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2.2.3独立重复试验与二项分布


2.2.3独立重复试验与 2.2.3独立重复试验与 二项分布

复习
前面我们学习了互斥事件、 条件概率、 前面我们学习了 互斥事件、条件概率 、 相互独 互斥事件 立事件的意义 的意义, 立事件 的意义 , 这些都是我们在具体求概率时需要 考虑的一些模型,吻合模型用公式去求概率简便. 用公式去求概率简便 考虑的一些模型 ,吻合模型 用公式去求概率简便. 互斥时) ⑴ P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )( 当 A与B 互斥时) ; P ( AB ) , P ( A) > 0 ⑵ P ( B | A) = P ( A) 相互独立时) ⑶ P ( AB ) = P ( A) P ( B ) ( 当 A与B 相互独立时) 那么求概率还有什么模型呢 求概率还有什么模型呢? 那么求概率还有什么模型呢 ?

分析下面的试验,它们有什么共同特点 有什么共同特点? 分析下面的试验, 它们有什么共同特点? ⑴ 投掷一个骰子投掷 5 次; 某人射击 0.8, ⑵ 某人 射击 1 次, 击中目标的概率是 0.8, 他射击 10 次; 实力相等的甲、 ⑶ 实力相等的甲 、乙两队参加乒乓球团体比 胜制( 赛 ,规定 5 局 3 胜制 (即 5 局内谁先赢 3 局 就算胜出并停止比赛) 就算胜出并停止比赛) ; 一个盒子中装有 个球( ⑷ 一个 盒子中装有 5 个球( 3 个红球和 2 个 黑球) ,有放回地依次从中抽取 个球; 黑球 ) 有放回地依次从中抽取 5 个球; , 生产一种零件, ⑸ 生产一种零件 ,出现次品的概率是 0.04, 生产这种零件 4 件.

共同特点是: 多次重复地做同一个试验. 一个试验 共同特点是: 多次重复地做同一个试验.

基本概念
1、 n 次独立重复试验 、 次独立重复试验: 一般地, 在相同条件下, 次试验称 一般地, 在相同条件下,重复做的 n 次试验称 次独立重复试验. 为 n 次独立重复试验.

次独立重复试验中 在 n 次独立重复试验中, 次试验的结果” 记 Ai 是“第 i 次试验的结果” 显然, 显然, P ( A1 A2 L An ) = P ( A1 ) P ( A2 )L P ( An )
独立重复试验的特点: 独立重复试验的特点: 每次试验只有两种结果,要么发生,要么不发生; 1)每次试验只有两种结果,要么发生,要么不发生; ∵“ 相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其 相同条件下 ”等价于 各次试验的结果不会受其 任何一次试验中, 事件发生的概率相同,即相互独立, 2)任何一次试验中 他试验的影响, 他试验的影响, ,A事件发生的概率相同,即相互独立, 互不影响试验的结果。 互不影响试验的结果 上面等式成立. ∴上面等式成立 . 。

探究
投掷一枚图钉,设针尖向上的概率为 , 投掷一枚图钉,设针尖向上的概率为p,则针尖 向下的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉 次,仅出现 次 连续掷一枚图钉3次 仅出现1次 向下的概率为 连续掷一枚图钉 针尖向上的概率是多少? 针尖向上的概率是多少?
连续掷一枚图钉3次 就是做 次独立重复试验 次独立重复试验。 连续掷一枚图钉 次,就是做3次独立重复试验。用 Ai (i = 1, 2,3) 表示第i次掷得针尖向上的事件 次掷得针尖向上的事件, 表示“ 表示第 次掷得针尖向上的事件,用 B1 表示“仅出现一次针尖 向上”的事件, 向上”的事件,则 B = ( A A A ) U ( A A A ) U ( A A A ).
1 1 2 3 1 2 3 1 2 3

彼此互斥, 由于事件 A1 A2 A3 , A1 A2 A3和 A1 A2 A3 彼此互斥,由概率加法公式 得

P ( B1 ) = P ( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 ) = q 2 p + q 2 p + q 2 p = 3q 2 p

3q2 p. 所以,连续掷一枚图钉3次 仅出现1次针尖向上的概率是 所以,连续掷一枚图钉 次,仅出现 次针尖向上的概率是

思考? 思考?
上面我们利用掷1次图钉,针尖向上的概率为 , 上面我们利用掷 次图钉,针尖向上的概率为p,求 次图钉 出了连续掷3次图钉 仅出现次1针尖向上的概率 次图钉, 针尖向上的概率。 出了连续掷 次图钉,仅出现次 针尖向上的概率。类 似地,连续掷3次图钉 次图钉, 似地,连续掷 次图钉,出现 k (0 ≤ k ≤ 3) 次针尖向 上的概率是多少?你能发现其中的规律吗? 上的概率是多少?你能发现其中的规律吗?

P( B0 ) = P ( A1 A2 A3 ) = q ,
3

P( B1 ) = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) = 3q p,
2

P( B2 ) = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) = 3qp ,
2

P( B3 ) = P( A1 A2 A3 ) = p 3 .
仔细观察上述等式, 仔细观察上述等式,可以发现

P( Bk ) = C p q
k 3 k

3? k

, k = 0,1, 2,3.

