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2010高中数学竞赛标准讲义:第十五章:复数


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高中数学竞赛标准讲义:第十五章: 2010 高中数学竞赛标准讲义:第十五章:复数
一,基础知识 1.复数的定义:设 i 为方程 x2=-1 的根,i 称为虚数单位,由 i 与实数进行加,减,乘,除 等运算.便产生形如 a+bi(a,b∈R)的数,称为复数.所有复数构成的集合

称复数集.通常 用 C 来表示. 2. 复数的几种形式. 对任意复数 z=a+bi (a,b∈R) a 称实部记作 Re(z),b 称虚部记作 Im(z). , z=ai 称为代数形式,它由实部,虚部两部分构成;若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标,那 么 z 与坐标平面唯一一个点相对应,从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合 之间的一一映射.因此复数可以用点来表示,表示复数的平面称为复平面,x 轴称为实轴,y 轴去掉原点称为虚轴,点称为复数的几何形式;如果将(a,b)作为向量的坐标,复数 z 又对应 唯一一个向量.因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式,称为向量形式;另外设 z 对应复平面内的点 Z,见图 15-1,连接 OZ,设∠xOZ=θ,|OZ|=r,则 a=rcosθ,b=rsinθ,所 以 z=r(cosθ+isinθ), 这种形式叫做三角形式. z=r(cosθ+isinθ), 若 则θ称为 z 的辐角. 若 0≤θ<2π,则θ称为 z 的辐角主值,记作θ=Arg(z). r 称为 z 的模,也记作|z|,由勾股 定理知|z|= a 2 + b 2 .如果用 eiθ表示 cosθ+isinθ,则 z=reiθ,称为复数的指数形式. 3.共轭与模,若 z=a+bi,(a,b∈R),则 z = a-bi 称为 z 的共轭复数.模与共轭的性质有: R

z (1) z1 ± z 2 = z1 ± z 2 ;(2) z1 z 2 = z1 z 2 ;(3) z z =| z | 2 ;(4) 1 z 2

z1 = ;(5) z2

| z1 z 2 |=| z1 | | z 2 | ;(6) |

z1 |z | |= 1 ;(7)||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|;(8) z2 | z2 |

|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2;(9)若|z|=1,则 z =

1 . z 4.复数的运算法则:(1)按代数形式运算加,减,乘,除运算法则与实数范围内一致,运 算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数;(2)按向量形式,加,减法满足平行四边形 和三角形法则;(3)按三角形式,若 z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2),则 z1

z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)];若 z 2 ≠ 0,

z1 r1 = [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],用 z 2 r2

指数形式记为 z1z2=r1r2ei(θ1+θ2),

z1 r1 i (θ1 θ 2 ) = e . z 2 r2

5.棣莫弗定理:[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ). θ + 2kπ θ + 2 kπ 6.开方:若 w n = r(cosθ+isinθ),则 w = n r (cos + i sin ) ,k=0,1,2,…,n-1. n n 2π 2π 7.单位根:若 wn=1,则称 w 为 1 的一个 n 次单位根,简称单位根,记 Z1= cos , + i sin n n 则全部单位根可表示为 1, Z1 , Z12 , , Z 1n 1 .单位根的基本性质有(这里记 Z k = Z 1k , k=1,2,…,n-1):(1)对任意整数 k,若 k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1,有 Znq+r=Zr;(2)对任意

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0, 当n | m, n-1 n-2 整数 m, n≥2 时, 1 + Z 1m + Z 2m + + Z nm1 = 当 有 特别 1+Z1+Z2+…+Zn-1=0; 3) +x +… ( x n, 当n | m,
+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Zn-1)=(x-Z1)(x- Z 12 )…(x- Z 1n 1 ). 8.复数相等的充要条件:(1)两个复数实部和虚部分别对应相等;(2)两个复数的模和辐 角主值分别相等. 9.复数 z 是实数的充要条件是 z= z ;z 是纯虚数的充要条件是:z+ z =0(且 z≠0). 10.代数基本定理:在复数范围内,一元 n 次方程至少有一个根. 11.实系数方程虚根成对定理:实系数一元 n 次方程的虚根成对出现,即若 z=a+bi(b≠0)是 方程的一个根,则 z =a-bi 也是一个根. 2 2 12.若 a,b,c∈R,a≠0,则关于 x 的方程 ax +bx+c=0,当Δ=b -4ac<0 时方程的根为
x1, 2 = b ± i . 2a

