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北京市丰台区20112012学年度高三第一学期期


北京市丰台区 2011—2012 学年度高三第一学期期末练习(数学文) 2012.01 高三数学(文科) 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.设集合 A={x∣x<4},B={x∣x2<4},则 (A) A ? B (B) B ? A (C) A ?


?RB

(D) B ?

?RA

?1+i 2.在复平面内,复数 i 对应的点位于
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限

1 ?x 2 3.已知命题 p: ?x ? R , x ,命题 q : ?x ? R , x ? 0 ,则
(A) 命题 p ? q 是假命题 (C) 命题 p ? (?q) 是假命题 (B) 命题 p ? q 是真命题 (D) 命题 p ? (?q) 是真命题
n P n ?P 0 (1 ? k ) (k ? ?1) ,其中 Pn 为预测人口数,P0 为

4.预测人口的变化趋势有多种方法, “直接推算法”使用的公式是

初期人口数,k 为预测年内增长率,n 为预测期间隔年数.如果在某一时期有-1<k<0,那么这期间人口数 (A) 呈上升趋势 (B) 呈下降趋势 (C) 摆动变化 (D) 不变 开始 5.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是

1 (A) 3
1 正视图

2 (B) 3

k=1,S=0 (C) 1 (D) 2 S=S+2k

侧视图

k=k+2 否

2

k≥50
2 俯视图

是 输出 S 结束

6.执行如右图所示的程序框图,输出的 S 值为 (A) 650 (B) 1250 (C) 1352 (D) 5000

1 f ( x) ? log 2 ( x ? ) ? a x 7.若函数 在区间 (1, 2) 内有零点,则实数 a 的取值范围是

5 (? log 2 , ?1) 2 (A)

(B) (1, ??)

5 (0, log 2 ) 2 (C)

5 (1, log 2 ) 2 (D)

8.如图,P 是正方体 ABCD—A1B1C1D1 对角线 AC1 上一动点,设 AP 的长度为 x,若△PBD 的面积为 f(x),则 f(x)的图 象大致是
D1 C1 A1 P B1

A

D B

C

y

y

O

x

O

x

(A)
y

(B)
y

O

x

O

x

(C)

(D)

第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.过点(-1,3)且与直线 x-2y+3=0 平行的直线方程为 .

?log 2 x, ( x ? 0), f ( x) ? ? x ?2 , ( x ? 0). 10.已知函数

f (a) ?


1 2 ,则 a= .

11.某个容量为 100 的样本的频率分布直方图如图所示,则数据在区间 [8,10) 上的频数是 .

? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? 2 b ? 2 (a ? b) ? a a b a 12.若向量 , 满足 , , ,则向量 与 b 的夹角
等于___. 13.设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,若 S1,2S2,3S3 成等差数列,则公比 q 等于 .

f ( x1 ) ? f ( x x ?x 2 ) ? f '(1 2 ) x x ( x ? x2 ) , x1 ? x2 2 14. 函数 f ( x ) 的导函数为 f '( x) , 若对于定义域内任意 1 , 2 1 有 恒成立, 则称 f ( x )
为恒均变函数.给出下列函数:① f ( x)=2 x ? 3 ;② f (x) ? x ? 2x ? 3 ;③
2

f ( x)=

1 x x ;④ f (x)=e ;⑤ f (x)=ln x .其中

为恒均变函数的序号是 . (写出所有满足条件的函数序号)

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分)

f ( x) ? 2 cos 2
已知函数

x ? 3 sin x 2 .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域;

? 1 cos 2? f (? ? ) ? 3 3 ,求 1 ? tan ? 的值. (Ⅱ)若 ? 为第二象限角,且

16.(本小题共 14 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥底面 ABC,AC=BC,M,N 分别是 CC1,AB 的中点. (Ⅰ)求证:CN⊥AB1; C1 (Ⅱ)求证:CN //平面 AB1M.
A1 M

B1

C N A

B

17.(本小题共 13 分) 为了解某地区中学生的身体发育状况,拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取 6 个教学班进行调查.已知甲、乙、 丙三所中学分别有 12,6,18 个教学班. (Ⅰ)求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数; (Ⅱ)若从抽取的 6 个教学班中随机抽取 2 个进行调查结果的对比,求这 2 个教学班中至少有 1 个来自甲学校的概率.

18.(本小题共 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, O 为坐标原点,以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 相切. (Ⅰ)求圆 O 的方程; (Ⅱ)直线 l : y ? kx ? 3 与圆 O 交于 A , B 两点,在圆 O 上是否存在一点 M ,使得四边形 OAMB 为菱形,若存在,求 出此时直线 l 的斜率;若不存在,说明理由.

