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《1.4.3正切函数的图象与性质》课件2


1.4.3 正切函数的性质与图象

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【课标要求】 1.能画出 y=tan x 的图象.
? π π? 2.理解正切函数在?-2,2?上的性质. ? ?

【核心扫描】 1.画正切函数的图象.(重点) 2.正切函数的性质.(

重点、难点) 3.正切函数定义域及正切曲线的渐近线.(易错点)

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自学导引 函数 y=tan x 的性质与图象 y=tan x

图 象

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定义域

? ? π ? ? ?x|x≠kπ+ ,k∈Z? 2 ? ? ? ?

值域 周期 奇偶性 单调性

R π 奇函数
? π ? π 在开区间?-2+kπ,2+kπ?(k∈Z)上都是增函数 ? ?

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想一想:正切函数在整个定义域内是增函数吗? π 2 π 提示 不是. 例如取 x1=4, x2=3π, 显然 x1<x2, 但 y1=tan 4= 2 1,y2=tan 3π=- 3,y1>y2,不符合增函数的定义.

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名师点睛 1.正切函数的定义域和值域 (1)当角 x 的终边在 y 轴上时,显然正切线不存在,故正切函数的定
? ? ? π 义域为?x?x≠2+kπ,k∈Z ? ? ? ? ? ?. ? ?

π π (2)当角 x 大于-2且无限接近于-2时,正切线 AT 向 y 轴的负方向 π π 无限延伸;当角 x 小于2且无限接近2时,正切线 AT 向 y 轴的正方 向无限延伸.因此 tan x 值和最小值. 所以正切函数的值域是实数集 R.
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? π π? 在?-2,2?内可以取任意实数,但没有最大 ? ?

2.正切函数的周期性、奇偶性 (1)因为 tan(π+x)=tan x 对于定义域内的任意 x 恒成立, 从而正 切函数是以 π 为周期的函数,且最小正周期是 π. π (2)函数 y=Atan(ωx+φ)的最小正周期是 T=|ω|. (3)因为 tan x
? ? ? π ? ? 的定义域是 x x≠kπ+2,k∈Z ? ? ? ? ? ?,所以定义域关 ? ?

于原点对称.又因为 tan (-x)=-tan x,所以 y=tan x 为奇函 数.

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3.正切函数的单调性
? π π? 由正切线的变化规律可以得到正切函数在 ?-2,2? 内是增函 ? ?

数.又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间
? π ? π ?- +kπ, +kπ?,k∈Z 2 ? 2 ?

内都是增函数.

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4.函数 y=tan x 的图象的对称中心有两类:一类是图象与 x 轴 的交点,即(kπ,0)(k∈Z),另一类是函数值不存在的点,即
? ? ? π ?kπ+ ,0?(k∈Z).这两类对称中心可以合并为? ? 2 ? ? ?

kπ ? ? , 0 ?(k∈Z). 2 ?

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题型一

与正切函数有关的定义域问题

【例 1】 求函数 y= tan x+1+lg(1-tan x)的定义域. [思路探索] 解答本题可先列出使每个式子有意义的不等式组, 然后解不等式组.

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? ?tan x+1≥0, 由题意得? ? ?1-tan x>0,

即-1≤tan x<1. x
? π π? 的取值范围是?-4,4?. ? ?

? π π? 在?-2,2?内,满足上述不等式的 ? ?

又 y=tan x 的周期为 π, 所以所求 x 规律方法
? π π? 的范围是?kπ-4,kπ+4?(k∈Z). ? ?

求定义域时,要注意正切函数自身的限制条件,另

外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线.

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1 【变式 1】 求函数 y= 的定义域. 1+tan x 1 解 要使函数 y= 有意义, 1+tan x 1+tan x≠0, ? ? 则有? π x≠kπ+2?k∈Z?, ? ? π π 即 x≠kπ-4且 x≠kπ+2(k∈Z). 所以函数的定义域为
? ? ? π π ?x?x∈R,且x≠kπ- ,x≠kπ+ ,k∈Z 4 2 ? ? ?
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? ? ?. ? ?
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题型二 【例 2】 (1)求函数

正切函数的单调性及应用

? 1 π? y=tan?-2x+4?的单调区间; ? ?

(2)比较 tan 1、tan 2、tan 3 的大小. [思路探索] (1)可先将原式转化为
?1 π? 1 π ? ? y=-tan 2x-4 , 从而把2x-4 ? ?

? π ? π 整体代入?-2+kπ,2+kπ?,k∈Z ? ?

这个区间内,解出 x 便可.

