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浙江省2010届高三第一次五校联考


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浙江省 2010 届高三第一次五校联考

数学(理科) 数学(理科)试题卷
第Ⅰ卷(共 50 分)
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 选择题: 一项是符合题目要求的. 一项是符合题目要求的. (1)复数

2i

?1 + 3i 1 (A) ? i 2

的虚部是( ▲ )

1 (B) i 2

(C) ?

1 2

(D)

1 2

(2)定义集合 A * B = { x x ∈ A且x ? B} ,若 A = {1,3,5,7} , B = {2,3,5} ,则 A * B 的子集个数 为( ▲ ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

x > 0, ? 2 x, 4 4 (3)已知 f ( x) = ? 则 f ( ) + f (? ) 的值等于 ( ▲ ) 3 3 ? f ( x + 1), x ≤ 0.
(A) ?2 (4)函数 y = tan( (A)6
y

(B)4

(C)2

(D) ?4

π

uuu uuu uuu r r r π x ? ) 的部分图象如图所示,则 (OA + OB ) ? AB =( ▲ ) 4 2
(B)4 (C) ?4 (D) ?6

1

B

O

A

x

第(4)题图 (5)设随机变量 ξ ~ B (2, p ),η ~ B(4, p ) 若 P (ξ ≥ 1) = (A)

32 81

(B)

11 27

5 ,则 P (η ≥ 2) 的值为( ▲ ) 9 65 16 (C) (D) 81 81

(6)设 a, b ∈ R ,则 f ( x ) = x sin x + a + b 是奇函数的充要条件是( ▲ ) (A) a + b = 0
2 2

(B) ab = 0

(C)

b =0 a

(D) a ? b = 0
2 2

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(7)在 ? ABC 中,已知 tan ①

A+ B = sin C ,给出以下四个论断: 2

tan A = 1 ; ② 1 < sin A + sin B ≤ 2 ; sin 2 A + cos 2 B = 1 ; cos 2 A + cos 2 B = sin 2 C . ③ ④ tan B

其中正确的是( ▲ ) (A)①③ (B)②③ (C)①④ (D)②④

(8)已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ≥ 0 时, f ( x) = x 2 + 2 x ,若 f (2 ? a 2 ) > f ( a) , 则实数 a 的取值范围是( ▲ ) (A) (?∞, ?1) U (2, +∞) (B) (?1, 2) (C) (?2,1) (D) (?∞, ?2) U (1, +∞)

(9) {an } 是等差数列, {a1 , a2 ,L, a20 } 中任取 3 个不同的数, 设 从 使这 3 个数仍成等差数列, 则这样不同的等差数列的个数最多有( ▲ ) (A)90 (B)120 (C)180 (D)200

(10)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(5,0) .对于某个正实数 k ,存在函数 f ( x) = ax 2

uuu r uuur uuu r OA OQ r ( a > 0 ) 使 得 OP = λ ? ( uuuu + uuuur ) ( λ 为 常 数 ) 这 里 点 P, Q 的 坐 标 分 别 为 , , OA OQ

P (1, f (1)), Q( k , f (k )) ,则 k 的取值范围为( ▲ )
(A) (2, +∞) (B) (3, +∞) (C) [4, +∞) (D) [8, +∞)

第Ⅱ卷(共 100 分)
小题, 把答案填在答题纸上. 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分,把答案填在答题纸上. 填空题: (11) (a + b) 2 (b + c )3 的展开式中 ab3 c 的系数为



.

开始 i = 1, s = 1

(12)如果执行右面的程序框图,那么输出的 S =



.

i = i +1
s = 2(s +1)

(13)已知 sin(

π
6

+α) =

1 2π ,则 cos( ? 2α ) 的值等于 3 3



.

(14)等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , 2S 2 , 3S3 成等差数列, 则 {an } 的公比为



i > 4?

输出s

▲ .
结束
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第(12)题图

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(15) 已知函数 f ( x) 的导函数 f ′( x) = 2 x ? 9 , f (0) 的值为整数, x ∈ [ n, n + 1]( n ∈ N * ) 时, 且 当

f ( x) 所有可能取的整数值有且只有 1 个,则 n =



.

