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极坐标系练习


极坐标和参数方程练习题 《极坐标》测验题 极坐标》
一.选择题(每题 5 分共 50 分) 1.已知 M 5,

姓名 姓名

成绩



π


,下列所给出的不能表示点的坐标的是 3 4π 3
C. 5,

A

. 5,



π
3

B. 5,



2π 3

D. 5,



5π 3

2.点 P 1, 3 ,则它的极坐标是 A. 2,

(

)

π 3

B. 2,



4π 3

C. 2,



π
3

D. 2,



4π 3

3.极坐标方程 ρ = cos A.双曲线 4.圆 ρ = A. 1, B.椭圆

π θ 表示的曲线是 4
C.抛物线 D.圆

2 (cos θ + sin θ ) 的圆心坐标是
B. ,

π 4

1 π 2 4

C. 2 ,



π
4

D. 2,

π 4

5.在极坐标系中,与圆 ρ = 4 sin θ 相切的一条直线方程为 A. ρ sin θ = 2 B. ρ cos θ = 2 C. ρ cos θ = 4 D. ρ cos θ = 4

6、 已知点 A 2,



π

3π , B 2 , 2 4

, O(0,0 ) 则 ABO 为
D、直角等腰三角形

A、正三角形

B、直角三角形

C、锐角等腰三角形

7、 θ =

π
4

( ρ ≤ 0) 表示的图形是

A.一条射线 B.一条直线 C.一条线段 D.圆 8、直线 θ = α 与 ρ cos(θ α ) = 1 的位置关系是

极坐标和参数方程练习题
A、平行 B、垂直 C、相交不垂直

姓名
D、与

成绩
有关,不确定

9.两圆 ρ = 2 cos θ , ρ = 2 sin θ 的公共部分面积是 A.

π
4



1 2

B. π 2

C.

π
2

1 D.

π
2

10.已知点 P1 的球坐标是 P1 ( 2 3 , ,

π
4

) , P2 的柱坐标是 P2 ( 5 , θ ,1) ,求 P1 P2 .

A. 2

B. 3

C. 2 2

D.

2 2

二.填空题(每题 5 分共 25 分) 11.极坐标方程 4 ρ sin
2

θ
2

= 5 化为直角坐标方程是

12.圆心为 C 3,

π ,半径为 3 的圆的极坐标方程为 6

13.已知直线的极坐标方程为 ρ sin(θ +

π
4

)=

2 ,则极点到直线的距离是 2

14、在极坐标系中,点 P 2,

π 11π 到直线 ρ sin(θ ) = 1 的距离等于____________。 6 6 π
4

15、与曲线 ρ cos θ + 1 = 0 关于 θ = ________________________。 三.解答题(共 75 分)

对称的曲线的极坐标方程是

16. 说说由曲线 y = tan x 得到曲线 y = 3 tan 2 x 的变化过程, 并求出坐标伸缩变换。 分) (7

极坐标和参数方程练习题
2 3
'

姓名
'

成绩

17.已知 P 5, π ,O 为极点,求使 POP 是正三角形的 P 点坐标。 分) (8

18.棱长为 1 的正方体 OABC D A B C 中,对角线 OB 与 BD 相交于点 P,顶点 O 为
' ' ' ' ' '

坐标原点,OA、OC 分别在 x轴, y轴 的正半轴上,已知点 P 的球坐标 P (ρ , , θ ) ,求

ρ , tan , sin θ 。 分) (10

19. ABC 的底边 BC = 10, ∠A = 程。 (10 分)

1 ∠B, 以 B 点为极点,BC 为极轴,求顶点 A 的轨迹方 2

20. 在平面直角坐标系中已知点 A (3, , 是圆珠笔 x 2 + y 2 = 1 上一个运点, ∠AOP 0) P 且 的平分线交 PA 于 Q 点,求 Q 点的轨迹的极坐标方程。 (10 分)
O P Q A

(

)

极坐标和参数方程练习题
21、在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C 3, C 的极坐标方程;

姓名

成绩

π ,半径 =1,Q 点在圆 C 上运动。(1)求圆 6

(2)若 P 在直线 OQ 上运动,且 OQ∶QP=2∶3,求动点 P 的轨迹方程。(10 分)

22、建立极坐标系证明:已知半圆直径∣AB∣=2 ( >0),半圆外一条直线 与 AB 所在 直线垂直相交于点 T, 并且∣AT∣=2 a ( 2a <

r )。 若半圆上相异两点 M、 到 的距离∣MP∣, N 2
(10 分)

