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22.1.3用待定系数法求二次函数的解析式


22.1.5用待定系数法 求二次函数的解析式

烟墩中学

梁昌健

复习提问:
1.求一次函数解析式的方法是什么? 待定系数法

2. 二次函数的一般形式是什么?它有几个待定系数? y=ax2+bx+c(a≠0), 有3个待定系数a、b、c 3. 二次函数的顶点式是什么?它有几个待定系数

? y=a(x-h)2+k (a≠0), 有3个待定系数a、h、k

今天学习用待定系数法求二次函数的解析式

(1,4)、(2,7)三点,求这个二次函数的解析式。 解:设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c

例1:已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、 题型讲解:
a-b+c=10 由条件得: a+b+c=4 4a+2b+c=7 解方程组得: a=2, b=-3, c=5 ∴所求二次函数是: y=2x2-3x+5
已知抛物线上任意三点时, 通常设为一般式

待定系数法

练习:已知一个二次函数的图象过点(0,0)、(-1,-1)、(1,9) 三点,求这个二次函数的解析式。(P13练习第2题)

解:设所求的二次函数为

y=ax2+bx+c

c=0 由条件得: a-b+c= -1 a+b+c=9 解方程组得: a=4, b=5, c=0 ∴所求二次函数是: y=4x2+5x

例2:已知抛物线的顶点是(1,2)且过点(2,3),求 出对应的二次函数解析式。 解:设所求的二次函数为y=a(x-h)2+k 已知抛物线的顶点与 抛物线上另一点时, ∵顶点是(1,2) 通常设为顶点式 2 ∴y=a(x-1) +2, 又∵图像过点(2,3) ∴a(2-1)2+2=3,∴a=1 ∴ y=(x-1)2+2,即y=x2-2x+3
变式练习: 已知二次函数的图象经过点(4,-3),并 且当x=3时有最大值4,求出对应的二次函数解析式;
已知条件中的当x=3时有最大值4 也就是抛物线的顶点坐标为(3,4), 所以设为顶点式较方便

题型讲解:

变式练习: 已知二次函数的图象经过点(4,-3),并且当 x=3时有最大值4,求出对应的二次函数解析式;
解:依题意,设二次函数解析式为:y=a(x-h)2+k

∵当x=3时有最大值4 ∴顶点是(3,4) ∴y=a(x-3)2+4,
又∵图像过点(4,-3) ∴a(4-3)2+4=-3,∴a=-7
∴ y=-7(x-3)2+4,即y=-7x2+42x-59

探究新知
一般地,函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的 横坐标即为方程ax2+bx+c=0的解x1 ,x2 ,所以, 已知抛物线与x轴的两个交点坐标为( x1 ,0), ( x2 ,0)时,二次函数解析式y=ax2+bx+c又 可以写为y=a(x- x1)(x- x2),其中x1 ,x2 为两 交点的横坐标。

二次函数的交点式(两根式):y=a(x-x1)(x-x2), 其中x1 ,x2 为两交点的横坐标 ,它有3个待定系数a、 x1 、x2

例3:已知抛物线与x轴两交点横坐标为1和3且图像过(0, -3),求出对应的二次函数解析式。 解:设所求的二次函数为y=a(x-x1)(x-x2) 由抛物线与x轴两交点横坐标为1和3, ∴y=a(x-1)(x3), 又过(0,-3), ∴ a(0-1)(0-3)=-3, ∴a=-1 ∴ y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3
已知抛物线与x轴的交点 或交点横坐标时,通常 设为交点式(两根式)

y x o

1、已知抛物线与X轴交于A(-1,0),B(1,0) 并经过点M(0,1),求抛物线的解析式?

试一试
1:已知抛物线与X轴交于A(-1,0),B(1,0) 并经过点M(0,1),求抛物线的解析式? 解:设所求的二次函数为 y=a(x+1)(x-1)
y x
o

由条件得:点M( 0,1 )在抛物线上
所以:a(0+1)(0-1)=1 得 : a=-1 故所求的抛物线为 y=- (x+1)(x-1) 即:y=-x2+1

你学到了那些二次函数解析式的求法 课 堂 小 结

求二次函数解析式的一般方法:
?1、已知图象上三点: y 通常选择一般式y=ax2+bx+c; ?2、已知图象的顶点坐标*对称轴和最值) 通常选择顶点式y=a(x-h)2+k, x ?3、已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2, 通常选择交点式(两根式)y=a(x-x1)(x-x2) 。 确定二次函数的解析式时,应该根据条件的特点, 恰当地选用一种函数表达式。

o

试一试:如图,已知二次函数 y ? ax2 ? 4 x ? c

的图像经过点

A和点B. (1)求该二次函数的表达式; (2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标; (3)点P(m,m)与点Q均在该函数图像上(其中m>0),且这两 点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点Q 到x轴的距离. 解:(1)将x=-1,y=-1;x=3,y=-9分别代
2 ? ? 1 ? a ? ( ? 1 ) ? 4 ? ( ?1) ? c, 入 y ? ax ? 4x ? c 得 ?? 9 ? a ? 32 ? 4 ? 3 ? c. ? 解得 ?a ? 1, ?c ? ?6. ?

2

y

-1 O A -1

3
x

∴二次函数的表达式为. y?x

2

? 4x ? 6

(2)对称轴为直线x=2 ;顶点坐标为(2,-10). 2 2 (3)将(m,m)代入y ? x ? 4 x ? 6 ,得m ? m ? 4m ? 6 , -9 m ? ? 1 解得 m1 ? ?1, m2 ? 6 ,∵m>0,∴ 1 不合题意,舍去 图13 ∴ m=6 ∵点P与点Q关于对称轴 x=2 对称,∴点Q到x轴的距离为6.

B

2
已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2,图 象顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点 (3,-6),求此二次函数的解析式。
解:∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时,x=1。 故顶点坐标为( 1 , 2) 所以可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点(3,-6) ∴-6=a (3-1)2+2 得a=-2 故所求二次函数的解析式为:y=-2(x-1)2+2 即: y=-2x2+4x

已知抛物线的顶点为(-1,-3),与x轴 交点为(0,-5)求抛物线的解析式?
y x o

解: 设所求的二次函数为 ∴ a-3=-5,

y=a(x+1)2-3 解得a=-2

由条件得: 点( 0,-5 )在抛物线上

故所求的抛物线解析式为; y=- 2(x+1)2 - 3 即:y= - 2x2-4x-5

练习:已知一抛物线与x轴的交点A(-2,0),B(1,0)且 经过点C(2,8)。
分析:由已知,抛物线过点(-2,0),B(1,0),C(2,8)三点, 因此可以设一般式求解析式

(1)求该抛物线的解析式;

(2)求该抛物线的顶点坐标;

解:设这个抛物线的表达式为Y=ax2+bx+c

4a-2b+c=0
a+b+c=0 4a+2b+c=8 所以该抛物线的表达式为y=2x2+2x-4 解这个方程组得,

a=2 b=2 C=-4

(2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2(x+1/2)2-9/2 所以该抛物线的顶点坐标为(-1/2,-9/2)

结束寄语
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