ) B.a>c>b D.b>c>a A.a>b>c C.b>a>c 解析

∵a=log2π >1, b ? 1 log 2 3 ? 1, c ? 1 log 3 2 ? 1, 2 2 2 ∴a>b,a>c. 又 log2 3 ? lg 3 ? 1, log3 2 lg 2 2 ∴b>c,∴a>b>c.

知能迁移2

比较下列各组数的大小.

(1) log 3 2 与 log 5 6 ; 3 5 (2)log1.10.7与log1.20.7;
(3)已知 log 1 b ? log 1 a ? log 1 c, 比较2b,2a,2c的大
2 2 2

小关系.

答案

题型三

对数函数的性质

【例3】(12分)已知函数f(x)=logax (a>0,a≠1),如 果对于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1成立,试求 a的取值范围.



当a>1时,对于任意x∈[3,+∞),都有f(x)>0.

所以,|f(x)|=f(x), 而f(x)=logax在[3,+∞)上为增函数, ∴对于任意x∈[3,+∞),有f(x)≥loga3.

因此,要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3,+∞)都成立.
只要loga3≥1=logaa即可,∴1<a≤3. 当0<a<1时,对于x∈[3,+∞),有f(x)<0,∴|f(x)|=-f(x). ∵f(x)=logax在[3,+∞)上为减函数, ∴-f(x)在[3,+∞)上为增函数.∴对于任意x∈[3,+∞)都有 |f(x)|=-f(x)≥-loga3.

因此,要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3,+∞)都成立,

1 1 1 ? log a 3 ? ?1 ? log a ,即 ? 3,? ? a ? 1. a a 3
综上,使|f(x)|≥1对任意x∈[3,+∞)都成立的a的取

只要-loga3≥1成立即可,

1 值范围是(1,3]∪[ ,1). 3

2 ? a ) 是奇函数,则使 知能迁移3 (1)设f(x)= lg( 1? x f(x)<0的x的取值范围是 (A )

A.(-1,0) C.(-∞,0)

B.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)

解析

∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0.

1? x . 1? x 1? x 令f(x)<0,则 0 ? ? 1, 1? x ∴x∈(-1,0).

解之,得a=-1.∴f(x)= lg

(2)已知f(x)=loga[(3-a)x-a]是其定义域上的增函数,

那么a的取值范围是
A.(0,1) C.(0,1)∪(1,3) B.(1,3) D.(3,+∞)





解析

记u=(3-a)x-a,

当1<a<3时,y=logau在(0,+∞)上为增函数, u=(3-a)x-a在其定义域内为增函数, ∴此时f(x)在其定义域内为增函数,符合要求. 当a>3时,y=logau在其定义域内为增函数,

而u=(3-a)x-a在其定义域内为减函数,
∴此时f(x)在其定义域内为减函数,不符合要求. 当0<a<1时,同理可知f(x)在其定义域内是减函数, 不符合题意.故选B. 答案 B

题型四 对数函数的综合应用
已知函数 f ( x) ? log a 是奇函数(a>0, a≠1). (1)求m的值;
1 ? mx x ?1

(2)判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并加以证明.
解 (1)∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x)在其定义域内恒成立, 1 ? mx 1 ? mx 即 log a ? ? log a , ? x ?1 x ?1 ∴1-m2x2=1-x2恒成立,

∴m=-1或m=1(舍去),∴m=-1.

x ?1 (2)由(1)得 f ( x) ? log a (a>0,a≠1), x ?1 任取x1,x2∈(1,+∞). x ?1 设x1<x2,令t(x)= , x ?1 x1 ? 1 x2 ? 1 则t ( x1 ) ? , t ( x2 ) ? , x1 ? 1 x2 ? 1

x1 ? 1 x2 ? 1 2( x2 ? x1 ) ? t ( x1 ) ? t ( x2 ) ? ? ? , x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)(x2 ? 1)

∵x1>1,x2>1,x1<x2, ∴x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0.

x ? 1 x2 ? 1 ? , ∴t(x1)>t(x2),即 1 x1 ? 1 x2 ? 1 ∴当a>1时,loga x1 ? 1 ? loga x2 ? 1 ,即f ( x1 ) ? f ( x2 ), x1 ? 1 x2 ? 1 ∴ f(x)在(1,+∞)上是减函数; x1 ? 1 x2 ? 1 当0<a<1时, loga ? loga ,即f ( x1 ) ? f ( x2 ), x1 ? 1 x2 ? 1 ∴ f(x)在(1,+∞)上是增函数.



2?5 5 lg 8 ? 4 ? 1. (1)原式= 50 5 lg lg 40 4 lg
log 1 4
2

(2) 23? log0.5 4 ? 23 ? 2log0.5 4 ? 8 ? 2
log 2 1 4

? 8 ? 2 ?log2 4

1 ? 8? 2 ? 8 ? ? 2. 4 (3)方法一 ∵loga2=m,∴am=2.
∵loga3=n,∴an=3. 故a2m+n=(am)2·an=4×3=12. 方法二 ∵loga2=m,loga3=n,

? a 2m?n ? a 2 loga 2?loga 3 ? a loga 12 ? 12.

2 6 log 解 (1)∵ <log31=0, log 5 >log51=0, 3 3 5 2 6 ∴ log 3 3 ? log 5 5 . (2)方法一 ∵0<0.7<1,1.1<1.2,∴0>log0.71.1>log0.71.2,
? 1 log0.7 1.1 ? 1 log0.7 1.2 ,

即由换底公式可得log1.10.7<log1.20.7. 方法二 作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象. 如图所示两图象与x=0.7相

交可知log1.10.7<log1.20.7.
(3)∵ y ? log x 为减函数,且 log 1 b ? log 1 a ? log 1 c,
1 2

2

2

2

∴b>a>c,而y=2x是增函数,∴2b>2a>2c.


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