∣NQ∣满足∣MP∣∶∣MA∣=∣NQ∣∶∣NA∣=1,则 ∣MA∣+∣NA∣=∣AB∣。

23.如图, AD ⊥ BC ,D 是垂足,H 是 AD 上任意一点,直线 BH 与 AC 交于 E 点,直线 CH 与 AB 交于 F 点,求证: ∠EDA = ∠FDA (10 分)

第一讲《极坐标》 选修 4-4 第一讲《极坐标》测验题 答案 一.选择题 题号 1 答案 A 二.填空题 11.y = 5 x +
2

2 C

3 D

4 A

5 B

6 D

7 A

8 B

9 C

10 A

25 2 π ; 12.ρ = 6 cosθ ; 13. ; 14. 3 + 1 ;15. ρ sin θ + 1 = 0 4 2 6
1 , 得到 y = tan 2 x , 2

三.解答题 16. 解:y = tan x 的图象上的点的纵坐标不变, 横坐标缩短为原来的

极坐标和参数方程练习题
变换公式为

姓名

成绩
' '

再将其纵坐标伸长为原来的 3 倍,横坐标不变,得到曲线 y = 3 tan 2 x 。设 y = 3 tan x ,

' 1 = 3 x ' = λ x, λ > 0 x = x 1 ,∴ 将其代入 y ' = 3 tan x ' 得 ' 2 λ= y = y, > 0 y' = 3y 2
17. P (5,
'

π
3

) 或 P ' (5, π ) 18. ρ =

3 a, tan = 2 , sin θ = 1 2

19.解:设 M (ρ , θ ) 是曲线上任意一点,在 ABC 中由正弦定理得:

ρ
3 sin(π θ ) 2

=

10 sin

θ
2

得 A 的轨迹是: ρ = 30 40 sin

2

θ
2

20.解:以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 Q(ρ , θ ) , P (1,2θ ) 0

1 1 1 ∵ S OQA + S OQP = S OAP ∴ 3ρ sin θ + ρ sin θ = 3 1 sin 2θ 2 2 2

ρ = cos θ

3 2

21.(1) ρ 6 ρ cos θ
2

π

π 2 = 0 (2) ρ 15 ρ cosθ + 50 = 0 6 6

22.证法一:以 A 为极点,射线 AB 为极轴建立直角坐标系,则半圆的的极坐标方程为

ρ = 2r cos θ , 设 M ( ρ1 ,θ 1 ), N ( ρ 2 ,θ 2 ) , 则 ρ1 = 2r cosθ 1 , ρ 2 = 2r cosθ 2 , 又
MP = 2a + ρ1 cos θ 1 = 2a + 2r cos 2 θ 1 , NQ = 2a + ρ 2 cos θ 2 = 2a + 2r cos 2 θ 2 , ∴ MP = 2a + 2r cos 2 θ 1 = 2r cos θ 1 ∴ NQ = 2a + 2r cos 2 θ 2 = 2r cos θ 2 ∴ cos θ 1 , cos θ 2 是 方 程 r cos 2 θ r cos θ + a = 0 的 两 个 根 , 由 韦 达 定 理 : cosθ 1 + cos θ 2 = 1 , MA + NA = 2r cos θ 1 + 2r cos θ 2 = 2r = AB
证法二:以 A 为极点,射线 AB 为极轴建立直角坐标系,则半圆的的极坐标方程为

极坐标和参数方程练习题

姓名

成绩

ρ = 2r cos θ , 设 M ( ρ1 ,θ 1 ), N ( ρ 2 ,θ 2 ) 又 由 题 意 知 , M ( ρ1 ,θ 1 ), N ( ρ 2 ,θ 2 ) 在 抛 物 线

ρ=

2a 2a 2 上, 2r cos θ = ∴ ,r cos θ r cos θ + a = 0 , cos θ 1 , cos θ 2 是 ∴ 1 cos θ 1 cos θ
2

方 程 r cos θ r cos θ + a = 0 的 两 个 根 , 由 韦 达 定 理 : cosθ 1 + cos θ 2 = 1 ,

MA + NA = 2r cos θ 1 + 2r cos θ 2 = 2r = AB
23.证明:以 BC 所在的直线为 x 轴,AD 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系,设 A(0, a ) ,

B (b,0) , C (c,0) , H (0, t ) ,则 l BH : x y + = 1 ,即 tx + cy ct = 0 c t x y + = 1 ,即 ax + cy ac = 0 c a x y + = 1 ,即 ax + by ab = 0 b a

x y + = 1 ,即 tx + by bt = 0 b t
F

A

l CH :

E H

l AC :

l AB :

B

D

bc(a t ) (b c )t bc(t a ) at (c b ) ∴ E , , ,∴ F ab ct ab ct bt ac ac bt

∴ k DE = ∴ k DF =

(b c )at (ab ct ) = (b c )at (ab ct ) bc(a t ) bc(a t ) (c b )at (bt ac ) = (b c )at (ac bt ) bc(t a ) bc(a t )

