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江苏省名校2014届高三12月月考数学试题分类汇编10:直线与圆 Word版


江苏省名校 2014 届高三 12 月月考数学试题分类汇编 直线与圆
一、填空题 1、 (江苏省扬州中学 2014 届高三上学期 12 月月考)已知方程 x +
2 2 2 2

2

x 1 - =0 有两个 tan? sin ?


不等实根 a 和 b ,那么过点 A(a, a ),

B(b, b ) 的直线与圆 x ? y ? 1的位置关系是 答案:相切

2、 江苏省南京市第一中学 2014 届高三 12 月月考) ( 过点( 2, 0)引直线 l 与曲线 y ? 1 ? x 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于 3 答案:- 3

2

3、 (江苏省诚贤中学 2014 届高三 12 月月考)垂直于直线 y ? x ? 1 且与圆 x ? y ? 1相切
2 2

于第一象限的直线方程是 答案: x ? y ? 2 ? 0



4、 (江苏省灌云高级中学 2014 届高三第三次学情调研)已知点 p(a, b)与点Q (1,0)在直 线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的两侧,则下列说法 (1) 2a ? 3b ? 1 ? 0 (2) a ? 0 时,

b 有最小值,无最大值 a

(3) ?M ? R? , 使 a 2 ? b 2 ? M 恒成立 (4) a ? 0且 a ? 1 , b ? 0时 , 则 其中正确的是

b 1 2 的取值范围为(- ?, ? ) ? ( , ? ?) a ?1 3 3
(把你认为所有正确的命题的序号都填上)

答案: (3) (4) 5、 (江苏省灌云高级中学 2014 届高三第三次学情调研)直线 x+ay+3=0 与直线 ax+4y+ 6=0 平行的充要条件是________ 答案:a=-2 6、 (江苏省如东县掘港高级中学 2014 届高三第三次调研考试)已知直线 kx ? y ? 1 ? 0 与圆
C : x 2 ? y 2 ? 4 相交于 A, B 两点,若点 M 在圆 C 上,且有 OM ? OA ? OB ( O 为坐标原点) ,

则实数 k = 答案:0 7、江苏省睢宁县菁华高级中学 2014 届高三 12 月学情调研) m ? ? 2,1? , n ? ? sin ? , cos ? ? , ( 设

u r

r

其 中 ? ? ? 0,

? ?

??

? 为 过 点 A ?1, 4 ? 的 直 线 l 的 倾 斜 角 , 若 当 m ? n 最 大 时 , 直 线 l 恰 好 与 圆 2?


u r r

( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? r 2 (r ? 0) 相切,则 r ?

答案: 8 、 江 苏 省 无 锡 市 洛 社 高 级 中 学 等 三 校 2014 届 高 三 12 月 联 考 ) 直 线 (

3x ? 4 y ? 15 ? 0被圆x 2 ? y 2 ? 25 截得的弦 AB 的长为
答案:8 二、解答题 1、 (江苏省诚贤中学 2014 届高三 12 月月考) 已知圆 C 的方程为 x ? ( y ? 4) ? 4 ,点 O 是坐标原点.直线 l : y ? kx与圆 C 交于
2 2

M , N 两点.
(Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)设 Q(m, n) 是线段 MN 上的点,且

2 1 1 .请将 n 表示为 m 的 ? ? 2 2 | OQ | | OM | | ON |2
2

函数.解:(Ⅰ)将 y ? k x 代入 x ? ( y ? 4) ? 4 得 则 (1 ? k 2 ) x 2 ? 8k x ? 12 ? 0 ,(*) 由
2

? ? (?8k ) 2 ? 4(1 ? k 2 ) ? 12 ? 0 得 k 2 ? 3 . 所以 k 的取值范围是 (??, ? 3 ) ? ( 3 , ??)
(Ⅱ)因为 M、N 在直线 l 上,可设点 M、N 的坐标分别为 ( x1 , kx1 ) , ( x 2 , kx2 ) ,则

OM


2

? (1 ? k 2 ) x1 , ON ? (1 ? k 2 ) x 2 ,又 OQ ? m 2 ? n 2 ? (1 ? k 2 ) m 2 ,
2 2

2

2

2 OQ
2

?

1 OM
2

?

1 ON
2

得,

2 1 1 ? ? , 2 2 2 2 2 (1 ? k ) m (1 ? k ) x1 (1 ? k 2 ) x 2

所以

( x ? x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 2 1 1 ? 2 ? 2 ? 1 2 2 m 2 x1 x2 x1 x 2

12 36 , 所以 m 2 ? 2 , 2 1? k 1? k 5k ? 3 36 n 因为点 Q 在直线 l 上,所以 k ? ,代入 m 2 ? 2 可得 5n 2 ? 3m 2 ? 36 , m 5k ? 3 36 由 m2 ? 2 及 k 2 ? 3 得 0 ? m 2 ? 3 ,即 m ? (? 3 , 0) ? (0, 3 ) . 5k ? 3
由(*)知 x1 ? x 2 ?
2

8k

, x1 x 2 ?

