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2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示学案


2.3.2 平面向量正交分解及坐标表示 一.教学任务分析: (1)理解平面向量的坐标的概念; (2)掌握平面向量的坐标运算; (3)会根据向量的坐标进行向量的运算. 二.教学情境设计: 1.创设情景,揭示课题. (1)复习引入:平面向量基本定理: (注意 4 点 ) 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做向量的正交分解. (2)思考:在直角坐标系中,每个点都可以用一对有序实数表示,那么对于直角坐标平面内 的每个向量,如何表示呢? 2. 平面向量的坐标表示 如图, 在直角坐标系内, 我们分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底,对于平面内任一个向 量 a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 1 我们把 ( x, y ) 叫做向量 …………○ a ? xi ? yj a 的(直角)坐标, 2 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标, 记作 a ? ( x, y) …………○ 2 式叫做向量的坐标表示.。 ○ 结论 : ..1 . .a 相等的向量的坐标也为 .......... 特别地, i ? (1,0) , j ? (0,1) , 0 ? (0,0) . 如图, 在直角坐标平面内, 以原点 O 为起点作 OA ? 的位置由 a 唯一确定. 设 OA ? xi ? yj , 则向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标; 反过来, 点 A 的坐标 ( x, y ) 也就是向量 OA 的坐标. 结论 2:在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. . a 则点 A 例 1 :已知 A(x1,y1),B(x2,y2),求 AB 的坐标. 8 结论 3:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. 6 例 2.如图,分别用基底 i,j 表示 a,b,c, d,并求出它们的 b 4 坐标. a 2 j -5 i 5 10 15 -2 d 3.平面向量的坐标运算 C -4 -6 ( 1 ) 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) , 则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) 证明略 结论 4.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 特别的: AB = OB ? OA =( x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2? y1) (2)若 a ? ( x, y) 和实数 ? ,则 ?a ? (?x, ?y) .证明略 结论 5.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 例 3: 已知 a =(2,1), b =(-3,4),求 a + b , a - b ,3 a +4 b 的坐标. 例 4 .已知平面上三点的坐标分别为 A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4),求点 D 的坐 标使这四点构成平行四边形四个顶点. 新课标第一网 例 5 已知三个力 F1 (3, 4), F2 (2, ?5), F3 (x, y) 的合力 F1 + F2 + F3 = 0 ,求 F3 的坐标. 课堂练习成才之路 53 页巩固练习

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