∴ ∠EDC = ∠FDB, ∠EDA = ∠FDA

极坐标和参数方程练习题

姓名

成绩

选修 4-4 第二讲参数方程测试题 一.选择题(每题 5 分共 60 分)

1.设椭圆的参数方程为

x = a cos θ (0 ≤ θ ≤ π ) , M (x1 , y1 ) , N (x2 , y 2 ) 是椭圆上两点, y = b sin θ M,N 对应的参数为 θ 1 ,θ 2 且 x1 < x 2 ,则
B. θ 1 > θ 2 C. θ 1 ≥ θ 2 D. θ 1 ≤ θ 2

A. θ 1 < θ 2

2.直线:3x-4y-9=0 与圆:

x = 2 cos θ ,(θ 为参数)的位置关系是( y = 2 sin θ
C.直线过圆心

)

A.相切

B.相离

D.相交但直线不过圆心

3.经过点 M(1,5)且倾斜角为 是( )

π
3

的直线,以定点 M 到动 点 P 的位移 t 为参数的参数方程

1 1 x = 1+ 2 t x = 1 2 t A. B. C. y = 5 3 t y = 5 + 3 t 2 2

1 1 x = 1 2 t x = 1+ 2 t D. y = 5 3 t y = 5 + 3 t 2 2

4.参数方程

1 x = t + t (t 为参数)所表示的曲线是 ( y = 2
B.两条射线 C.一条直线

)

A.一条射线

D.两条直线

5.若动点(x,y)在曲线

x2 y2 + 2 = 1 (b>0)上变化,则 x22y 的最大值为 4 b

极坐标和参数方程练习题
b 2 + 4 ( 0 < b < 4) (A) 4 ; 2b (b ≥ 4)
2 2

姓名

成绩

b 2 b2 + 4 ( 0 < b < 2) (B) 4 ;(C) (C) + 4 (D) 2b。 4 2b (b ≥ 2)
2 2

6.实数 x、y 满足 3x +2y =6x,则 x +y 的最大值为( )

A、

7 2

B、4

C、

9 2

D、5

7.曲线的参数方程为

x = 3t 2 + 2 (t 是参数),则曲线是 y = t 2 1
C、圆 D、射线

A、线段

B、双曲线的一支

8. 已知动园: x 2 + y 2 2ax cos θ 2by sin θ = 0( a, b是正常数,a ≠ b, θ是参数) , 则圆心的轨迹是 A、直线 B、圆 C、抛物线的一部分 D、椭圆

9. 在参数方程

x = a + t cos θ (t 为参数)所表示的曲线上有 B、C 两点,它们对应的 y = b + t sin θ

参数值分别为 t1、t2,则线段 BC 的中点 M 对应的参数值是

10. r > 0 ,那么直线 x cos θ + y sin θ = r θ是常数 与圆 设 关系是 A、相交 B、相切 C、相离
2

(

)

x = r cos (是参数)的位置 y = r sin

D、视 的大小而定

11. 下列参数方程(t 为参数)中与普通方程 x -y=0 表示同一曲线的是

极坐标和参数方程练习题
12.已知过曲线

姓名

成绩

x = 3 cos θ (θ为参数,0 ≤ θ ≤ π ) 上一点 P,原点为 O,直线 PO 的倾斜角 y = 4 sin θ



π
4

,则 P 点坐标是

A、(3,4)

B、

3 2 2 2 , 2

C、(-3,-4)

D、

12 12 , 5 5

二.填空题(每题 5 分共 25 分) 13.过抛物线 y =4x 的焦点作倾斜角为 ___________________。
2

的弦,若弦长不超过 8,则

的取值范围是

14.直线

x = 2 2t (t为参数)上与点 P( 2, ) 距离等于 2 的点的坐标是 3 y = 3 + 2t x = 2 tan θ (θ为参数) 的准线方程是 y = 3 sec θ

15.圆锥曲线

16.直线 l 过点 M 0 (1,5) ,倾斜角是 长为

π
3

,且与直线 x y 2 3 = 0 交于 M ,则 MM 0 的

17.曲线

x = a sec α x = a tan β (α为参数)与曲线 (β为参数)的离心率分别为 e1 y = b tan α y = b sec β

和 e2,则 e1+e2 的最小值为_______________. 三.解答题(共 65 分

18. 求直线

x = 2 + t (t为参数)被双曲线x 2 y 2 = 1上截得的弦长。 y = 3t

极坐标和参数方程练习题
19.已知方程

姓名

成绩
。(1)试证:不论 如何变

化,方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线;(2) θ 为何值时,该抛物线在直线 x=14 上 截得的弦最长?并求出此弦长。

20.已知椭圆

x = 4 cos θ 上两个相邻顶点为 A、C,又 B、D 为椭圆上的两个动点,且 B、 y = 5 sin θ

D 分别在直线 AC 的两旁,求四边形 ABCD 面积的最大值。

21.已知过点 P(1,-2),倾斜角为 抛物线交于两点?