19.(本小题共 14 分)

f ( x) ? 2ax ?
已知函数

b ? ln x x . x? 1 2 处取得极值,求 a , b 的值;

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在 x ? 1 ,

? (Ⅱ)若 f (1) ? 2 ,函数 f ( x) 在 (0,??) 上是单调函数,求 a 的取值范围.

20.(本小题共 13 分)

a =f (an?1 ) ( n ? N * 且 n ? 2 ) {a } 函数 f ( x ) 的定义域为 R,数列 n 满足 n .
(Ⅰ)若数列

{an } 是等差数列, a1 ? a2 ,且 f (an ) ? f (an?1 ) ? k (an ? an?1 ) (k 为非零常数, n ? N * 且 n ? 2 ),求 k 的值;
S( m ?1) n
*

a ? 2 , bn ? ln an (n ? N ) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,对于给定的正整数 m ,如果 Smn (Ⅱ)若 f ( x) ? kx(k ? 1) , 1
的值与 n 无关,求 k 的值. (考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

丰台区 2011—2012 学年度第一学期期末练习 2012.01 高三数学(文科)答案及评分参考 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 B 5 C 6 B 7 D 8 A

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. x ? 2 y ? 7 ? 0 10. ?1 或 2 11.30

? 12. 4

1 13. 3

14. ①②

注:第 10,14 题只写出一个答案给 2 分。 三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15.(本小题共 13 分)

f ( x) ? 2 cos 2
已知函数

x ? 3 sin x 2 .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域;

? 1 cos 2? f (? ? ) ? 3 3 ,求 1 ? tan ? 的值. (Ⅱ)若 ? 为第二象限角,且
解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 1 ? cos x ? 3sin x ????????1 分

? 1 ? 2 cos( x ? ) 3 ,
所以函数 f ( x ) 的周期为 2? ,值域为 [?1,3] .

?

????????3 分 ????????5 分

? 1 f (? ? ) ? 3 3, (Ⅱ)因为
1 ? 2 cos ? =
所以

1 1 cos ? ? ? 3 ,即 3.

????????6 分

cos 2? cos 2 ? ? sin 2 ? ? cos ? ? sin ? 1 ? tan ? cos ? 因为

????????8 分

? cos ? (cos ? ? sin ? )
? cos2 ? ? cos ? sin ? ,
????????10 分

因为 ? 为第二象限角, 所以

sin ? ?

2 2 3 .

????????11 分

cos 2? 1 2 2 1? 2 2 ? ? ? 9 9 . 所以 1 ? tan ? 9

????????13 分

16.(本小题共 14 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥底面 ABC,AC=BC,M,N 分别是 CC1,AB 的中点.

(Ⅰ)求证:CN⊥AB1; (Ⅱ)求证:CN //平面 AB1M. 证明: (Ⅰ)因为三棱柱 ABC-A1B1C1 中 CC1⊥底面 ABC, 所以 BB1⊥平面 ABC, 所以 BB1⊥CN.???????1 分 因为 AC=BC,N 是 AB 的中点, 所以 CN⊥AB. ????????3 分 因为 AB∩BB1=B, ????????4 分 所以 CN⊥平面 AB B1A1. ????????5 分 所以 CN⊥AB1. ????????6 分 (Ⅱ) (方法一)连结 A1B 交 AB1 于 P. ????????7 分 因为三棱柱 ABC-A1B1C1, 所以 P 是 A1B 的中点. 因为 M,N 分别是 CC1,AB 的中点, 所以 NP // CM,且 NP = CM, ????????9 分 所以四边形 MCNP 是平行四边形, ????????10 分 所以 CN//MP. ????????11 分 因为 CN ? 平面 AB1M,MP ? 平面 AB1M, ??????12 分 所以 CN //平面 AB1M. ????????14 分 (方法二)取 BB1 中点 P,连结 NP,CP. ????????7 分 因为 N,P 分别是 AB,BB1 的中点, 所以 NP //AB1.

