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2.1.2指数函数及其性质


新课标高中数学-必修一导学案 §2.1.2 指数函数(一)
【自学目标】 1. 掌握指数函数的概念、图象和性质; 2. 能借助于计算机画指数函数的图象; 3. 能由指数函数图象归纳出指数函数的性质。 【知识描述】 1.指数函数的定义。 2.指数函数的性质

a ?1
图象

0 ? a ?1

y y =a x(a > 1) y =a x (0<a<1) <1) y=1 (0, 1)

y

y=1 (0, 1) O 性质 (1)定义域:R (2)值域:(0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时 y=1 (4)在 R 上是增函数 【预习自测】 例 1.下列函数中是指数函数的是 ⑴ y ? x2 ; ⑸ y ? xx ; ⑵ y ? 3x ; ⑹ y ? ex ; x

O

x

(4)在 R 上是减函数

。 ⑶ y ? ?4 x ; ⑺ y ? 3 x ?1 ; ⑷ y ? (?4) x ; ⑻ y ? (2a ? 1) x ( a ?

1 , a ?1 ) 2

例 2.已知指数函数 y ? f ( x ) 的图象经过点(1, ? ) ,求下列各个函数值: ⑴ f (0) ; ⑵ f (1) ; ⑶ f (?) 。 例 3.比较大小: ⑴ 1.7 2.5 和 1.7 3 ; ⑵ 0.8 ?0.1 与 1.25 0.2 ; ⑶ 1.7 0.3 与 0.9 3.1 。

例 4.作出下列函数的图象,并说明它们之间的关系: ⑴ y ? 3x ; ⑵ y ? 3 x ?1 ; ⑶ y ? 3 x ?1 。

1

新课标高中数学-必修一导学案
【课堂练习】
1 1. 在下列六个函数中: ① y ? 2a x ; ② y ? a x?2 ; ③ y ?a x ?3 ; ④ y ? ax ; ⑤ y ? ( ?a ) x ; ⑥ y ? ( )x。 若a ? 0 , a

且 a ? 1 ,则其中是指数函数的有( ) A.0 个 B.1 个 2.函数 y ? 2 x ?3 ? 3 恒过定点 。

C.2 个

D.3 个

1 3.函数 y ? ( ) x 和 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 的图象关于 a

对称。

4.已知函数 y ? a x ( a ? 0 , a ? 1 )在[0,1]上的最大和最小值之和是 3,求实数 a 的值。

5.设 2 3?2 x ? (0.5) 3 x ?4 ,求 x 的取值范围。

【归纳反思】 1.要根据指数函数的图象特征来熟记和研究指数函数的性质,并根据需要,对底数 a 分两种情况加以讨论, 体会其中的数形结合和分类讨论思想; 2.注意图象的的平移变换的方法和规律,并能正确地运用这一方法和规律解有关函数图象的问题,加深对 指数函数的图象和性质的认识和理解。 【巩固提高】 1.若集合 A ? {y | y ? 2 x , x ? R} , B ? {y | y ? x 2 , x ? R} ,则 ( A.A B B. A ? B C.B A )

D. A ? B ) D.第四象限

2.已知 0 ? a ? 1, b ? ?1 ,则函数 y ? a x ? b 的图象不经过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

3.图中曲线 C1 , C 2 , C 3 , C 4 分别是指数函数 y ? a x , y ? b x , y ? c x , y ? d x 的图象,则 a, b, c, d 与 1 的大小关系是 A. a ? b ? 1 ? c ? d B. a ? b ? 1 ? d ? c
3

C. b ? a ? 1 ? c ? d
2

D. b ? a ? 1 ? d ? c

4.已知 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? a a

? a ?1

, N ? aa

? a ?1

,则(

) D.M、N 大小关系不确定

A. M ? N B. M ? N 1 5.函数 y ? ( ) ? x 的值域是 ; 4

C. M ? N

6.若指数函数 y ? (a 2 ? 1) x 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是

。 。

7.把函数 y=f(x) 的图象向左、向下分别平移 2 个单位得到 y ? 2 x 的图象,则 f(x)= 8.比较 1.5 ? 0.2 , 1.3 0.7 , ( ) 3 的大小
2 3
1