π
6

的直线 l 和抛物线 x =y+m。(1)m 取何值时,直线 l 和

2

(2)m 取何值时,直线 l 被抛物线截下的线段长为

4 32 . 3

第二讲参数方程测试题答案 第二讲参数方程测试题答案 题号 答案 1 B 2 D 3 A 4 B 5 A 6 B 7 D 8 D 9 B 10 B 11 D 12 D

极坐标和参数方程练习题
13.α ∈

姓名

成绩
9 13 ;16.10 + 6 3 ;17. 2 2 13

π 3π 4,4

;14. ( 3,4 ), ( 1,2 ) ; 15. y = ±

1 x = 2 + 2 t 18.解:把直线参数方程化为标准参数方程 (t 为参数) 3 y = t 2 1 3 代入x y = 1,得:2 + t t 2 2
2 2 2

=1

2

整理,得:t 2 4t 6 = 0 t1 + t 2 = 4,t1 t 2 = 6
从而弦长为 AB = t1 t 2 =
2

设其二根为t1 ,t 2 ,则

(t1 + t 2 )2 4t1 t 2

= 4 2 4( 6 ) = 40 = 2 10

19(1)把原方程化为 ( y 3 sin θ ) = 2( x 4 cos θ ) ,知抛物线的顶点为 (4 cos θ ,3 sin θ ) 它是在椭圆

x2 y2 + = 1 上;(2)当 16 9

时,弦长最大为 12。

20、 20 2 21.(1)m>

23 + 4 3 ,(2)m=3 12

极坐标和参数方程练习题

姓名

成绩

选修 4-4 参数方程单元练习

(一)选择题:

[

]

A.(2,-7)

B.(1,0)

A.20°

B.70°

C.110°

D.160°

[ A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心

]

A.椭圆

B.双曲线

C.抛物线

D.圆

[ C.5 (二)填空题: D.6

]

8.设 y=tx(t 为参数),则圆 x +y -4y=0 的参数方程是______.

2

2

极坐标和参数方程练习题

姓名

成绩

10.当 m 取一切实数时,双曲线 x -y -6mx-4my+5m -1=0 的中心的轨迹方程为______. (三)解答题:

2

2

2

时 矩 形 对角 线的倾斜角α.

13.直线 l 经过两点 P(-1,2)和 Q(2,-2),与双曲线(y-2) -x =1 相交于两点 A、B,(1) 根据下问所需写出 l 的参数方程;(2)求 AB 中点 M 与点 P 的距离.

2

2

14.设椭圆 4x +y =1 的平行弦的斜率为 2,求这组平行弦中点的轨迹.

2

2

15.若不计空气阻力,炮弹运行轨道是抛物线.现测得我炮位 A 与炮击目标 B 在同一水平 线上,水平距离为 6000 米,炮弹运行的最大高度为 1200 米.试求炮弹的发射角α和发射 2 初速度 v0(重力加速度 g=9.8 米/秒 ).

极坐标和参数方程练习题

姓名

成绩

参数方程单元练习答案提示 (一)1.C 2.C 3.D 4.B 5.A(二)6.(1,0),(-5,0)

7.4x -y =16(x≥2)

2

2

9.(-1,5),(-1,-1)10.2x+3y=0

(三)11.圆 x +y -x-y=0.

2

2

14.取平行弦中的一条弦 AB 在 y 轴上的截距 m 为参数,并设 A(x1,

极坐标和参数方程练习题

姓名

成绩

设弦 AB 的中点为 M(x,y),则

15.在以 A 为原点,直线 AB 的 x 轴的直角坐标系中,弹道方程是

它经过最高点(3000,1200)和点 B(6000,0)的时间分 别设为 t0 和 2t0,代入参数方程,得

选修 4-4 极坐标与参数方程单元考试 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 选择题( 1、已知点 M 的极坐标为 5, ,下列所给出的四个坐标中能表示点 M 的坐标是(

π 3

) 。

π A. 5, 3

4π B. 5, 3

2π C. 5, 3

D. 5,



5π 3

极坐标和参数方程练习题
2、直线:3x-4y-9=0 与圆:

