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圆锥曲线与轨迹方程单元检测题(命题人:赵振东)


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选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,恰有一项 是符合题目要求的。 1、一动圆 P 与圆 O:x2+y2=1 外切,与圆 C:x2+y2-6x+8=0 内切,那么动圆圆心 P 的轨迹 是( ) A、双曲线的一支 B、椭圆 C、抛物线 D、圆 2、 已知椭圆的焦点是 F1、 P 是椭圆上的一个动点. F2, 如果延长 F1P 到 Q, 使得|PQ|=|PF2|, 那么动点 Q 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线

π
3、若θ∈[0,

2] ,则圆 x2+y2-2 2 xcosθ+4ysinθ=0 的圆心的轨迹是(



4、设圆(x+1)2+y2=25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点,AQ 的垂 直平分线与 CQ 的连线的交点为 M,则 M 点的轨迹方程是( )

4x 2 4 y 2 4x 2 4 y 2 ? =1 + =1 25 25 A、 21 B、 21

4x 2 4 y 2 ? =1 21 C、 25

4x 2 4 y 2 + =1 21 D、 25

5、M 为抛物线 y=x2 上一动点,O 为坐标原点,以 OM 为边作正方形 MNPO,则动点 P 的 轨迹方程是( ) A、y2=x B、y2=-x C、y2=x 或 y2=-x D、y=x2 或 x2=-y 6、与两点 (?3,0), (3,0) 距离的平方和等于 38 的点的轨迹方程是 ( )

( A) x 2 ? y 2 = 10 (C ) x 2 + y 2 = 38

( B ) x 2 + y 2 = 10 ( D ) x 2 ? y 2 = 38

7、过椭圆 4x2+9y2=36 内一点 P(1,0)引动弦 AB,则 AB 的中点 M 的轨迹方程是( ) A.4x2+9y2-4x=0 B.4x2+9y2+4x=0 C.4x2+9y2-4y=0 D.4x2+9y2+4y=0 8、已知点 P 是直线 2x-y+3=0 上的一个动点,定点 M(-1,2),Q 是线段 PM 延长线上的一点,且 |PM|=|MQ|,则 Q 点的轨迹方程是( ) A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0

x2 y2 + 5 =1 上的动点,过 P 作椭圆长轴的垂线,垂足为 M,则 PM 中点的轨迹 9、P 是椭圆 9
方程为: ( )

4 2 y2 x + =1 5 A、 9

x2 4 2 + y =1 5 B、 9

x2 y2 + =1 20 C、 9

x2 y2 + 5 =1 D、 36

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10、抛物线 y = 4 x 经过焦点的弦的中点的轨迹方程是
2

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( )

( A) y 2 = x ? 1 (C )

( B ) y 2 = 2( x ? 1)

y2 = x ?

1 2

( D) y 2 = 2 x ? 1

x2 y 2 + =1 A A 4 11、已知椭圆 9 的左、右顶点分别为 1 和 2 ,垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆
的两个交点分别为 方程

P 1



P2

,其中

P 1

的纵坐标为正数,则直线 ( )

A1 P 1



A2 P2

的交点 M 的轨迹

x2 y 2 + =1 ( A) 9 4 x2 y 2 ? =1 (C ) 9 4

y 2 x2 + =1 ( B) 9 4 y 2 x2 ? =1 ( D) 9 4

12、已知正方体 AC1,P 是侧面 BB1CC1 内一动点,若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相 等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( ) A、直线 B、椭圆 C、抛物线 D、圆 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。不需要写出解答过程,请把答案直 接填空在相应位置上。 13、到点 A(-1,0)和直线 x=3 距离相等的点的轨迹方程是 .

x2 ? 14、设 P 为双曲线 4 y2=1 上一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点,则点 M 的
轨迹方程是 . 15、与圆(x+2)2+y2=1 外切且与直线 x=1 相切的圆的圆心的轨迹方程是 。

x2 y2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 2 b 16、已知双曲线 a 上任一点 P,过 F1 与 ∠ F1PF2 的角平分线垂直
的直线交 ∠ F1PF2 的角平分线与 M 点,则 M 点的轨迹方程是 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。请在指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 17、 (本题满分 12 分)

? ABC 的三边 a>b>c 成等差数列,A(-1,0),C(1,0),求定点 B 的轨迹方程。

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18、 (本题满分 12 分)

x2 8y2 + 2 2 b =1(a>b>0)的左、右两个焦点. 设 F1、F2 分别为椭圆 C: a
3 (1)若椭圆 C 上的点 A(1, 2 )到 F1、F2 两点的距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和
焦点坐标; (2)设点 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 F1K 的中点的轨迹方程;

19、 (本题满分 12 分) 设点 A 和 B 为抛物线 y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知 OA⊥OB,OM⊥AB, 求点 M 的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.