二,方法与例题 1.模的应用. 2n 2n 例 1 求证:当 n∈N+时,方程(z+1) +(z-1) =0 只有纯虚根. 2n 2n 2n 2n 2 2 [证明] 若 z 是方程的根,则(z+1) =-(z-1) ,所以|(z+1) |=|-(z-1) |,即|z+1| =|z-1| , 即(z+1)( z +1)=(z-1)( z -1),化简得 z+ z =0,又 z=0 不是方程的根,所以 z 是纯虚数. 2 例 2 设 f(z)=z +az+b,a,b 为复数,对一切|z|=1,有|f(z)|=1,求 a,b 的值. [解] 因为 4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b) =|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)| ≥|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4,其中等号成立. 所以 f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四个向量方向相同,且模相等. 所以 f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i),解得 a=b=0. 2.复数相等. 例 3 设λ∈R,若二次方程(1-i)x2+(λ+i)x+1+λi=0 有两个虚根,求λ满足的充要条件. R [解]
x 2 + λx + 1 = 0 若方程有实根, 则方程组 2 有实根, 由方程组得(λ+1)x+λ+1=0.若λ=-1, x x λ = 0

则方程 x2-x+1=0 中Δ<0 无实根,所以λ≠-1.所以 x=-1, λ=2.所以当λ≠2 时,方程无实 根.所以方程有两个虚根的充要条件为λ≠2. 3.三角形式的应用. 例 4 设 n≤2000,n∈N,且存在θ满足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ,那么这样的 n 有 多少个? [解] 由题设得 π π π π π π [cos( θ ) + i sin( θ )] n = cos n( θ ) + i sin( θ ) = cos( nθ ) + i sin( nθ ) ,所以 2 2 2 2 2 2 n=4k+1.又因为 0≤n≤2000,所以 1≤k≤500,所以这样的 n 有 500 个. 4.二项式定理的应用. 例5
0 2 4 100 1 3 5 99 计算:(1) C100 C100 + C100 + C100 ;(2) C100 C100 + C100 C100

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100

[解]

(1+i) =[(1+i) ] =(2i) =-2 ,由二项式定理(1+i) =

100

2

50

50

50

0 1 2 99 100 0 2 4 100 C100 + C100 i + C100 i 2 + + C100 i 99 + C100 i 100 = (C100 C100 + C100 + C100 )+( 1 3 5 99 0 2 4 100 C100 C100 + C100 C100 )i,比较实部和虚部,得 C100 C100 + C100 + C100 =-2 ,
50

1 3 5 99 C100 C100 + C100 C100 =0.

5.复数乘法的几何意义. 例 6 以定长线段 BC 为一边任作ΔABC,分别以 AB,AC 为腰,B,C 为直角顶点向外作等腰直 角ΔABM,等腰直角ΔACN.求证:MN 的中点为定点. [证明] 设|BC|=2a,以 BC 中点 O 为原点,BC 为 x 轴,建立直角坐标系,确定复平面,则 B, C 对应的复数为-a,a,点 A,M,N 对应的复数为 z1,z2,z3, CA = z1 a, BA = z1 + a ,由复数乘法 的几何意义得: CN = z 3 a = i ( z1 a ) ,① BM = z 2 + a = i( z1 a) ,②由①+②得 z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.设 MN 的中点为 P,对应的复数 z= z 2 + z3 = ai ,为定值,所以 MN 2

的中点 P 为定点. 例 7 设 A,B,C,D 为平面上任意四点,求证:ABAD+BCAD≥ACBD. [证明] 用 A,B,C,D 表示它们对应的复数,则(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D),因为 |A-B||C-D|+|B-C||A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D). 所以|A-B||C-D|+|B-C||A-D|≥|A-C||B-D|, "="成立当且仅当 B A BC D A B C Arg ( ) = Arg ( ) ,即 Arg ( ) + Arg ( ) =π,即 A,B,C,D 共圆时成立.不 DA CD BA DC 等式得证. 6.复数与轨迹. 例 8 ΔABC 的顶点 A 表示的复数为 3i,底边 BC 在实轴上滑动,且|BC|=2,求ΔABC 的外心 轨迹. [解]设外心 M 对应的复数为 z=x+yi(x,y∈R),B,C 点对应的复数分别是 b,b+2.因为外心 M 是三边垂直平分线的交点,而 AB 的垂直平分线方程为|z-b|=|z-3i|,BC 的垂直平分线的方 程为|z-b|=|z-b-2|,所以点 M 对应的复数 z 满足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|,消去 b 解得 4 x 2 = 6( y ). 3 所以ΔABC 的外心轨迹是轨物线. 7.复数与三角. 例 9 已知 cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0,求证:cos2α+cos2β+cos2γ=0. [证明] 令 z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosγ+isinγ,则 z1+z2+z3=0.所以 z1 + z 2 + z 3 = z1 + z 2 + z 3 = 0. 又因为|zi|=1,i=1,2,3. 所以 zi z i =1,即 z i =
1 . zi