9.已知函数 y ? a x ( a ? 0 , a ? 1 )在[1,2]上的最大值比最小值大 2,求实数 a 的值

10.试比较 a 2 x

2

? 3 x ?1

与ax

2

? 2 x ?5

( a ? 0 ,且 a ? 1 )的大小

2

新课标高中数学-必修一导学案 §2.1.2 指数函数(二)
【自学目标】 1.进一步深刻地理解指数函数的定义、图象和性质,能熟练地运用指数函数的定义、图象和性质解决有关指 数函数的问题; 2.能熟练地解决与指数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性和奇偶等问题,提高综合运用所学知识 分析问题和解决问题的能力。 【知识描述】 1. y ? a f ( x ) 性质 ⑴定义域:与 f ( x ) 的定义域相同。 ⑵值域:其值域不仅要考虑 f ( x ) 的值域,还要考虑 a ? 1 还是 0 ? a ? 1 。求 y ? a f ( x ) 的值域,先求 f ( x ) 的 值域,再由指数函数的单调性求出 y ? a f ( x ) 的值域。 ⑶单调性: 单调性不仅要考虑 f ( x ) 的单调性, 还要考虑 a ? 1 还是 0 ? a ? 1 。 若 a ?1, 则 y ? a f ( x ) 与 y ? f (x) 有相同的单调性;若 0 ? a ? 1 ,则 y ? a f ( x ) 与 y ? f ( x ) 有相反的单调性。 2. y ? g(a x ) 类型的函数的性质:可采用换元法:令 a x ? t ,注意 t 的取值范围,根据 y ? g ( t ) 与 y ? a x 的的 性质综合进行讨论。 【预习自测】
2 ? 3 例 1.将六个数 ( ) 3 , ( ) 2 3 5
1 1

3 5 5 ? , ( ) 3 , ( ) 0 , (?2) 3 , ( ) 3 按从小到大的顺序排列。 2 6 3
2

2

1

例 2.求函数 y ? ( ) x

1 3

2

? 4 x ?1

和 y ? 2 ?2 x

? 4 x ?7

的单调区间。

例 3.求下列函数的定义域和值域。
1

⑴ y ? 2 x ?4 ; 例 4.判断下列函数的奇偶性: (1) (2) y ? ( ) ?|x| ;

⑵ y ? 4 x ? 2 x ?1 ? 1 .

2 3

(2) y ?

a x ? a ?x ( a ? 0 , a ?1 ) ; 2

例 5.若 0 ? x ? 2 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 2 x ? 5 的最大值和最小值。

【课堂练习】 1.函数 y ? 3 2 x ?1 ? A. (-2,+∞) 2.函数 y ? e ?| x| 是( ) B.偶函数,且在(-∞,0]上是减函数 D.偶函数,且在[0,-∞)上是减函数 3
1 的定义域为( 27

) C. (-∞,-1] D. (-∞,-2]

B.[-1,+∞)

A.奇函数,且在(-∞,0]上是增函数 C.奇函数,且在[0,-∞)上是增函数

新课标高中数学-必修一导学案
1 3.函数 f ( x) ? ( ) 2
? x ?3

的增区间是

4. y ?

e x ?1 的值域是 e x ?1

5.已知函数 y=4x-3·2x+3 的定义域是(-∞,0],求它的值域 【归纳反思】 1.指数函数是单调函数,复合函数 y ? a f ( x ) 的单调性由 y ? a u 和 u ? f ( x ) 的单调性综合确定; 2.比较两个幂式的大小主要是利用指数函数的单调性,但是在应用时要注意底数与 1 的关系。 3.利用指数函数的性质比较大小 ⑴同底数幂比较大小直接根据指数函数的单调性比较; ⑵同指数幂比较大小,可利用作商和指数函数的性质判定商大于 1 还是小于 1 得结论; ⑶既不同底也不同指数幂比较大小,可找中间媒介(通常是 1 或是 0) ,或用作差法,作商法。 【巩固提高】 1.函数 f ( x) ? a x ( a ? 0 , a ? 1 )对于任意的实数 x,y 都有( A.f(xy)=f(x)f(y) C.f(x+y)=f(x)f(y) 2.下列函数中值域为 (0, ??) 的是( A. y ?
1 2 ? 5 x



B.f(xy)=f(x)+f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y) )

B. y ? ( )1? x ) y 1 x 0 C. x

1 3

1 C. y ? ( ) x ? 1 2

D. y ? 1 ? 2 x

3.函数 y=a|x|(a>1)的图像是 ( y 1 0 A. x 0 B. y

y 1 0 D. ) x

4.若集合 P ? { y | y ? 3 x , x ? R} , Q ? { y | y ? 2 x ? 1, x ? R} ,则 P ? Q 是( A.P B.Φ
x

C.Q

D.R 。 。 。

5.若函数 f ( x) ? a ? 6.函数 y ? 2 ? x
2

1 是奇函数,则实数 a 的值为 2 ?1

? ax?1

在区间(-∞,3)内递减,则实数 a 的取值范围是

7.已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | 的图象与直线 y ? a 的图象恰有一个交点,则实数 a 的值为 8.若函数 y ? a x ? b ( a ? 0 , a ? 1 )的图象不经过第一象限,求 a,b 的取值范围

9.已知 2 x

2

?x

1 ? ( ) x ?2 ,求函数 y ? 2 x ? 2 ? x 的值域 4

10.设 f ( x) ?