C1 A1 M

B1

C N A C1 A1 M P

B

B1

C N A

B

C1

B1

A1 因为 NP ? 平面 AB1M,AB1 ? 平面 AB1M, P M 所以 NP //平面 AB1M. ????????10 分 同理 CP //平面 AB1M. ????????11 分 因为 CP∩NP =P, B C 所以平面 CNP //平面 AB1M. ????????13 分 N 因为 CN ? 平面 CNP, A 所以 CN //平面 AB1M. ????????14 分 17.(本小题共 13 分) 为了解某地区中学生的身体发育状况,拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取 6 个教学班进行调查.已知甲、 乙、丙三所中学分别有 12,6,18 个教学班. (Ⅰ)求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数; (Ⅱ)若从抽取的 6 个教学班中随机抽取 2 个进行调查结果的对比,求这 2 个教学班中至少有 1 个来自甲学校的概率. 解: (Ⅰ)由已知可知在甲、乙、丙三所中学共有教学班的比是 12:6:18=2:1:3, ????????1 分

2 1 6 ? =2 6 ? =1 6 6 个,丙学校抽取教学班数 所以甲学校抽取教学班数为 个,乙学校抽取教学班数为 3 6 ? =3 6 个, 为
所以分别抽取的教学班个数为 2,1,3.

????????4 分 ????????5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,从甲、乙、丙三所中学分别抽取 2,1,3 个教学班,不妨分别记为 从 6 个教学班中随机抽取 2 个教学班的基本事件为:

A1 , A2 , B1 , C1 , C2 , C3 ,则

( A1, A2 ) ,( A1, B1 ) ,( A1, C1 ) ,( A1 , C2 ) ,( A1, C3 ) ,( A2 , B1 ) ,( A2 , C1 ) ,
15

( A2 , C2 ) , ( A2 , C3 ) , (B1, C1 ) , ( B1 , C2 ) , ( B1, C3 ) , (C1 , C2 ) , (C1 , C3 ) , (C2 , C3 ) 共
个. ????????7 分

设“从 6 个教学班中随机抽取 2 个教学班,至少有 1 个来自甲学校”为事件 D , ????8 分 则事件 D 包含的基本事件为:

( A1, A2 ) ,( A1, B1 ) ,( A1, C1 ) ,( A1 , C2 ) ,( A1, C3 ) ,( A2 , B1 ) ,( A2 , C1 ) ,( A2 , C2 ) ,( A2 , C3 )

共 9 个.

????????10 分

P( D) ?
所以

9 3 ? 15 5 .

????????12 分

3 所以从抽取的 6 个教学班中随机抽取 2 个,且这 2 个教学班中至少有 1 个来自甲学校的概率为 5 .
????????13 分 18.(本小题共 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, O 为坐标原点,以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 相切. (Ⅰ)求圆 O 的方程; (Ⅱ)直线 l : y ? kx ? 3 与圆 O 交于 A , B 两点,在圆 O 上是否存在一点 M ,使得四边形 OAMB 为菱形,若存在,求 出此时直线 l 的斜率;若不存在,说明理由. 解: (Ⅰ)设圆 O 的半径为 r ,因为直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 与圆 O 相切,

r?
所以

| 0 ? 3?0 ? 4 | ?2 1? 3 .
2 2

????????3 分 ????????5 分

所以圆 O 的方程为 x ? y ? 4 . (Ⅱ) (方法一)因为直线 l : y ? kx ? 3 与圆 O 相交于 A , B 两点,

d O ?l ?
所以

| 3| 1? k
2

?2
,解得

k?

5 5 k?? 2 . 2 或

????????7 分 ????????8 分 ????????9 分

假设存在点 M ,使得四边形 OAMB 为菱形, 则 OM 与 AB 互相垂直且平分,

所以原点 O 到直线 l : y ? kx ? 3 的距离为

d?

1 | OM |? 1 2 .

????????10 分

d O ?l ?
所以

| 3| 1? k 2

?1

,解得 k ? 8 ,
2

????????11 分 ????????12 分 ????????13 分

即 k ? ?2 2 ,经验证满足条件. 所以存在点 M ,使得四边形 OAMB 为菱形. (方法二)记 OM 与 AB 交于点

C( x0 , y0 ) .