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2 2 由 z1+z2+z3=0 得 x12 + x 2 + x3 + 2 z1 z 2 + 2 z 2 z 3 + 2 z 3 z1 = 0.

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1 1 1 + = z1 z 2 z 3 ( z1 + z 2 + z 3 ) = 0. 又 z1 z 2 + z 3 z 2 + z 3 z1 = z1 z 2 z 3 + z 1 z 2 z3
2 2 所以 z12 + z 2 + z 3 = 0.

所以 cos2α+cos2β+cos2γ+i(sin2α+sin2β+sin2γ)=0. 所以 cos2α+cos2β+cos2γ=0. 例 10 求和:S=cos200+2cos400+…+18cos18×200. [解] 令 w=cos200+isin200,则 w18=1, P=sin200+2sin400+…+18sin18×200,则 S+iP=w+2w2+… 令 18 2 3 18 19 2 +18w . ①由①×w 得 w(S+iP)=w +2w +…+17w +18w ,②由①-②得(1-w)(S+iP)=w+w +… +w18-18w19=
1 w(1 w18 ) 9 18w 3 18w19 ,所以 S+iP= = 9 i ,所以 S = . 2 2 1 w 2 1 w

8.复数与多项式. 例 11 已知 f(z)=c0zn+c1zn-1+…+cn-1z+cn 是 n 次复系数多项式(c0≠0). 求证:一定存在一个复数 z0,|z0|≤1,并且|f(z0)|≥|c0|+|cn|. n n-1 iθ [证明] 记 c0z +c1z +…+cn-1z=g(z),令 θ =Arg(cn)-Arg(z0), 则方程 g(Z)-c0e =0 为 n 次方程, 其必有 n 个根,设为 z1,z2,…,zn,从而 g(z)-c0eiθ=(z-z1)(z-z2)…(z-zn)c0,令 z=0 得-c0ei θ =(-1)nz1z2…znc0,取模得|z1z2…zn|=1.所以 z1,z2,…,zn 中必有一个 zi 使得|zi|≤1,从而 iθ iθ f(zi)=g(zi)+cn=c0e =cn,所以|f(zi)|=|c0e +cn|=|c0|+|cn|. 9.单位根的应用. 例 12 证明:自⊙O 上任意一点 p 到正多边形 A1A2…An 各个顶点的距离的平方和为定值. [证明] 取此圆为单位圆,O 为原点,射线 OAn 为实轴正半轴,建立复平面,顶点 A1 对应复数 设为 ε = e
n

2π i n

,则顶点 A2A3…An 对应复数分别为ε2,ε3,…,εn.设点 p 对应复数 z,则|z|=1,
n n n

且=2n- ∑ | pAk | 2 = ∑ | z ε k | 2 = ∑ ( z ε k )( z ε k ) = ∑ (2 ε k z ε k z )
k =1 k =1 k =1 k =1

=2n- z ∑ ε k z ∑ ε = 2n z ∑ ε k z ∑ ε k = 2n. 命题得证.
k k =1 k =1 k =1 k =1

n

n

n

n

10.复数与几何. 例 13 如图 15-2 所示,在四边形 ABCD 内存在一点 P,使得ΔPAB,ΔPCD 都是以 P 为直角顶 点的等腰直角三角形.求证:必存在另一点 Q,使得ΔQBC,ΔQDA 也都是以 Q 为直角顶点的 等腰直角三角形. [证明] 以 P 为原点建立复平面,并用 A,B,C,D,P,Q 表示它们对应的复数,由题设及复 C iB 数乘法的几何意义知 D=iC,B=iA; Q = 取 , C-Q=i(B-Q), 则 则ΔBCQ 为等腰直角三角形; 1 i D A 又由 C-Q=i(B-Q)得 = Q = i ( Q ) ,即 A-Q=i(D-Q),所以ΔADQ 也为等腰直角三角形且以 Q i i 为直角顶点.综上命题得证.

