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唐山市2015-2016学年高三年级摸底考试数学文科答案


唐山市 2015—2016 学年度高三年级摸底考试

文科数学参考答案
一、选择题: A 卷:BACDC B 卷:DACBC 二、填空题: (13)14 ADCBC BDCAC (14)1 BD BD 3 7 (15) 14 (16) 1 2

三、解答题: (17)解: (Ⅰ)设数列{an}公差为 d(d>0) , 由已知得 a2(2a7-8)=(a4+2)2,即(4+d)[2(4+6d)-8]=(4+3d+2)2, 整理得 d2+4d-12=0, 解得 d=2 或 d=-6(舍去) . 所以 an=4+2(n-1)=2n+2. …5 分 4 1 1 1 (Ⅱ)bn= = = - , anan+1 (n+1)(n+2) n+1 n+2 故 Tn=b1+b2+b3+…+bn 1 1 1 1 1 1 1 1 = - + - + - +…+ - 2 3 3 4 4 5 n+1 n+2 1 1 n = - = . …12 分 2 n+2 2n+4 (18)解: (Ⅰ)日销售量在[20,30)的频率为 1-10×(0.010+0.030+0.025+0.015)=0.2, 0.2 故销售量在[20,30)的小矩形高度为 =0.02,频率分布直方图如下: 10

(

) (

) (

)

(

)

频率 组距 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010

O

10

20 30

40 50 60 日销售量(百升)

日销售量在[10,20)的员工数为:20×10×0.010=2; 日销售量在[20,30)的员工数为:20×10×0.020=4. …6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知日销售量在[10,30)的员工共有 6 人,在[10,20)的员工 2 人, 分别记为 A1,A2,在[20,30)的员工 4 人,分别记为 B1,B2,B3,B4. 从此 6 人中随机抽取 2 人共有 {A1,A2},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A1,B4}, {A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A2,B4},{B1,B2},
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{B1,B3},{B1,B4},{B2,B3},{B2,B4},{B3,B4} 15 个等可能的结果. 这两名员工日销量均在[20,30)有 {B1,B2},{B1,B3},{B1,B4},{B2,B3},{B2,B4},{B3,B4} 6 个等可能的结果. 6 2 故所求概率 P= = …12 分 15 5 (19)解: (Ⅰ)在梯形 ABCD 中,取 AB 中点 E,连结 DE,则 DE∥BC,且 DE=BC. 1 故 DE= AB,即点 D 在以 AB 为直径的圆上,所以 BD⊥AD. 2 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,BD?平面 ABCD, 所以 BD⊥平面 PAD. …6 分
P

D C O A E B

(Ⅱ)取 AD 中点 O,连结 PO,则 PO⊥AD,因为平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 PO⊥平面 ABCD. 由(Ⅰ)可知△ABD 和△PBD 都是直角三角形, 所以 BD= AB2-AD2=2 3,于是 1 1 S△PBD= PD?BD=2 3,S△BCD= BC?CD?sin120° = 3, 2 2 易得 PO= 3, 设 C 到平面 PBD 的距离为 h, 1 1 由 VP-BCD=VC-PBD 得 S△PBD?h= S△BCD?PO, 3 3 3 解得 h= . …12 分 2 (20)解: x2 y2 (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0) , a b 2 2 ? ?a -b =10, ?a2=18, 由题意可得? 9 4 解得? 2 ?b =8. ?a2+b2=1, ? 2 2 x y 故椭圆 C 的方程为 + =1. …5 分 18 8 (Ⅱ) 直线 OP 方程为 2x-3y=0, 设直线 AB 方程为 2x-3y+t=0 (t∈R, 且 t≠0) . 将直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程并整理得 8x2+4tx+t2-72=0. 设 A (x1,y1),B (x2,y2). 当 Δ=16t2-32(t2-72)=16(144-t2)>0,即 0<|t|<12 时, t2-72 t 得 x1+x2=- ,x1x2= . 2 8
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144-t2 |t| 13 所以|AB|= · ,点 O 到直线 AB 的距离为 d= , 3 2 13 (144-t )t 1 72 △PAB 的面积 S= |AB|d= ≤ =6. 2 12 12 等号当且仅当 t2=72 时成立. 故△PAB 面积的最大值为 6. (21)解: a x-a (Ⅰ)f ?(x)=1- = . x x 若 a<0,则 f ?(x)>0,f (x)在(0,+∞)单调递增. 若 a>0,当 x∈(0,a)时,f ?(x)<0;当 x∈(a,+∞)时,f ?(x)>0. f (x)在(0,a)单调递减;在(a,+∞)单调递增. (Ⅱ) (ⅰ)若 a>0,则由(Ⅰ)知,f (x)有最小值 f (a)=a-aln a. 于是 f (x)≥a2 当且仅当 f (a)≥a2,即 1-ln a≥a. 设 g (a)=1-ln a-a,则 g (a)在(0,+∞)单调递减, 又 g (1)=0,所以当且仅当 0<a≤1 时 g (a)≥0,即 f (x)≥a2. 当且仅当 a=1 时等号成立. (ⅱ)若 a<0,则由(Ⅰ)知,f (x)在(0,+∞)单调递增. 当 x∈ 0,e a 时,f (x)<f 0,e a =e a -1<0,f (x)≥a2 不成立. 综上,a 的取值范围是(0,1]. (22)解: (Ⅰ)连结 BD,与 OC 交于点 F, 因为 AB 为圆 O 的直径,所以 AD⊥BD, 又 AD∥OC,故 OC⊥BD,且 BF=DF, 所以 CD=CB,连 OD,则△OCD≌△OCB, 由 CB⊥OB 得 CD⊥OD,故 CD 是圆 O 的切线.
E
2 2

…12 分

…5 分

(

1

)

(

1

)

1

…12 分

…5 分

C D F A O B

(Ⅱ)设 OA=1,AD=x,则 AB=2,AE=x+3. 由 AB2=AD?AE,即 x(x+3)=4 得 x=1. 则∠OAD=60° ,∠AEB=30° .

…10 分

(23)解: (Ⅰ)曲线 C1 的普通方程为(x-2)2+y2=4,
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将其化为极坐标方程为 ρ=4cos θ. 在曲线 C2 的极坐标方程中,令 θ=0,得其极坐标为 D (2,0). (Ⅱ)不妨设 A (ρA,β),B (ρB,β),则|AB|=|ρA-ρB|=ρB=2cos β, 1 3 由△ABD 的面积 S= |AB|?|OD|sin β=sin 2β= , 2 2 π π 解得 β= 或 . 6 3 (24)解: (Ⅰ)因为|x-3|+|x-5|≥|(x-3)-(x-5)|=2, 当且仅当 3≤x≤5 时取等号, 故 m≥2,即 t=2. 2 2 1 a +b (Ⅱ)由(Ⅰ)知 c=max , . a 2b 2 2 2 2 1 a +b a +b 则 c2≥ ? = ≥1, a 2b 2ab 2 2 1 a +b 等号当且仅当 = =1,即 a=b=1 时成立. a 2b 因为 c>0,所以 c≥1.

…4 分

…10 分

…4 分

{

}

…10 分

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