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高二数学 双曲线及其标准方程


高二 学生姓名:
专 目 题 标 双曲线及其标准方程

年级 数学

科辅导讲义(第 讲) 授课时间:

授课教师:

掌握双曲线的定义、焦点、离心率;渐进线等概念 双曲线的定义和标准方程 求双曲线的标准方程;求弦中点的轨迹方程

重 难 点 常 考 点

/>第一部分、基础知识梳理 (1)双曲线的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 | F1 F2 | )的点的轨迹。 其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意: | PF 1 | ? | PF2 |? 2a 与 | PF2 | ? | PF 1 |? 2a ( 2a ?| F 1 F2 | )表示双曲线的一支。

2a ?| F1 F2 | 表示两条射线; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹;
(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在 x 轴上 标准方程
y x ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
2 2

中心在原点,焦点在 y 轴上

y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

P
图 形

y

P
O A2 F2

F2 B2 O B1 F1

F1 A1

x

x

顶 点 对称轴 焦 点 焦 距 离心率 渐近线 通 径 (3)双曲线的渐近线:

A1 (?a,0), A2 (a,0)

B1 (0,?a), B2 (0, a)

x 轴, y 轴;虚轴为 2b ,实轴为 2a
F1 (?c,0), F2 (c,0)
| F1F2 |? 2c(c ? 0)
e?

F1 (0,?c), F2 (0, c)

c2 ? a2 ? b2

c (e ? 1) (离心率越大,开口越大) a

y??

b x a
2b 2 a

y??

a x b

1

2 2 2 2 ①求双曲线 x ? y ? 1 的渐近线,可令其右边的 1 为 0,即得 x ? y ? 0 ,因式分解得到 x ? y ? 0 。 2 2 2 2

a

b

a

b

a

b

2 2 x2 y2 ②与双曲线 2 ? 2 ? 1 共渐近线的双曲线系方程是 x 2 ? y 2 ? ? ; a b a b

(4)等轴双曲线为 x 2 ? y 2 ? t 2 ,其离心率为 2 (5)常用结论:
2 2 双曲线 x ? y ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 的直线交双曲线的同一支于 A, B 两点,线 a2 b2

段 AB 的长度为 AB ,则 ?ABF2 的周长=
2 2 设双曲线 x ? y ? 1(a ? 0, b ? 0) 左、右两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 且垂直于对称轴的直线交双曲线于 a2 b2

P, Q 两点,则 P, Q 的坐标分别是
第二部分 例题解析 考点一:求双曲线的标准方程 例 1:讨论

| PQ |?

x2 y2 ? ? 1 表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征。 25 ? k 9 ? k

例 2:根据下列条件,求双曲线的标准方程。

? 15 ? ? 16 ? , 5 ? 且焦点在坐标轴上。 ? 4? ? 3 ? (2) c ? 6 ,经过点(-5,2) ,且焦点在 x 轴上。 2 2 x y ? ? 1 有相同焦点,且经过点 3 2, (3)与双曲线 2 16 4
(1)过点 P? 3, ? , Q? ?

?

?

2

考点二、运用双曲线的定义求轨迹方程 例 3:已知两点 F1 ?? 5, 0? ,求与它们的距离差的绝对值是 6 的点的轨迹。 0? 、 F2 ?5,

例 4:在 ?ABC 中, BC ? 2 ,且 sin C ? sin B ?

1 sin A ,求点 A 的轨迹。 2

例 5:求下列动圆圆心 M 的轨迹方程:
2 2

(1)与⊙ C: 0? 。 ?x ? 2? ? y 2 ? 2 内切,且过点 A?2,
2 2

(2)与⊙ C1:x 2 ? ? y ?1? ? 1 和⊙ C2:x 2 ? ? y ? 1? ? 4 都外切。
2

(3)与⊙ C1: ?x ? 3? ? y 2 ? 9 外切,且与⊙ C2: ?x ? 3? ? y 2 ? 1 内切。

考点三、双曲线定义的运用
3

例 6、已知双曲线

求 ?F1PF2 的大小。

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P 在双曲线的右支上,且 PF 1 PF 2 ? 32 , 9 16

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且满足 ?F1PF2 ? 90? ,求 ?F1 PF2 例 7、已知 F1 、F2 是双曲线 4
的面积。

考点四、中点弦问题 具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法) :设曲线上两点为 (x 1, y 1), (x 2, y 2),代入方程, 然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。 例题 8 已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1 ,过 A(2,1)的直线与双曲线交于两点 P1 2

及 P2 ,求线段 P1 P2 的

中点 P 的轨迹方程。

第三部分 巩固练习 一、选择题:
4

1、设 F1 、 F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 P ,满足 a 2 b2


PF2 ? F1F2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为(
A. 3x ? 4 y ? 0 B. 3x ? 5 y ? 0 C. 4 x ? 3 y ? 0 D. 5x ? 4 y ? 0

2、设双曲线的一个焦点为 F ,虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么 此双曲线的离心率为( A. )

2

B.