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例 14 平面上给定ΔA1A2A3 及点 p0,定义 As=As-3,s≥4,构造点列 p0,p1,p2,…,使得 pk+1 为绕中 0 心 Ak+1 顺时针旋转 120 时 pk 所到达的位置,k=0,1,2,…,若 p1986=p0.证明:ΔA1A2A3 为等边三角 形. [证明] 令 u= e 3 ,由题设,约定用点同时表示它们对应的复数,取给定平面为复平面,则
i

π

p1=(1+u)A1-up0, p2=(1+u)A2-up1, p3=(1+u)A3-up2, ①×u2+②×(-u)得 p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w 为与 p0 无关的常数.同理得 2 2 p6=w+p3=2w+p0,…,p1986=662w+p0=p0,所以 w=0,从而 A3-uA2+u A1=0.由 u =u-1 得 A3-A1=(A2-A1) u,这说明ΔA1A2A3 为正三角形. 三,基础训练题 1.满足(2x2+5x+2)+(y2-y-2)i=0 的有序实数对(x,y)有__________组. 100 2.若 z∈C 且 z2=8+6i,且 z3-16z=__________. z 3.复数 z 满足|z|=5,且(3+4i)z 是纯虚数,则 z = __________. 4.已知 z = 2 1 + 3i ,则 1+z+z2+…+z1992=__________.

5.设复数 z 使得

z +1 π 的一个辐角的绝对值为 ,则 z 辐角主值的取值范围是__________. z+2 6

6.设 z,w,λ∈C,|λ|≠1,则关于 z 的方程 z -∧z=w 的解为 z=__________. 7.设 0<x<1,则 2arctan 1+ x 1 x2 + arcsin = __________. 1 x 1+ x2

8.若α,β是方程 ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)的两个虚根且
2 2 2 2 2 2

α2 α ∈ R ,则 = __________. β β

9.若 a,b,c∈C,则 a +b >c 是 a +b -c >0 成立的__________条件. 10.已知关于 x 的实系数方程 x2-2x+2=0 和 x2+2mx+1=0 的四个不同的根在复平面上对应的点 共圆,则 m 取值的集合是__________. 11.二次方程 ax2+x+1=0 的两根的模都小于 2,求实数 a 的取值范围. 12.复平面上定点 Z0,动点 Z1 对应的复数分别为 z0,z1,其中 z0≠0,且满足方程|z1-z0|=|z1|, ①另一个动点 Z 对应的复数 z 满足 z1z=-1,②求点 Z 的轨迹,并指出它在复平面上的形状和 位置. 13. 个复数 z1,z2,…,zn 成等比数列, N 其中|z1|≠1, 公比为 q,|q|=1 且 q≠±1,复数 w1,w2,…,wn 满足条件:wk=zk+
1 +h,其中 k=1,2,…,n,h 为已知实数,求证:复平面内表示 w1,w2,…,wn zk

的点 p1,p2,…,pn 都在一个焦距为 4 的椭圆上. 四,高考水平训练题 1.复数 z 和 cosθ+isinθ对应的点关于直线|iz+1|=|z+i|对称,则 z=__________.

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2.设复数 z 满足 z+|z|=2+i,那么 z=__________. 3.有一个人在草原上漫步,开始时从 O 出发,向东行走,每走 1 千米后,便向左转 他走过 n 千米后,首次回到原出发点,则 n=__________. 4.若 z =

π
6

角度,

(4 3i ) 2 (1 + 3i )10 ,则|z|=__________. (1 i )12
n n

5.若 ak≥0,k=1,2,…,n,并规定 an+1=a1,使不等式 ∑ a k2 a k a k +1 + a k2+1 ≥ λ ∑ a k 恒成立的实
k =1 k =1

数λ的最大值为__________. 6.已知点 P 为椭圆 x2 y2 + = 1 上任意一点,以 OP 为边逆时针作正方形 OPQR,则动点 R 的轨 9 5

迹方程为__________. 7.已知 P 为直线 x-y+1=0 上的动点,以 OP 为边作正ΔOPQ(O,P,Q 按顺时针方向排列).则 点 Q 的轨迹方程为__________. 8.已知 z∈C,则命题"z 是纯虚数"是命题" z2 ∈ R "的__________条件. 1 z2

9.若 n∈N,且 n≥3,则方程 zn+1+zn-1=0 的模为 1 的虚根的个数为__________. 10.设(x2006+x2008+3)2007=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则 a 0 a 3k +1 a 3k + 2 + + a n = __________. 2 2 a1 a 2 a a + + a3 4 5 +… 2 2 2 2