依题意,点 Q 在圆 C 内,则 n ? 0 ,所以 n ?

36 ? 3m 2 15m 2 ? 180 ? , 5 5

于是, n 与 m 的函数关系为 n ?

15m 2 ? 180 ( m ? (? 3 , 0) ? (0, 3 ) ) 5

2、 (江苏省粱丰高级中学 2014 届高三 12 月第三次月考) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 经过 A(0,2) ,O(0,0) ,D(t,0) (t>0)三点,M 是线段 AD 上的动点, l1 , l2 是过点 B(1,0)且互相垂直的两条直线,其中 l1 交 y 轴于点 E, l 2 交圆 C 于 P、Q 两点. (I)若 t ? PQ ? 6 ,求直线 l 2 的方程; (II)若 t 是使 AM≤2BM 恒成立的最小正整数,求三角形 EPQ 的面积的最小值. (I)由题意可知,圆 C 的直径为 AD,所以,圆 C 方程为: ( x ? 3)2 ? ( y ? 1) 2 ? 10 .1 分

设 l 2 方程为: y 当k

? k ( x ? 1) ,则 (2k ? 1) ? 32 ? 10 ,解得 k1 ? 0 , k 2 ? 2
2

1? k

4 ,……3 分 3

? 0 时,直线 l1 与 y 轴无交点,不合,舍去.
? 4 此时直线 l 2 的方程为 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 . 3
……………5分

所以, k

(II)设 M ( x, y ) ,由点 M 在线段 AD 上,得 由 AM≤2BM,得 ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2 2

x y ? ? 1,即 2 x ? ty ? 2t ? 0 . t 2
………6 分

4 3

2 3

20 . 9

8 8 | ? t| 2 5 4 2 2 2 20 依题意知,线段 AD 与圆 ( x ? ) ? ( y ? ) ? 至多有一个公共点,故 3 3 ? , 3 3 3 9 4 ? t2
解得 t ?

16 ? 10 3 16 ? 10 3 或t ? . 11 11

………8 分

因为 t 是使 AM≤2BM 恒成立的最小正整数,所以,t=4. 所以,圆 C 方程为: ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5
2 2

………9 分

(1)当直线 l 2 : x ? 1 时,直线 l1 的方程为 y ? 0 ,此时, S? EPQ ? 2 ;………10 分 (2)当直线 l 2 的斜率存在时,设 l 2 的方程为: y

? k ( x ? 1) ( k ? 0 ) l1 的方程为: ,则


1 1 1 y ? ? ( x ? 1) ,点 E (0, ) .所以, BE ? 1 ? 2 k k k
又圆心C到 l 2 的距离为

| k ? 1| 1? k2

, 所以,PQ ? 2

5?(

| k ? 1| 1? k2

)2 ? 2

4k 2 ? 2k ? 4 . 1? k2

故 S? EPQ ?

1 1 1 4k 2 ? 2k ? 4 4k 2 ? 2k ? 4 4 2 15 .13 分 BE ? PQ ? 1? 2 ? 2 ? ? ? ?4 ? 2 2 2 2 2 k 1? k k k k 2

因为

15 15 . ? 2 所以, ( S? EPQ ) min ? 2 2

………14 分

3、 (江苏省张家港市后塍高中 2014 届高三 12 月月考) 已知圆 C : ? x ? 2 ? ? y ? 1
2 2

(1) 求:过点 P ? 3, m ? 与圆 C 相切的切线方程; (2) 若点 Q 是直线 x ? y ? 6 ? 0 上的动点,过点 Q 作圆 C 的切线 QA, QB ,其中 A, B 为切点,求:四边形 QACB 面积的最小值及此时点 Q 的坐标. ⑴ ①当 m ? 0时 切线方程为 x ? 3 ―――――2 分

②当 m ? 0 时

设切线方程为 y ? m ? k ? x ? 3?

?

k ?m 1? k 2

? 1? k ?

1? m 2m

切线方程为

x ? 3或 y ? m ?

1 ? m2 ? x ? 3? 2m

―――――――8 分

2 ⑵ SQACB ? 2 S ?QAC ? AC ? AQ ? CQ ? 1

故 CQ 最小时四边形面积最小,

CQmin ?

2?6 2

?2 2

SQ

的最小值为 A C B

7

此时 CQ : y ? x ? 2

? Q ? 4 , ?2

――――――16 分


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