3

C.

3 ?1 2

D.

5 ?1 2

3、设 O 为坐标原点, F1 , F2 是双曲线

x 2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的焦点,若在双曲线上存在点 P,满足 a 2 b2


∠ F1 P F2 =60°,∣OP∣= 7a ,则该双曲线的渐近线方程为( A. x± 3 y=0 C. x± 2y =0 B. D.

3 x±y=0
2x ±y=0

4、到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 ( ) A. 直线 5、已知双曲线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y= 3x ,它的一个焦点在抛物线 y 2 ? 24 x 2 a b


的准线上,则双曲线的方程为(

x2 y 2 ? ?1 A. 36 108 x2 y2 ? ?1 C. 108 36
2 2

x2 y 2 ? ?1 B. 9 27
x2 y 2 ? ?1 D. 27 9

6、已知 F1 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠ F1 P F2 = 60? ,则 PF 1 PF 2 ? ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

二、填空题:

x2 y 2 ? ? 1 的右支上,若点 A 到右焦点的距离等于 2 x0 ,则 x0 =___ 7、点 A( x0,y0 ) 在双曲线 4 32 x2 y 2 x 2 y2 ? ? 1 的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标 8、已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 2,焦点与椭圆 25 9 a b
为 ;渐近线方程为 。
5

9、已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y ? 3x ,它的一个焦点与抛物线 y 2 ? 16 x a 2 b2
。 。

的焦点相同。则双曲线的方程为 10、若双曲线

1 x 2 y2 - 2 =1(b>0)的渐近线方程为 y= ? x ,则b等于 2 4 b

巩固练习 参考答案: 1、C 解析:利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系,进而得出 a 与 b 之间的等量关系, 由此可知答案选 C。本题主要考查三角形与双曲线的相关知识点,突出了对计算能力和综合运用知识能力 的考查,属于中档题。
6

2、D 解析:不妨设双曲线的焦点在 x 轴上,设其方程为: 则一个焦点为 F(c,0) ,B(0,b) 。 一条渐近线的斜率为:

x 2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , a 2 b2

b b b b ,直线 FB 的斜率为: ? ,? ? ( ? ) ? ?1 ,? b 2 ? ac , c 2 ? a 2 ? ac ? 0 , a a a c

解得 e ?

c ? a

5 ?1 。 2

3、D 解析:本题将解析几何与三角知识相结合,主要考查了双曲线的定义、标准方程、几何图形、几 何性质、渐近线方程,以及斜三角形的解法,属中档题。 4、D 解析:本题使用了排除法。轨迹是轴对称图形,因此排除 A、C,轨迹与已知直线不能有交点,故 排除 D。 5、B 解析:本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质及标准方程,属于容易题。

?b ?a ? 3 ? x 2 y2 ? ?1 依题意知 ?c ? 6 ? a 2 ? 9, b 2 ? 27 ,所以双曲线的方程为 9 27 ? 2 2 2 ?c ? a ? b ?
6、B 本小题主要考查双曲线的定义、几何性质、余弦定理,以及转化的数学思想,通过本题还可以有 效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析 1】由余弦定理得 cos∠ F1 PF2 ?

| PF1 | 2 ? | PF2 | 2 ? | F1F2 | 2 2 | PF1 || PF2 | 2 | PF1 || PF2 |

? cos 60? ?

?| PF1 | ? | PF2 |?2 ? 2 | PF1 || PF2 | ? | F1F2 | 2

1 2 2 ? 2 | PF1 || PF2 | ? 2 2 ? ? 2 2 | PF1 || PF2 |

? ?

2

| PF1 | ? | PF2 |? 4

【解析 2】由焦点三角形面积公式得:

S ?F1PF2 ? b 2 cot

? 60? 1 1 3 ? 12 cot ? 3 ? | PF1 || PF2 | sin 60? ? | PF1 || PF2 | 2 2 2 2 2

| PF1 | ? | PF2 |? 4
7、2 解析:考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化,得到 a=2,c=6,

r ? e ? r ? 3d , d

2x 0 ? 3( x 0 ?

a2 ) ? x0 ? 2 c
7

8、 (?4,0)
2 2

3x ? y ? 0

9、

x y ? ?1 4 12 b ? 3① a
② ③

解析:本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程,属于容易题。 由渐近线方程可知

因为抛物线的焦点为(4,0) ,所以 c=4 又c ? a ? b
2 2 2

联立①②③,解得 a 2 ? 4, b 2 ? 12 ,所以双曲线的方程为 10、1 解析:由题意知 全 品中考网

x 2 y2 ? ?1 4 12

b 1 ? ,解得 b=1。 2 2

8


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