20、 (本题满分 12 分) 如图,直线 l1 和 l2 相交于点 M,l1⊥l2,点 N∈l1.以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一点 到 l2 的 距 离 与 到 点 N 的 距 离 相 等 . 若 △ AMN 为 锐 角 三 角 形 ,

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|AM|=

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17 ,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段 C 的方程.

21、 (本题满分 12 分)

x2 y2 + 已知椭圆 24 16 =1,直线 l:x=12.P 是直线 l 上一点,射线 OP 交椭圆于点 R.又点 Q 在
OP 上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2.当点 P 在直线 l 上移动时,求点 Q 的轨迹方程,并说明轨迹 是什么曲线.

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22、 (本题满分 14 分) 给出定点 A(a,0) (a>0) 和直线 l: x=-1.B 是直线 l 上的动点,∠BOA 的角平分线交 AB 于点 C.求点 C 的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类 型与 a 值的关系(a≠1.)

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参考答案: 1、A(提示:设动圆半径为 r,则 PO=r+1,PC=r-1,则 PO-PC=2) 2、A(提示:由第一定义得,|PF1|+|PF2|为定值∵|PQ|=|PF2|∴|PF1|+|PQ|为定值,即|F1Q|为定 值.)

π
3、D(提示:利用特殊值 θ =0 时圆心为( 2 ,0) θ = 2 时圆心为(0,1)排除其他答案) , 4、D(提示:因为|MQ|=|MA|,所以|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,因此 M 点的轨迹是焦点 在 x 轴的椭圆) 5、C(提示:相关点法求轨迹) 6、B(提示:利用直接法)

y1 ? y 2 4x y =? = x ? x2 9 y x ? 1 ,化简即得) 7、A(提示:设 A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆相减得 1
8、D(提示:由已知得 M 是 PQ 中点,利用相关点法可求) 9、B(提示:相关点法求轨迹) 10、B(提示:同 7 题)

2 9 ? a2 2 2 2 2 ( x + 3) 9?a ? 9?a 11、C(提示:设 P1(a, 3 ), P2(a, 3 ),则 A1P1:y= 3( a + 3) , ? 2 9 ? a2 ( x ? 3) 3(a ? 3) A2P2:y= ,两式相乘即得轨迹方程)
12、 C(提示: 易证 P 到直线 C1D1 的距离为 PC1,因此 P 到定点 C1 与定直线 BC 的距离相等, 轨迹为抛物线) 13、答案:y2=-8x+8(提示:利用直接法)

14、.答案:x2-4y2=1(提示:设 P(x0,y0)

∴M(x,y)∴

x=

x0 y ,y= 0 2 2

4x2 ∴2x=x0,2y=y0∴ 4 -4y2=1 ? x2-4y2=1)
15、y2=-8x(提示题设条件可以转化为圆心到(-2,0)与直线 x=2 距离相等) 16、答案:x2+y2=a2(提示:延长 PF2 交 F1M 的延长线与 Q,由||PF1|-|PF2||=2a,易证

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? PF1M ? ? PQM,|PF1|=|PQ|,|F2Q|=2a, Q 点的轨迹方程是(x-c)2+y2=4a2,设 M(x,y), 即 Q(m,n),

m?c n 则 x= 2 ,y= 2 ,m=2x+c,n=2y 代入并化简可得)
17、解答:设 B(x,y),因为 a+c=2b,即|BC|+|BA|=4,由椭圆定义知,B 点轨迹是椭圆,方

x2 y2 + =1 3 程为 4 ,又 a>b>c,即|BC|>|BA|,因此 x<0,又当 x=-2 时构不成三角形,因此 B x2 y2 + =1 3 点轨迹方程为 4 (-2<x<0)
18、.解: (1)椭圆 C 的焦点在 x 轴上, 由椭圆上的点 A 到 F1、F2 两点的距离之和是 4,得 2a=4,即 a=2.

3 ( )2 1 3 + 22 2 b =1 得 b2=3,于是 c2=1. 又点 A(1, 2 )在椭圆上,因此 2

x2 y2 + 4 3 =1,焦点 F1(-1,0) 所以椭圆 C 的方程为 ,F2(1,0).
(2)设椭圆 C 上的动点为 K(x1,y1) ,线段 F1K 的中点 Q(x,y)满足:

x=

? 1 + x1 y ,y= 1 2 2 , 即 x1=2x+1,y1=2y.