(2)可先把角化归到同一单调区间内,即利用 tan 2=tan (2-π), tan 3=tan (3-π), 最后利用 y=tan x 大小关系.
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? π π? 在?-2,2?上的单调性判断 ? ?



? 1 ?1 π? π? (1)y=tan?-2x+4?=-tan?2x-4?, ? ? ? ?

π 1 π π 由 kπ-2<2x-4<kπ+2(k∈Z), π 3 得 2kπ- <x<2kπ+ π,k∈Z, 2 2 ∴函数
? 1 π? y=tan?-2x+4?的单调递减区间是 ? ?

? π 3 ? ?2kπ- ,2kπ+ π?,k∈Z. 2 2 ? ?

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(2)∵tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π), π π 又∵ <2<π,∴- <2-π<0. 2 2 π π ∵2<3<π,∴-2<3-π<0, π π 显然-2<2-π<3-π<1<2, 且 y=tan x
? π π? 在?-2,2?内是增函数, ? ?

∴tan (2-π)<tan (3-π)<tan 1,即 tan 2<tan 3 <tan 1.

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规律方法 求 y=Atan(ωx+φ)的单调区间,可先用诱导公式把 π π ω 化为正值,由 kπ-2<ωx+φ<kπ+2求得 x 的范围即可.比较 两个同名函数的大小,应保证自变量在同一单调区间内.

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【变式 2】 求函数 解 间.

? π? y=tan?3x-3?的单调区间. ? ?

我们可以利用正切函数的单调性来求所给函数的单调区

由于正切函数 y=tan

? π ? π x 在区间?-2+kπ,2+kπ?(k∈Z)上为增函 ? ?

kπ π kπ 5π π π π 数,因此令-2+kπ<3x-3<2+kπ,解得 3 -18<x< 3 +18(k∈
? kπ π kπ 5π? ? Z),从而函数的单调递增区间为? 3 -18, 3 +18? ?(k∈Z). ? ?

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题型三

利用函数图象研究三角函数性质

【例 3】 画出函数 y=|tan x|的图象,并根据图象判断其单调区 间、奇偶性、周期性. 审题指导 画y=tan x图象 → y=|tan x|图象 → 研究性质 [规范解答] 由 y=|tan x|得, ? ?tan x, y=? ?-tan x, ? 其图象如图. π kπ≤x<kπ+2?k∈Z?, π -2+kπ<x<kπ?k∈Z?.

(3 分)

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(6 分) 由图象可知,函数 y=|tan x|是偶函数,
? ? π 单调递增区间为?kπ,2+kπ?(k∈Z), ? ? ? π ? 单调递减区间为?-2+kπ,kπ?(k∈Z), ? ?

(8 分)

(10 分) (12 分)

周期为 π.

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【题后反思】(1)作函数 y=|f(x)|的图象一般利用图象变换方法, 具体步骤是: ①保留函数 y=f(x)图象在 x 轴上方的部分; ②将函数 y=f(x)图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折. (2)若函数为周期函数,可先研究其一个周期上的图象,再利用 周期性,延拓到定义域上即可.

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【变式 3】 求函数 y=-tan x+10tan 解 设 tan x=t,
?π π ? ∵x∈?4,3?,∴t∈[1, ? ?

2

?π π ? x-1,x∈?4,3?的值域. ? ?

3],

∴y=-tan2x+10tan x-1 =-t2+10t-1=-(t-5)2+24. π ∴当 t=1,即 x= 时,ymin=8. 4 π 当 t= 3,即 x=3时,ymax=10 3-4. ∴函数值域为[8,10 3-4].
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误区警示

误认为正切函数在定义域内是增函数而致错

【示例】 关于正切函数的单调性,有下列命题: ①正切函数 y=tan x 是增函数; ②正切函数 y=tan x 在其定义域上是增函数; ③正切函数 y=tan x (k∈Z)内是增函数; ④正切函数 y=tan x
? ? π? ?π 在?0,2?∪?2,π?上是增函数. ? ? ? ? ? π ? π 在每一个开区间?-2+kπ,2+kπ? ? ?

其中正确的是________(填序号).

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[错解] ②③④ π 5 (1)正切函数在定义域内不是增函数,如 x1=4,x2=4 π,x1<x2,但 tan x1=tan x2;(2)正切函数在每一个开区间内图象 π 3 从左向右是上升的, 故③正确; (3)令 x1=4, x2=4π, 虽有 x1<x2, 但 tan x1>tan x2,故④错误.从而正确的命题只有③.

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[正解] ③ π 正切函数的图象被直线 x=kπ+2(k∈Z)隔开, 所以它
? π π? 的单调区间只在?kπ-2,kπ+2?(k∈Z)内, 而不能说它在定义域 ? ?

内是增函数.

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