(16)数列 {an } 中, an = n ? k + n ? 2k ,若对任意的正整数 n , an ≥ a3 = a4 都成立,则

k 的取值范围为



.

(17)给出下列四个结论: ①命题 ?x ∈ R, x 2 ? x > 0” “ 的否定是“ ?x ∈ R, x 2 ? x ≤ 0 ”; ②“若 am 2 < bm 2 , 则 a < b ”的逆命题为真; ③函数 f ( x ) = x ? sin x (x ∈ R )有 3 个零点; ④对于任意实数 x, f ( ? x ) = ? f ( x ), g ( ? x ) = g ( x ), 且 x>0 时, f ′( x ) > 0, g ′( x ) > 0, 则 有 x<0 时 f ′( x ) > g ′( x ). 其中正确结论的序号是



.(填上所有正确结论的序号)

小题, 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 5 小题, 共 72 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 解答题: (18) (本题 14 分)某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会,共邀请 50 名一线教师参 加,使用不同版本教材的教师人数如下表所示: 版本 人数 人教 A 版 20 人教 B 版 15 苏教版 5 北师大版 10

(Ⅰ)从这 50 名教师中随机选出 2 名,求 2 人所使用版本相同的概率; (Ⅱ)若随机选出 2 名使用人教版的教师发言,设使用人教 A 版的教师人数为 ξ ,求 随机变量 ξ 的分布列和数学期望.

uuu r uuu r (19) (本题 14 分)已知 O 为坐标原点, OA = (2sin 2 x,1), OB = (1, ?2 3 sin x cos x + 1) , uuu uuu r r f ( x) = OA ? OB + m .
(Ⅰ)求 y = f ( x ) 的单调递增区间;

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(Ⅱ)若 f (x ) 的定义域为 [ , π ] ,值域为 [2,5] ,求 m 的值. 2 (20) (本题 14 分)已知数列{ an }、{ bn }满足: a1 = (Ⅰ)求 b1 , b2 , b3 , b4 ; (Ⅱ)设 cn =

π

bn 1 , an + bn = 1, bn +1 = . 4 (1 ? an )(1 + an )

1 ,求数列 {cn } 的通项公式; bn ? 1

(Ⅲ)设 S n = a1a2 + a2 a3 + a3 a4 + ... + an an +1 ,不等式 4aS n < bn 恒成立时,求实数 a 的取值范围.

(21) (本题 15 分)设 x, y 为正实数, a =

x 2 + xy + y 2 , b = p xy , c = x + y .

(Ⅰ)如果 p = 1 ,则是否存在以 a, b, c 为三边长的三角形?请说明理由; (Ⅱ)对任意的正实数 x, y ,试探索当存在以 a, b, c 为三边长的三角形时 p 的取值范围.

(22) (本题 15 分)已知函数 f ( x ) = ( x 2 ? 3 x + 3) ? e x ,其定义域为 [ ?2,t ] ( t > ?2 ),设

f ( ?2) = m, f (t ) = n .
(Ⅰ)试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x) 在 [ ?2,t ] 上为单调函数; (Ⅱ)试判断 m, n 的大小并说明理由; (Ⅲ)求证:对于任意的 t > ?2 ,总存在 x0 ∈ (?2, t ) ,满足 样的 x 0 的个数.

f ' ( x0 ) 2 = (t ? 1) 2 ,并确定这 e x0 3

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2009 学年浙江省第一次五校联考 数学(理科)答案
一.选择题:共 10 小题,每小题 5 分,共计 50 分. 题 号 答 案 (1) C (2) D (3) B (4) A (5) B (6) A (7) D (8) C (9) C (10) A

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分, (11)6 (15)4 (12)46 (16) [ 2,3] (13) ?

7 9

(14)

1 3

(17)①④

三.解答题:本大题共 5 小题, 共 72 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. (18) (本题 14 分)
2 解: (Ⅰ)从 50 名教师随机选出 2 名的方法数为 C 50 = 1225.

2 2 2 2 选出 2 人使用版本相同的方法数为 C 20 + C15 + C 5 + C10 = 350.