4x ,若 0 ? a ? 1 ,求: 4x ? 2
1 2 3 1000 (2) f ( )? f ( )? f ( )????? f ( )的值 1001 1001 1001 1001

(1) f (a) ? f (1 ? a)的值 ;

4

新课标高中数学-必修一导学案 §2.1.2 指数函数(习题课)(三)
【自学目标】 1.掌握分数指数幂的概念与运算性质,根式与分数指数幂的互化方法,能正确地进行有关根式和分数指数幂 的化简、求值等问题,提高恒等变形的能力; 2.掌握指数函数的定义、图象和性质及其应用,体会利用函数图象研究函数性质的思想方法以及从具体到抽 象、从特殊到一般的思维过程,充分认识指数函数是一类重要的函数模型,了解指数函数在现代科技、生产、 生活实际中的广泛应用,培养数学应用的意识和能力。 【知识描述】 1. 利用整体替换的思想,根据复合函数及对数函数的性质解决有关对数函数的复合问题。 平时常常遇见一次、 二次函数与指数函数、对数函数的复合。换元法是求解复合函数的常用方法。 2.函数图象的应用,如利用指数函数与对数函数图像的对称性来解题。 3.指数对数方程与不等式的解法。这类问题应特别注意自变量的取值范围和底数大于 1,还是大于 0 小于 1 的讨论。 【预习自测】 例 1.函数 y ? a x ? 1 的定义域为 (?? , 0] ,求 a 的取值范围

例 2.已知函数 f ( x ) ?

2x ?1 , (1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)求证:函数 f ( x ) 是 R 上的增函数 2x ? 1

例 3.有纯酒精 20 升,从中倒出 1 升,再用水加满;然后再倒出 1 升,再用水加满;如此反复进行。问第九 次和第十次各倒出多少升纯酒精?

例 4.2005 年人才招聘会上,有甲、乙两公司分别开出它们的工资标准,甲公司允诺第一年月工资为 1500 元,以后每年月工资比上一年月工资增加 230 元;乙公司允诺第一年月工资数为 2000 元,以后每年月工资 在上一年的月工资基础上递增 5%,若某大学生年初被甲、乙两家公司同时录取,试问: ⑴若该大学生分别在甲公司或乙公司连续工作 n 年,则他在第 n 年的月工资收入分别是多少? ⑵该人打算连续在一家公司工作 3 年,仅从工资收入总量较多作为应聘标准(不记其他因素) ,该人应 选择哪家公司,为什么?

【课堂练习】 1.函数 y ? 5 x ? 5 ? x 是( A. R 上的增函数 ) B. R 上的减函数 C. 奇函数 D. 偶函数

2.某厂 1991 年的产值为 a 万元,预计产值每年以 5%递增,则该厂到 2003 年的产值是( ) A. a(1 ? 5%) 13 B. a(1 ? 5%) 12 C. a(1 ? 5%) 11 %。 D.
10 a(1 ? 5%) 12 9

3.一产品原价为 a 元,连续两年上涨 x%,现欲恢复原价,应降价
1 4.求函数 y ? ( ) x 3
2

?3 x ? 2

的单调区间

5.已知函数 y ? a 2 x ? 2a x ? 1 ( a >0 且 a ≠1)在区间[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值

5

新课标高中数学-必修一导学案
【归纳反思】 解答数学应用题的关键有两点:一是认真读题,缜密审题,正确理解题意,明确问题的实际背景,然后 进行科学的抽象、概括,将实际问题归结为相应的数学问题;二是要合理选取变量,设定变元后,寻找它们 之间的内在联系,建立相应的函数模型。 【巩固提高】 1.若 2 2 x ? 4 ? 5 ? 2 x ,则 x 2 ? 1 等于( ) A.1 B.5 C.5 或 1 D.2 或 5 )