+a3k-

11.设复数 z1,z2 满足 z1 z 2 + Az1 + Az 2 = 0 ,其中 A≠0,A∈C.证明: (1)|z1+A||z2+A|=|A|2; (2)

z1 + A z1 + A = . z2 + A z2 + A

12.若 z∈C,且|z|=1,u=z4-z3-3z2i-z+1.求|u|的最大值和最小值,并求取得最大值,最小值 时的复数 z.
| z1 |=| z 2 |=| z 3 |= 1, z z z 13.给定实数 a,b,c,已知复数 z1,z2,z3 满足 1 + 2 + 3 = 1, 求 z 2 z 3 z1

|az1+bz2+cz3|的值. 三,联赛一试水平训练题 1.已知复数 z 满足 | 2 z +
1 |= 1. 则 z 的辐角主值的取值范围是__________. z

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2.设复数 z=cosθ+isinθ(0≤θ≤π),复数 z,(1+i)z,2 z 在复平面上对应的三个点分别 是 P,Q,R,当 P,Q,R 不共线时,以 PQ,PR 为两边的平行四边形第四个顶点为 S,则 S 到 原点距离的最大值为__________. 3.设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为 z1,z2,…,z20,则复数
1995 z1 , z 1995 , , z 1995 所对应的不同点的个数是__________. 2 20

4.已知复数 z 满足|z|=1,则|z+iz+1|的最小值为__________.
1 3 0 5.设 w = + i ,z1=w-z,z2=w+z,z1,z2 对应复平面上的点 A,B,点 O 为原点,∠AOB=90 , 2 2

|AO|=|BO|,则ΔOAB 面积是__________. π π 6.设 w = cos + i sin ,则(x-w)(x-w3)(x-w7)(x-w9)的展开式为__________. 5 5 7.已知( 3 + i )m=(1+i)n(m,n∈N+),则 mn 的最小值是__________. 8.复平面上,非零复数 z1,z2 在以 i 为圆心,1 为半径的圆上, z1 z2 的实部为零,z1 的辐 角主值为

π
6

,则 z2=__________.
3+i 7 ) + 1] n 的值中有实数__________个. 2

9.当 n∈N,且 1≤n≤100 时, [(

10.已知复数 z1,z2 满足

z + z2 z 2 z1 π π 7 ,且 Argz1 = , Argz 2 = , Argz 3 = π ,则 Arg 1 的 = 3 6 8 z3 z1 z2

值是__________. 11.集合 A={z|z18=1},B={w|w48=1},C={zw|z∈A,w∈B},问:集合 C 中有多少个不同的元素? 1 + ix n 12.证明:如果复数 A 的模为 1,那么方程 ( ) = A 的所有根都是不相等的实根(n∈N+). 1 ix 13.对于适合|z|≤1 的每一个复数 z,要使 0<|αz+β|<2 总能成立,试问:复数α,β应满 足什么条件? 六,联赛二试水平训练题 1.设非零复数 a1,a2,a3,a4,a5 满足
a 2 a3 a 4 a 5 = = = a1 a 2 a 3 a 4 a + a + a + a + a = 1 ( a + a + a + a + a ) = S , 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 4

其中 S 为实数且|S|≤2,求证:复数 a1,a2,a3,a4,a5 在复平面上所对应的点位于同一圆周上. n π 2π (n 1)π 2.求证: sin sin sin = n 1 (n ≥ 2) . n n n 2 n n-1 n-2 3.已知 p(z)=z +c1z +c2z +…+cn 是复变量 z 的实系数多项式,且|p(i)|<1,求证:存在实 数 a,b,使得 p(a+bi)=0 且(a2+b2+1)2<4b2+1.

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4.运用复数证明:任给 8 个非零实数 a1,a2,…,a8,证明六个数 a1a3+a2a4, a1a5+a2a6, a1a7+a2a8, a3a5+a4a6, a3a7+a4a8,a5a7+a6a8 中至少有一个是非负数. 10 9 5.已知复数 z 满足 11z +10iz +10iz-11=0,求证:|z|=1. 6.设 z1,z2,z3 为复数,求证: |z1|+|z2|+|z3|+|z1+z2+z3|≥|z1+z2|+|z2+z3|+|z3+z1|.

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高中数学竞赛讲义——复数

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数学竞赛教案讲义(15)——复数

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高中数学竞赛讲义_复数

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