姓名

成绩
)

x = 2 cos θ ,(θ 为参数)的位置关系是( y = 2 sin θ
C.直线过圆心

A.相切

B.相离

D.相交但直线不过圆心

3、在参数方程

x = a + t cos θ (t 为参数)所表示的曲线上有 B、C 两点,它们对应的参 y = b + t sin θ


数值分别为 t1、t2,则线段 BC 的中点 M 对应的参数值是(

x = 3t 2 + 2 4、曲线的参数方程为 (t 是参数),则曲线是( 2 y = t 1
A、线段 B、双曲线的一支
2 2 2



C、圆
2

D、射线 )

5、实数 x、y 满足 3x +2y =6x,则 x +y 的最大值为(

A、

7 2

B、4

C、

9 2

D、5

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1、点 (2, 2 ) 的极坐标为 。

π π 2、若 A 3, ,B 4, ,则|AB|=___________, SAOB = ___________。 (其中 O 是 3 6
极点) 3、极点到直线 ρ ( cos θ + sin θ ) = 3 的距离是________ 4、极坐标方程 ρ sin 2 θ 2 cos θ = 0 表示的曲线是_______ 5、圆锥曲线 _____。 _____。 。

x = 2 tan θ (θ为参数) 的准线方程是 y = 3 sec θ

三、解答题(第 1 题 14 分,第 2 题 16 分,第 3 题 15 分;共 45 分)

极坐标和参数方程练习题
1. 将极坐标方程 ρ sin
2

姓名

成绩

θ 2 cos θ = 0 化为直角坐标方程。

2、求圆心为 C 3, ,半径为 3 的圆的极坐标方程。



π
6

3、 已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 α

=

π
6

, (1) 写出直线 l 的参数方程。 (2) l 与圆 x 设

2

+ y2 = 4

相交与两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积。

4、求椭圆

x2 y2 + = 1 上一点P与定点(1, 0)之间距离的最小值 。 9 4

极坐标和参数方程练习题
【试题答案】 试题答案】 一、选择题:1、D 2、D 3、B 4、D 二、填空题:1、 2 2, 5、B

姓名

成绩

高二选修 4-4 极坐标与参数方程单元考试



π

7π 3 6 = 。 或写成 2 2, 。 2、5,6。 3、 d = 2 2 4 4 9 13 。 10 + 6 3 。 6、 13
π
6 ,OA( = 2 × 3 = 6 (

4、 ρ sin θ ) 2 ρ cos θ = 0, 即 y 2 = 2 x, 它 表 示 抛 物 线 。 5、y = ± (
2

三、解答题 1、1、如下图,设圆上任一点为 P( ρ , ) ( OP ( = ρ ,∠POA = θ θ ,则
Rt OAP中 ,OP ( = ( OA ( cos ∠ POA (

π ∴ ρ = 6 cos θ 而 点 6
P A C O

2 O (0, π ) 3

A (0,

π
6

) 符合

3 t, x = 1 + 2 (t是参数) 2、解: (1)直线的参数方程是 y = 1 + 1 t; 2

(2)因为点 A,B 都在直线 l 上,所以可设它们对应的参数为 t1 和 t2,则点 A,B 的坐标分别 为

A(1 +

3 1 3 1 t1 ,1 + t1 ), B (1 + t 2 ,1 + t 2 ) 以 直 线 L 的 参 数 方 程 代 入 圆 的 方 程 2 2 2 2
① 因为 t1 和 t2 是方程①的解,

x 2 + y 2 = 4 整理得到 t 2 + ( 3 + 1)t 2 = 0
从而 t1t2=-2。所以|PA||PB|= |t1t2|=|-2|=2。 3、 (先设出点 P 的坐标,建立有关距离的函数关系)

设P ( 3cos θ, θ ),则P到定点( , 2sin 1 0)的距离为 d (θ ) =

( 3cos θ 1) + ( 2sin θ 0 )
2

2

3 16 = 5cos θ 6 cos θ + 5 = 5 cos θ + 5 5
2

2

3 4 5 当 cos θ = 时,d (θ )取最小值 5 5

极坐标和参数方程练习题

姓名

成绩

坐标系与参数方程测验题 1.已知点 P 的极坐标是(1, π ) ,则过点 P 且垂直极轴的直线极坐标方程是 1. 2.在极坐标系中,曲线 ρ = 4 sin(θ 2. . .

π
3

) 一条对称轴的极坐标方程

3.在极坐标中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线 ρ = 4 cos θ 于 A、B 两点.则 3. |AB|= .

4.已知三点 A(5, 4.

π
2

),B(-8,

11 7 π ),C(3, π ),则ΔABC 形状为 6 6
2

.