2.已知 0 ? a ? 1, x ? y ? 1 ,则下列各式中,正确的是( A. x a ? y a B. a x ? a y C. a ? a
x y

D. a x ? y a

3.函数 f ( x) ? 3 2? x ( ?1 ? x ? 3 )的值域是( A.(0,+∞) B. (0,9)

)
1 D. ( ,27) 3

1 C.[ ,27] 3

4.函数 f(x)=|2x-1|,当 a<b<c 时,有 f(a)>f(c)>f(b),则 A.a<0,b<0,c>0 B.a<0,b>0,c>0 - a c C.2 <2 D.2a+2c<2
1 5.若函数 f ( x) 的定义域是 ( , 1) ,则函数 f (2 x ) 的定义域是______________. 2

6. 已知 a>0 且 a≠1, f (x) =x -a , 当 x∈ (-1, 1) 时均有 f ( x) ? 7.函数 f ( x) ? a 2 x ? 3a x ? 2 (a>0 且 a≠1)的最小值是 8.已知函数 y ? a x
2

2

x

1 , 则实数 a 的取值范围是 2





?3 x ?3

,当 x∈[1,3]时有最小值 8,求 a 的值

9.某种储蓄按复利计算利息,若本金为 a 元,每年利率为 r,设存期为 x 年,本利和(本金加上利息)为 y 元。 (1)写出本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式; (2)如果存入本金 1000 元,每期利率为 2.25%,试计算 5 年后的本利和

10.已知定义在 R 上恒不为 0 的函数 y=f(x),当 x>0 时,满足 f(x)>1,且对于任意的实数 x,y 都有 f(x+y)=f(x)f(y)。 ⑴求 f(0) 的值; ⑵证明 f ( ? x ) ? ?
f ( x) 1 ; ⑶ f ( x ? y) ? ; ⑷证明函数 y=f(x) 是 R 上的增函数 f ( x) f ( y)

6

新课标高中数学-必修一导学案
[练通考点] 1.已知 f(x)=2x+2 x,若 f(a)=3,则 f(2a)等于(


) C.9 D.11 )

A.5


B.7

2.已知 f(x)=3x b(2≤x≤4,b 为常数)的图像经过点(2,1),则 f(x)的值域( A.[9,81] 3.函数 f(x)=a
x-1

B.[3,9]

C.[1,9]

D.[1,+∞) )

(a>0,a≠1)的图像恒过点 A,下列函数中图像不经过点 A 的是( B.y=|x-2| D.y=log2(2x) ) B.(0,1) D.[1,+∞)

A.y= 1-x C.y=2x-1 1? 2 4.函数 y=? ?3?x 的值域是( A.(0,+∞) C.(0,1] 5.函数 f(x)=2
|x-1|

的图像是(

)

6.已知 a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则( A.a>b>c C.c>a>b

) B.a>c>b D.b>c>a )

7.当 x∈[-2,2]时,ax<2(a>0 且 a≠1),则实数 a 的取值范围是( A.(1, 2) C.? 2 ? ∪(1, 2) ? 2 ,1? B.? 2 ? ? 2 ,1?

D.(0,1)∪(1, 2)

1 ?x 8.偶函数 f(x)满足 f(x-1)=f(x+1),且在 x∈[0,1]时,f(x)=x,则关于 x 的方程 f(x)=? ?10? 在 x∈[0,4]上解的 个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

?f?x?,x≥0, ? 1 9.已知函数 f(x)=2x- x,函数 g(x)=? 则函数 g(x)的最小值是________. 2 ?f?-x?,x<0, ?

3? - 3 ? 7?0 4 4 10.计算:? ?2? ×?-6? +8 × 2-

1

1

?-2? 3 =________. ? 3?

2

a 1- x?的定义域是(1,+∞),则实数 a 的值为________. 11.已知函数 f(x)=ln? 2 ? ? 7

新课标高中数学-必修一导学案
12.若函数 f(x)=a
|2x-4|

(a>0,a≠1)且 f(1)=9,则 f(x)的单调递减区间是________.

13.函数 y=8-23 x(x≥0)的值域是________.


14. 已知正数 a 满足 a2-2a-3=0, 函数 f(x)=ax, 若实数 m, n 满足 f(m)>f(n), 则 m, n 的大小关系为________. a 15.函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 ,求 a 的值. 2

16.设 a>0 且 a≠1,函数 y=a2x+2ax-1 在[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值.

1 17.已知函数 f(x)=3x- |x|. 3 (1)若 f(x)=2,求 x 的值; (2)判断 x>0 时,f(x)的单调性; 1 ? (3)若 3tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈? ?2,1?恒成立,求 m 的取值范围.

8


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