故 2 人使用版本相同的概率为: P =

350 2 = . ……6 分 1225 7

2 1 1 C15 C2 3 38 C20C50 , P (ξ = 1) = , P (ξ = 2) = 20 = . (Ⅱ)∵ P (ξ = 0) = 2 = 2 2 C35 C 35 17 C 35 119

∴ ξ 的分布列为

ξ
P

0

1

2

3 17

60 119

38 119

……12 分 ∴ Eξ =

3 60 38 136 8 ×0+ ×1 + ×2 = = .……14 分 17 119 119 119 7

(19) (本题 14 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) = 2 sin 2 x ? 2 3 sin x cos x + 1 + m ……2 分 = 1 ? cos 2 x ? 3 sin x + 1 + m = ? 2 sin( 2 x + 由

π
6

) + 2 + m ……4 分

π
2

+ 2kπ ≤ 2 x +

π
6



3π + 2kπ (k ∈ Z ) 2

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得 y = f (x ) 的单调递增区间为 [ kπ + (Ⅱ)当

π
6

, kπ +

2π ] (k ∈ Z ) ……7 分 3
……9 分

7π π 13π ≤ 2x + ≤ 2 6 6 6 π 1 ∴ ? 1 ≤ sin( 2 x + ) ≤ ……11 分 6 2 ≤ x ≤ π 时,

π

∴ 1 + m ≤ f ( x ) ≤ 4 + m ,∴ ? (20) (本题 14 分) 解: (Ⅰ) bn +1 = ∵ a1 =

?1 + m = 2 ? m =1 ?4 + m = 5

……14 分

bn bn 1 = = (1 ? an )(1+an ) bn (2 ? bn ) 2 ? bn
∴ b2 =

1 3 , b1 = 4 4

4 5 6 , b3 = , b4 = ……4 分 5 6 7

(Ⅱ)∵ bn +1 ? 1 =

2 ? bn 1 1 1 ?1 ∴ = = ?1 + ……5 分 2 ? bn bn +1 ? 1 bn ? 1 bn ? 1

∴数列{ cn }是以-4 为首项,-1 为公差的等差数列. ∴ cn = ?4 + ( n ? 1) ? ( ?1) = ? n ? 3 . (Ⅲ)由于 cn = ……7 分

1 n+2 1 = ?n ? 3 ,所以 bn = 从而 an = 1 ? bn = ..……8 分 n+3 , n+3 bn ? 1

1 1 1 n ∴ S n = a1a2 + a2 a3 + ??? + an an +1 = 1 + 1 + ??? = ? = 4× 5 5× 6 (n + 3)(n + 4) 4 n + 4 4(n + 4)
∴ 4aS n ? bn =

an n + 2 (a ? 1)n2 + (3a ? 6)n ? 8 ? = ……10 分 n+4 n+3 (n + 3)(n + 4)

由条件可知 (a ? 1)n 2 + (3a ? 6) n ? 8 < 0 恒成立即可满足条件,设

f (n) = (a ? 1)n 2 + (3a ? 6)n ? 8
当 a = 1 时, f ( n) = ?3n ? 8 < 0 恒成立 当 a > 1 时,由二次函数的性质知不可能成立 当 a < 1 时,对称轴 n = ? 函数.

3 a?2 3 1 = ? (1 ? ? ) < 0 , f (n) 在 (1, +∞) 为单调递减 2 a ?1 2 a ?1

f (1) = (a ? 1)n 2 + (3a ? 6)n ? 8 = (a ? 1) + (3a ? 6) ? 8 = 4a ? 15 < 0 ,
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∴a <

15 4

∴ a < 1 时 4aS n < bn 恒成立

综上知: a ≤ 1 时, 4aS n < bn 恒成立……14 分 (21) (本题 15 分) 解: (Ⅰ)存在.……2 分

Q x + y + x 2 + xy + y 2 > xy 显然成立,
且x+ y?

x 2 + xy + y 2 =

xy x + y + x 2 + xy + y 2

< xy ,

由于 a < c ,所以我们得到 ?

?a + c > b , ?c ? a < b

即 p = 1 时,存在以 a, b, c 为三边长的三角形.……6 分 (Ⅱ)Q a < c ,∴ 若 a 、 b 、 c 构成三角形,只需 ?