5.已知某圆的极坐标方程为:ρ –4 2 ρcon(θ-π/4)+6=0 则:①圆的普通方 5. : 程 ; ②参数方程 ;③圆上所有点(x,y)中 xy 的最大值和最小值分别 为 、 .

x = a cos θ (0 ≤ θ ≤ π ) , M (x1 , y1 ) , N (x2 , y 2 ) 是椭圆上两点, y = b sin θ M、N 对应的参数为 θ 1 ,θ 2 且 x1 < x 2 ,则 θ1 , θ 2 大小关系是 .
6.设椭圆的参数方程为 6. 7.直线:3x-4y-9=0 与圆: 7.

x = 2 cos θ ,(θ 为参数)的位置关系是 y = 2 sin θ

.

8.经过点 M0(1,5)且倾斜角为 是

π

3 . 且与直线 x y 2 3 = 0 交于 M ,则 MM 0 的长为

的直线,以定点 M0 到动 点 P 的位移 t 为参数的参数方程 . .

1 x = t + 9.参数方程 t (t 为参数)所表示的图形是 y = 2

极坐标和参数方程练习题
x = 3t 2 + 2 10.方程 (t 是参数)的普通方程是 10. 2 y = t 1

姓名

成绩
.与 x 轴交点的直角坐标是

1 x= t ( t 为参数)所表示的曲线 11.画出参数方程 11. 1 2 y = t 1 t
12.已知动园: x 2 + y 2 2ax cos θ 2by sin θ = 0( a, b是正常数,a ≠ b, θ是参数) , 12. 则圆心的轨迹是 13.已知过曲线 13. .

0

x = 3 cos θ (θ为参数,0 ≤ θ ≤ π ) 上一点 P,原点为 O,直线 PO 的倾斜角 y = 4 sin θ
.



π
4

,则 P 点坐标是

14.直线 14.

x = 2 + 2t (t 为参数)上对应 t=0, t=1 两点间的距离是 y = 1 + t
.

.

x = 3 + t sin 200 15.直线 (t 为参数)的倾斜角是 15. 0 y = 1 + t cos 20
16.设 16. r > 0 ,那么直线 x cos θ + y sin θ = r θ是常数 与圆 关系是 17.直线 17. .

(

)

x = r cos (是参数)的位置 y = r sin

x = 2 2t (t为参数)上与点 P( 2, ) 距离等于 2 的点的坐标是 3 y = 3 + 2t
2

.

18.过抛物线 y =4x 的焦点作倾斜角为 18. ________________. 19.若动点(x,y)在曲线 19. 20.曲线 20.

的弦,若弦长不超过 8,则

的取值范围是

x2 y2 + 2 = 1 (b>0)上变化,则 x2 + 2y 的最大值为 4 b

.

x = a sec α x = a tan β (α为参数)与曲线 (β为参数)的离心率分别为 e1 和 e2, y = b tan α y = b sec β

则 e1+e2 的最小值为_______________.

极坐标和参数方程练习题

姓名

成绩

坐标系与参数方程测验题答案 1.ρcosθ= -1;2. θ =

5π 2 2 ;3. 2 3 ;4.等边三角形;5.(x-2) +(y-2) =2; 6

极坐标和参数方程练习题

姓名

成绩

1 x = 1+ 2 t x = 2 + 2 cos θ { ( t为参数 ) (θ 为参数 ) ;9、1;6.θ1>θ2;7.相交;8. y = 2 + 2 sin θ y = 5+ 3 t 2
10+6 3 ;9.两条射线;10.x-3y=5(x≥2);(5, 0);12.椭圆;13.

12 12 , ;14. 5 ; 5 5

15.70 ; 16.相切; (-1, 或 17. 2) (-3, ; 4) 18. 20. 2 2

0

b 2 + 16 π 3π ; 19. (0 < b ≤ 4)或2b(b > 4) ; , 4 4 4

极坐标和参数方程练习题

姓名

成绩

高二数学选修 4-4 考试卷
一、选择题:本大题共 10 题,每小题 3 分,共 30 分。 选择题: 1.曲线的极坐标方程 ρ = 4 sin θ 化为直角坐标为(
2 2 A. x + ( y + 2) = 4

) 。 C.

B.

x 2 + ( y 2) 2 = 4

( x 2) 2 + y 2 = 4

D.

( x + 2) 2 + y 2 = 4
2.已知点 P 的极坐标是(1, π ) ,则过点 P 且垂直极轴的直线方程是( A. ρ = 1 B. ρ = cos θ C. ρ = ) 。 ) 。

1 cos θ

D. ρ =

1 cos θ

3.直线 y = 2 x + 1 的参数方程是(

2 x = sin θ x = 2t 1 x = t 1 A. x = t (t 为参数 B. (t 为参数) C. (t 为参数) D. 2 y = 4t + 1 y = 2t 1 y = 2 sin θ + 1 y = 2t + 1

(t 为参数)
1 4.方程 x = t + (t 为参数)表示的曲线是( t y=2

) 。

A.一条直线

B.两条射线

C.一条线段

D.抛物线的一部分

x = 2 + sin 2 θ 5.参数方程 ( θ 为参数)化为普通方程是( y = 1 + cos 2θ
A. 2 x y + 4 = 0 B.