1 y?? x k . 因为直线 l 斜率为 k ,显然 k ? 0 ,所以 OM 直线方程为

????????7 分

?3k ? x0 ? 2 ? ? y ? kx ? 3 ? k ?1 ? ? 1 ? ?6 k 6 ?y ? 3 y?? x M( 2 , 2 ) 0 2 ? ? k ? 1 , 所以点 M 坐标为 k , 解得 ? ? k ? 1 k ? 1 , ??????9 分
?6 k 2 6 ) ? ( 2 )2 ? 4 2 2 k ?1 因为点 M 在圆上,所以 k ? 1 ,解得 k ? 8 , (
即 k ? ?2 2 ,经验证满足条件. 所以存在点 M ,使得四边形 OAMB 为菱形. 19.(本小题共 14 分)

????????11 分 ????????12 分 ????????13 分

f ( x) ? 2ax ?
已知函数

b ? ln x x . x? 1 2 处取得极值,求 a , b 的值;

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在 x ? 1 ,

? (Ⅱ)若 f (1) ? 2 ,函数 f ( x) 在 (0,??) 上是单调函数,求 a 的取值范围.
f ?( x) ? 2a ?
解: (Ⅰ)

b 1 ? x2 x ,

????????2 分

? f ?(1) ? 0 ? ? 1 ? f ?( 2 ) ? 0 由? ,
1 ? a?? ? ? 3 ? 1 ?b ? ? 3 . ?

????????4 分

可得

????????6 分 ????????7 分 ????????8 分

(Ⅱ)函数 f ( x) 的定义域是 (0,??) ,

? 因为 f (1) ? 2 ,所以 b ? 2a ? 1 .

f ?( x) ?
所以

2ax 2 ? x ? (2a ? 1) ( x ? 1)[2ax ? (2a ? 1)] ? x2 x2 ,

????????9 分

? ? 要使 f ( x) 在 (0,??) 上是单调函数,只要 f ( x) ≥ 0 或 f ( x) ≤ 0 在 (0,??) 上恒成立.
????????10 分 当 a ? 0 时,

f ?( x) ?

x ?1 ?0 x2 恒成立,所以 f ( x) 在 (0,??) 上是单调函数; ??????11 分 x2 ? 2a ? 1 1 ? 1? ?1 2a 2a ,
????????12 分

? 当 a ? 0 时,令 f ( x) ? 0 ,得 x1 ? ?1 ,
此时 f ( x) 在 (0,??) 上不是单调函数;

当 a ? 0 时,要使 f ( x) 在 (0,??) 上是单调函数,只要 1 ? 2a ≥ 0 ,即

0? a≤

1 2 .????13 分

1 a ? [0, ] 2 . 综上所述, a 的取值范围是
20.(本小题共 13 分)

????????14 分

a =f (an?1 ) ( n ? N * 且 n ? 2 ) {a } 函数 f ( x ) 的定义域为 R,数列 n 满足 n .
(Ⅰ)若数列

{an } 成等差, a1 ? a2 ,且 f (an ) ? f (an?1 ) ? k (an ? an?1 ) (k 为非零常数, n ? N * 且 n ? 2 ),求 k 的值;
S( m ?1) n
*

a ? 2 , bn ? ln an (n ? N ) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,对于给定的正整数 m ,如果 Smn (Ⅱ)若 f ( x) ? kx(k ? 1) , 1
的值与 n 无关,求 k 的值. 解: (Ⅰ)当 n ? 2 时, 因为 所以

an ? f (an?1 ) , f (an ) ? f (an?1 ) ? k (an ? an?1 ) ,
an?1 ? an ? f (a n ) ? f (an?1 ) ? k (an ? an?1 ) .

因为数列 因为

{an } 是等差数列,所以 an?1 ? an ? an ? an?1 .
????????6 分

an?1 ? an ? k (an ? an?1 ) , 所以 k ? 1 .

a ? 2 ,且 an?1 ? f (an ) , (Ⅱ)因为 f ( x) ? kx(k ? 1) , 1
所以

an?1 ? kan .

所以数列 所以 所以 因为 所以

{an } 是首项为 2,公比为 k 的等比数列,

an ? 2k n?1 .
bn ? ln an ? ln 2 ? (n ?1)ln k . bn ? bn?1 ? ln k , {bn } 是首项为 ln 2 ,公差为 ln k 的等差数列.

所以

Sn

?

(b1 ? bn )n (n ? 1) ? n[ln 2 ? ln k ] 2 2 .

S( m?1) n Smn
因为

?

(m ? 1)n{ln 2 ?

[(m ? 1)n ? 1] ln k} (m ? 1)[(m ? 1)n ln k ? 2ln 2 ? ln k ] 2 ? (mn ? 1) m[mn ln k ? 2ln 2 ? ln k ] mn[ln 2 ? ln k ] 2 ,

S( m ?1) n
又因为

Smn 的值是一个与 n 无关的量,

2 ln 2 ? ln k 2 ln 2 ? ln k ? mn ln k (m ? 1)n ln k , 所以
解得 k ? 4 . ????????13 分

(若用其他方法解题,请酌情给分)


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