(2 x + 1) 2 (2 y ) 2 1 2 4y2 =1 + (x + ) + 4 3 =1.即 2 3 因此 为所求的轨迹方程.
19、解:点 A,B 在抛物线 y2=4px 上,

yA yB 设 A( 4 p ,yA) ,B( 4 p ,yB) ,OA、OB 的斜率分别为 kOA、kOB.
k OA =


2

2

yA 4p 4p = , k OB = 2 yA yB 16 p 2 yA y y 4p .由 OA⊥OB,得 kOA·kOB= A B =-1
2



yA 依点 A 在 AB 上,得直线 AB 方程, (yA+yB) (y-yA)=4p(x- 4 p )
y A + yB x ? 4p 由 OM⊥AB,得直线 OM 方程 y= ③



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x 设点 M(x,y) ,则 x,y 满足②、③两式,将②式两边同时乘以- 4 p ,并利用③式 x 整理得, 4 p yA2+yyA-(x2+y2)=0



x 由③、④两式得- 4 p +yByA-(x2+y2)=0,
由①式知,yAyB=-16p2,∴x2+y2-4px=0. 因为 A、B 是原点以外的两点,所以 x≠0. 所以点 M 的轨迹是以(2p,0)为圆心,以 2p 为半径的圆,去掉坐标原点. 20、建立坐标系,以 l1 为 x 轴,MN 的垂直平分线为 y 轴,点 O 为坐标原点. 依题意知:曲线段 C 是以点 N 为焦点,以 l2 为准线的抛物线的一段,其中 A、B 分别为 C 的端点. 设曲线段 C 的方程为 y2=2px(p>0)(xA≤x≤xB,y>0) , 其中 xA、xB 分别为 A、B 的横坐标,p=|MN|.

所以 M( 由|AM|=

?

p p 2 ,0) ,N( 2 ,0)

17 ,|AN|=3 得

p (xA+ 2 )2+2pxA=17 ? p 2 )2+2pxA=9



(xA



4 由①②两式联立解得 xA= p ,再将其代入①式并由 p>0

?p = 4 ?p = 2 ? ? ?x A = 1或 ?x A = 2 解得 p 因为△AMN 是锐角三角形,所以 2 >xA, ?p = 2 ? ?x A = 2

故舍去

所以 p=4,xA=1.

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由点 B 在曲线段 C 上,得 xB=|BN|

?

p 2 =4.

综上得曲线段 C 的方程为 y2=8x(1≤x≤4,y>0) . 21、如图,设点 P、Q、R 的坐标分别为(12,yP)(x,y)(xR,yR) , , ,由题设知 xR>0, x>0. 由点 R 在椭圆上及点 O、Q、R 共线,得方程组

? xR 2 yR 2 + =1 ? ? 24 16 ? ? yR = y ? xR x ?

? 2 48 x 2 ?xR = 2 x 2 + 3 y 2 ? ? 2 ? x 2 = 48 y ? R 2x 2 + 3y 2 ? 解得:





yP y 12 y = yP = x ,即 x 由点 O、Q、R 共线,得 12
由题设|OQ|·|OP|=|OR|2,得



x 2 + y 2 ? 12 2 + y P = ( x R + y R ) 2
2 2 2

.

将①、②、③代入上式,整理得点 Q 的轨迹方程

y2 2 (x-1)2+ 3 =1(x>0). 6 所以,点 Q 的轨迹以(1,0)为中心,长、短半轴长分别为 1 和 3 且长轴在 x 轴上的椭
圆,去掉坐标原点. 22、依题意,记 B(-1,b) (b∈R) ,则直线 OA 和 OB 的方程分别为 y=0 和 y=-bx.设点 C(x,y) ,则有 0≤x<a,由 OC 平分∠AOB,知点 C 到 OA、OB 距离相等.根据点到直线 的距离公式得

| y + bx |
|y|=

1+ b2 ①

b 依题设,点 C 在直线 AB 上,故有:y=- 1 + a (x-a)

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(1 + a) y 由 x-a≠0,得 b=- x ? a ②
(1 + a) 2 y 2 (1 + a ) xy 2 将②式代入①式得:y2[1+ ( x ? a ) ]=[y- x ? a ]2.
整理得:y2[ (1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0 若 y≠0,则(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0<x<a) ; 若 y=0,则 b=0,∠AOB=π,点 C 的坐标为(0,0).满足上式. 综上得点 C 的轨迹方程为: (1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x<a). ∵ a≠1,

a 2 ) 2 1? a + y =1 a 2 a2 ( ) 1? a 1? a2 (0≤r<a ) ③ ∴ (x ?
由此知,当 0<a<1 时,方程③表示椭圆弧段; 当 a>1 时,方程③表示双曲线一支的弧段.

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