?a + c > b , ?c ? a < b

? x + y + x 2 + xy + y 2 > p xy ? 即? ……8 分 2 2 ? x + y ? x + xy + y < p xy ?
两边除以 xy ,令

? f (t ) > p x 1 1 = t ,得 ? ,这里 f (t ) = t + + t + +1 , y t t ? g (t ) < p

g (t ) = t +

1 1 ? t + + 1 ,……12 分 t t 1 1 + t + +1 ≥ 2 + 2 +1 = 2 + 3 , t t

由于 f (t ) = t +

所以 g (t ) ≤ 2 ? 3 ,当且仅当 t = 1 时, f (t ) 取最小值 2 + 3 , g (t ) 取最大值 2 ? 3 ; 因此 p 的取值范围为 2 ? 3 < p < 2 + 3 . 即 p 的取值范围为 2 ? 3 < p < 2 + 3 时,以 a 、 b 、 c 为三边的三角形总存在.……15 分 22. (本题 15 分) 解: (Ⅰ)因为 f ′( x ) = ( x 2 ? 3 x + 3) ? e x + (2 x ? 3) ? e x = x ( x ? 1) ? e x ……1 分 由 f ′( x) > 0 ? x > 1或x < 0 ;由 f ′( x ) < 0 ? 0 < x < 1 ,所以 f ( x ) 在 (?∞, 0), (1, +∞ )
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上递增,在 (0,1) 上递减……3 分 要使 f (x ) 在 [? 2, t ] 上为单调函数,则 ?2 < t ≤ 0 ……4 分 (Ⅱ) n > m . 因为 f ( x ) 在 (?∞, 0), (1, +∞ ) 上递增,在 (0,1) 上递减,所以 f ( x ) 在 x = 1 处取得极小值

e ……6 分
又 f ( ?2) =

13 < e ,所以 f ( x) 在 [ ?2, +∞ ) 上的最小值为 f (?2) ……8 分 e2

从而当 t > ?2 时, f ( ?2) < f (t ) ,即 m < n ……9 分

(Ⅲ)证:因为

f ' ( x0 ) f '(x ) 2 2 = x0 2 ? x0 ,所以 x0 0 = (t ? 1) 2 ,即为 x0 2 ? x0 = (t ? 1) 2 , x0 e e 3 3 2 2 (t ? 1) 2 ,从而问题转化为证明方程 g ( x) = x 2 ? x ? (t ? 1) 2 =0 在 3 3

令 g ( x) = x ? x ?
2

(?2, t ) 上有解,并讨论解的个数……10 分
因为

2 2 2 1 g (?2) = 6 ? (t ? 1) 2 = ? (t + 2)(t ? 4) , g (t ) = t (t ? 1) ? (t ? 1)2 = (t + 2)(t ? 1) ,所 3 3 3 3
以 ①当 t > 4或 ? 2 < t < 1 时, g ( ?2) ? g (t ) < 0 ,所以 g ( x) = 0 在 ( ?2, t ) 上有解,且只有一 解……12 分 ②当 1 < t < 4 时, g ( ?2) > 0且g (t ) > 0 ,但由于 g (0) = ? 所以 g ( x) = 0 在 ( ?2, t ) 上有解,且有两解……13 分 ③当 t = 1 时, g ( x) = x 2 ? x = 0 ? x = 0或x = 1 ,所以 g ( x) = 0 在 ( ?2, t ) 上有且只有一 解; 当 t = 4 时, g ( x) = x 2 ? x ? 6 = 0 ? x = ?2或x = 3 , 所以 g ( x) = 0 在 ( ?2, 4) 上也有且只有一解……14 分

2 (t ? 1) 2 < 0 , 3

综上所述, 对于任意的 t > ?2 ,总存在 x0 ∈ ( ?2, t ) ,满足

f ' ( x0 ) 2 = (t ? 1) 2 , e x0 3

且当 t ≥ 4或 ? 2 < t ≤ 1 时,有唯一的 x0 适合题意;当 1 < t < 4 时,有两个 x0 适合题意.
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……15 分 (说明:第(Ⅱ)题也可以令 ? ( x) = x ? x , x ∈ ( ?2, t ) ,然后分情况证明
2

2 (t ? 1) 2 在其值 3

域内,并讨论直线 y = 数)

2 (t ? 1)2 与函数 ? ( x) 的图象的交点个数即可得到相应的 x0 的个 3

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