) 。

2x + y 4 = 0

C.

2x y + 4 = 0

x ∈ [2,3]

D.

2 x + y 4 = 0 x ∈ [2,3]
6.设点 P 对应的复数为-3+3i,以原点为极点,实轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的

极坐标为(
A.( 3 2 ,



3 π) 4

B. ( 3 2 ,

5 π) 4

C. (3,

5 π) 4

D. (-3,

3 π) 4

极坐标和参数方程练习题

姓名

成绩

7.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中,直线 l: y + kx + 2 = 0 与曲线 C:

ρ = 2 cos θ 相交,则 k 的取值范围是(
A. k <

) 。 D. k ∈ R 但 k ≠ 0

3 4

B. k ≥

3 4

C. k ∈ R

8. 已知过曲线

{

x =3cosθ ( ) y = 4sinθ θ 为参数,0 ≤ θ ≤ π 上一点 P 原点 O 的直线 PO 的倾斜角为

π
4

,则 P 点坐标是

A、(3,4)

B、 ( 12 , 12 ) 5 5

C、(-3,-4)

D、 ( 1 2 , 1 2 ) 5 5

9.若圆的方程为

x = 1 + 2 cos θ x = 2t 1 ( θ 为参数) ,直线的方程为 (t 为参数) ,则 y = 3 + 2 sin θ y = 6t 1
) 。 C.相切 ) 。 D.相离

直线与圆的位置关系是( A. 相交过圆心

B.相交而不过圆心

1 x= t 10.参数方程 ( t 为参数)所表示的曲线是( 1 2 y = t 1 t
y y y

y

0

x

0

x

0

x

0

x

A

B

C

D

二、填空题 填空题:本大题共有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 填空题 11. 在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 直 线 x 2 y = 2 变 成 直 线 2 x ′ y ′ = 4 的 伸 缩 变 换 是 。

12.在极坐标中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线 ρ = 4 cos θ 于 A、B 两点,

极坐标和参数方程练习题
则|AB|= 。

姓名

成绩

t x = 2+ 2 13.设直线参数方程为 ( t 为参数) ,则它的斜截式方程为 3 y = 3 + t 2
14. 直线



x = 2 + t (t为参数)被双曲线x 2 y 2 = 1上截得的弦长为________ y = 3t

三、解答题:本大题有 6 题,,共 54 分。 (8 分+8 分+8 分+10 分+10 分+10 分)
15. 把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线: 分) (8 ⑴

x = 5 cos ( 为参数) ; y = 4 sin



x = 1 3t ( t 为参数) y = 4t

16.求以椭圆 x 2 + 4 y 2 = 16 内一点 A(1,-1)为中点的弦所在直线的方程。 分) (8

17. 已知 x、y 满足 ( x 1) 2 + ( y + 2) 2 = 4 ,求 S = 3 x y 的最值。 分) (8

18. 如图,点 A 在直线 x=5 上移动,等腰△OPA 的顶角∠OPA 为 120°(O,P,A 按顺时 针方向排列) ,求点 P 的轨迹方程。
y P A

O

x

极坐标和参数方程练习题

姓名

成绩

19. 如图,过抛物线 y = 2 px ( p >0)的顶点作两条互相垂直的弦 OA、OB。
2

⑴设 OA 的斜率为 k,试用 k 表示点 A、B 的坐标; ⑵求弦 AB 中点 M 的轨迹方程。 (10 分) y

A 0 M x

B

20. 在气象台 A 正西方向 300 千米处有一台风中心,它以每小时 40 千米的速度向东北方 向移动,距台风中心 250 千米以内的地方都要受其影响。问:从现在起,大约多长时间后, 气象台 A 所在地将遭受台风影响?持续多长时间?(10 分) (注: 7 = 2.65 , 2 = 1.41 )

考试卷数学科答案 选修 4-4 考试卷数学科答案
一.选择题(每小题 3 分,共 30 分) 选择题( 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

极坐标和参数方程练习题
答案 B C C B D 二.填空题(每小题 4 分,共 16 分) 填空题( 11.