基本概念
2、二项分布: 、二项分布: 一般地, 次独立重复试验中, 一般地,在n次独立重复试验中,设事件 发生的 次独立重复试验中 设事件A发生的 次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为 发生的概率为p, 次数为 ,在每次试验中事件 发生的概率为 ,那么 次独立重复试验中, 恰好发生k次的概率为 在n次独立重复试验中,事件 恰好发生 次的概率为 次独立重复试验中 事件A恰好发生

P( X = k ) = C p (1 ? p)
k n k

n ?k

, k = 0,1, 2,..., n.

此时称随机变量X服从二项分布,记作 此时称随机变量 服从二项分布,记作X~B(n,p), 服从二项分布 并称p为成功概率 为成功概率。 并称 为成功概率。
注:
k Pn ( k ) = cn p k q n ? k 是 ( p + q )n 展开式中的第 k + 1 项.

运用n次独立重复试验模型解题 运用 次独立重复试验模型解题

例1 某射手每次射击击中目标的概 率是0.8. 手在10次射击中。 10次射击中 率是0.8. 求这名射 手在10次射击中。 (1)恰有8次击中目标的概率; 恰有8次击中目标的概率; (2)至少有8次击中目标的概率。 至少有8次击中目标的概率。 (结果保留两个有效数字) 结果保留两个有效数字)

变式1
3 已知一个射手每次击中目标的概率为 p = , 5 求他在次射击中下列事件发生的概率。 求他在次射击中下列事件发生的概率。
(1)命中一次; )命中一次; (2)恰在第三次命中目标; )恰在第三次命中目标; (3)命中两次; )命中两次; (4)刚好在第二、第三两次击中目标。 )刚好在第二、第三两次击中目标。

运用n次独立重复试验模型解题 运用 次独立重复试验模型解题

例2

在图书室中只存放技术书和数学书, 在图书室中只存放技术书和数学书,任一读者 借技术书的概率为0.2 而借数学书的概率为0.8 0.2, 0.8, 借技术书的概率为0.2,而借数学书的概率为0.8, 设每人借一本, 名读者依次借书,求至多有2 设每人借一本,有5名读者依次借书,求至多有2人 借数学书的概率。 借数学书的概率。

变式2 变式2
甲投篮的命中率为0.8 ,乙投篮的命中率为 甲投篮的命中率为0.8 ,乙投篮的命中率为 ,每人各投篮 每人各投篮3 每人恰好都投中2 0.7 ,每人各投篮3次,每人恰好都投中2次的概率 是多少? 是多少?

运用n次独立重复试验模型解题 运用 次独立重复试验模型解题
实力相等的甲、 例3 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比 胜制( 局内谁先赢3 赛,规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜 规定5 出并停止比赛). 出并停止比赛) ⑴试求甲打完5局才能取胜的概率. 试求甲打完5局才能取胜的概率. ⑵按比赛规则甲获胜的概率. 按比赛规则甲获胜的概率.

解:甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的概率为 乙两队实力相等, 1 1 , 乙获胜的概率为 . 2 2 ⑴甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验, 次独立重复试验, 甲打完 局才能取胜, 局比赛取胜, 且甲第 5 局比赛取胜 , 前 4 局恰好 2 胜 2 负 ∴ 甲打完 5 局才能取胜 1 2 1 2 1 3 2 的概率 P1 = C 4 × ( ) × ( ) × = . 2 2 2 16
局才能取胜” (2) 记事件 A = “ 甲打完 3 局才能取胜” , 局才能取胜” 记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜” , 局才能取胜” 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜” . 按比赛规则甲获胜” 事件 D =“按比赛规则甲获胜” 则 D = A + B + C , , 彼此互斥, 又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥, 故 P ( D ) = P ( A + B + C ) = P ( A ) + P ( B ) + P (C ) 1 3 3 1 1 = + + = . : 答 按比赛规则甲获胜的概率为 . 8 16 16 2 2

相互独立性解题步骤: 相互独立性解题步骤:
1.用恰当的字母标记事件 如“XX”记为 “YY”记为 用恰当的字母标记事件,如 记为A, 记为B. 用恰当的字母标记事件 记为 记为 2.理清题意 判断各事件之间的关系(等可能 互斥 理清题意, 等可能;互斥 理清题意 等可能 互斥; 互独; 对立). 至多” 至少” 同时” 互独 对立 关键词 如“至多” “至少” “同时” “恰
有”. 至多” 至少”事件概率时,通常考虑它们的对立事件的 求“至多” “至少”事件概率时 通常考虑它们的对立事件的 3.寻找所求事件与已知事件之间的关系 寻找所求事件与已知事件之间的关系. 寻找所求事件与已知事件之间的关系 概率. 概率 “所求事件” 分几类 (考虑加法公式 转化为互斥事件 所求事件” 考虑加法公式, 所求事件 考虑加法公式 转化为互斥事件) 还是分几步组成(考虑乘法公式 转化为互独事件) 还是分几步组成 考虑乘法公式, 转化为互独事件 考虑乘法公式

4.根据公式解答 根据公式解答

小结: 小结: 1 事件相互独立性 2 独立重复试验与性质; 独立重复试验与性质; 3 二项分布与应用; 二项分布与应用;


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