姓名
A A

成绩
D B D

x′ = x ; y′ = 4 y

12.2 3 ;

13. y =

3x + 3 2 3 ;

14.2 10 。

三.解答题(8 分+8 分+8 分+10 分+10 分+10 分,共 54 分) 解答题( 共

x = 5 cos 15 . 8 分 ) 解 : ⑴ . ∵ ( y = 4 sin

x = cos ∴ 5 两边平方相加,得 y = sin 4

x2 y2 + = cos 2 + sin 2 25 16
8,中心在原点的椭圆。



x2 y2 + = 1 ∴曲线是长轴在 x 轴上且为 10,短轴为 25 16

y y x = 1 3t ⑵.∵ ∴由 t = 代入 x = 1 3t ,得 x = 1 3 ∴ 4 x + 3 y 4 = 0 4 4 y = 4t
∴它表示过(0,

4 )和(1, 0)的一条直线。 3

16. 分)解:设以 A(1,-1)为中点的弦所在的直线方程为 (8 把它代入 x 2 + 4 y 2 = 16 得 (1 + t cos θ ) 2 + 4( 1 + t sin θ ) 2 = 16 即 (cos 2 θ + 4sin 2 θ )t 2 + 2(cos θ 4sin θ )t 11 = 0

{

x =1+t cosθ ( ) y =1+t sinθ θ 为参数 ,

∵弦以 A(1,-1)为中点,∴交点所对应的参数 t1 和 t2 有: t1 + t2 =0 ∴

cos θ 4 sin θ 1 = 0 ∴ cos θ 4sin θ =0,∴ tan θ = 2 2 cos θ + 4sin θ 4 1 ( x 1) 即 x-4y-5=0 4

∴所求的直线方程为 y + 1 =

17. 分)解:由 ( x 1) 2 + ( y + 2) 2 = 4 可知曲线表示以(1,-2)为圆心,半径等于 2 (8 的圆。令 x = 1 + 2 cos θ

y = 2 + 2 sin θ ,则

S = 3 x y = 3(1 + 2 cos θ ) (2 + 2 sin θ ) = 5 + 6 cos θ 2 sin θ = 5 + 2 10 sin(θ + )

极坐标和参数方程练习题
(其中 tan =

姓名

成绩

6 = 3 )∵-1 ≤ sin(θ + ) = 1 ≤ 1∴当 sin(θ + ) = 1 时,S 有最大值, 2

为 S max = 5 + 2 10 ,当 sin(θ + ) = 1 时,S 有最小值,为 S min = 5 2 10 ∴S 最大值为 S max = 5 + 2 10 ;S 最小值为 S min = 5 2 10 。 18. (10 分)解:取 O 为极点,x 正半轴为极轴,建立极坐标系,则直线 x=5 的极坐标方 程为 ρcosθ=5 设 A(ρ0,θ0) ,P(ρ,θ)

∵ 点A在直线ρ cos θ = 5上

∴ ρ 0 cos θ 0 = 5

<1>

∵OPA为等腰三角形,且∠OPA = 120° ,而 OP = ρ , OA = ρ 0 以及∠POA = 30°
∴ ρ 0 = 3ρ,且θ 0 = θ 30° <2> 3ρ cos(θ 30°) = 5

把<2>代入<1>,得点 P 的轨迹的极坐标方程为:

19. (10 分)解:⑴.∵依题意可知直线 OA 的斜率存在且不为 0 ∴设直线 OA 的方程为 y = kx ( k ≠ 0 )

y

y = kx ∴联立方程 2 y = 2 px

2p 解得 x A = 2 k

2p yA = k

A 0 M x

1 1 y = x 以 代上式中的 k ,解方程组 k k y 2 = 2 px
解得 x B = 2 pk
2

B

y B = 2 pk ∴A(

2p 2p 2 , ) ,B( 2 pk , 2 pk ) 。 k k2
1

2 ⑵.设 AB 中点 M(x,y) ,则由中点坐标公式,得 x = p( k 2 + k ) 1 y = p( k ) k

消去参数 k,得 y = px 2 p
2

2

;即为 M 点轨迹的普通方程。

20. (10 分)解:如图,以气象台为坐标原点,正东方向为 x 轴正方向, 建立直角坐标系, 则现在台风中心 B1 的坐标为 (-300,

y B2 B1 0 A x

极坐标和参数方程练习题

姓名

成绩

0) 。根据题意,可知,t 小时后,B 的坐标为( 300 + 40t cos 45° , 40t sin 45° ) ,即 ( 300 + 20 2t , 20 2t ) ,因为以台风中心为圆心,以 250 千米为半径的圆上或圆内 的点将遭受台风影响,所以 B 在圆上或圆内时,气象台将受台风影响。 所以令 | AB |≤ 250 ,即 (300 + 20 2t ) 2 + ( 20 2t ) 2 ≤ 250 2 整理得 16t 120 2t + 275 ≤ 0 解得
2

15 2 5 7 15 2 + 5 7 ≤t ≤ , 1.99 ≤ t ≤ 8.61 4 4

故大约 2 小时后,气象台 A 所在地将遭受台风影响,大约持续 6 个半小时。


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