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解析几何(含答案)


解 析 几 何
1. (2006 年全国联赛题)给定整数 n≥2,设 m0 ( x 0, y 0) 是抛物线 y 2 ? nx?1 与直线 y ? x 的 一个交点,试证明:对于任意正整数 m,必 存在整数 k≥2,使 ( x 0 , y ) 为抛物线 y ? nx ? 1
m m

2

0

与直

线 y ? x 的一个交点。 证明 因为 y 2 ? nx ? 1 与 y ? x 的交点为
1 n ? n2 ? 4 x ? ? n. 若 x0 ? yo ? , 显然有 0 x0 2
2 为抛物线 y ? kx ? 1 与直线

m m ( x0 , y0 )

y ? x 的一个交
1 , m x0

1 k ? x ? , m 点,则 x0
m 0



m km ? x0 ?

则 (1 )

km?1 ? km ( x0 ?

1 ) ? km?1 x0

? nkm ? km?1 (m ? 2)


k2 ? x 2 ?



k1 ? n









1 1 2 ? ( x ? ) ? 2 ?02n ? 2 也是整数,所以根 2 0 x0 x0
1 m x0

据数学归纳法,通过(1)式可证明:对于 一切正整数 m, km ? x0
m

?

是正整数。
m 0

现在对于任意正整数 m 取使 k ? x
1

?

1 ,得 xm 0

m m , y0 )。 y 2 ? kx ? 1 与 y ? x 的交点为 ( x0

x2 y 2 2.椭圆 52 ? 42 ? 1 上有 16 个点,顺次为点

p1 , p2 ,

, p16 , 点 F 为左焦点, 每每相邻两点

与 点 F 连 线 夹 角 都 相 等 ( ?p1Fp2 ? ?p2 Fp3 ? ? ?p16 Fp1 ) 。设 p 到左准线
i

的距离为 d i ,求 ?
i ?1

16

1 di
c 3

分析
2

椭圆的半长轴 a ? 5, 半短轴 b=4,从而
2

c ? a ? b ? 3, 左焦点 F (?3, 0), 离心率 e ? ? , 以 a 5

pi F ?e 椭圆性质 di 为解题的突破口。 解 如 图 , a ? 5, b ? 4c ? 3,
?xFp1 ? ? .?p1 Fp2 ? ?p2 Fp3 ?
2


?
8 .

? ?p16 Fp1 ?

? ? ? a ? c ? 16 FM ? di ? p1F cos ?(i ? 1) ? ? ? ? 8 c 3 ? ?

(1)

由椭圆的定义,得 pi F ? edi ?

c 3 di ? di . a 5

2

3 ? (i ? 1)? ? 16 d ? d cos ? a ? . i i 代入(1) ,有 5 ? ? ? 8 ? 3

1 3 1? ? (i ? 1)? ?? ? ? 5 ? 3cos ? a ? (i ? 1, 2, 解得 d 16 5 ? ? ? 8 ? ?? ? i
16 1 3 ? 16 ? (i ? 1)? ?? ? 5 ? 3 cos ? a ? ? ? ? 故? ? ? d 80 8 ? ? i ?1 i i ?1 ? i ?1 ? 16

,16).

9 16 ? (i ? 1)? ? cos ? ? a? . = 3 ? 80 ? ? 8 ? i ?1

? (i ? 1)? ? ? 16 cos ? ? a? ? 又? 8 ? ? i ?1 i ?1
16

2sin

? ? ? cos ?(i ? 1) ? a ? 16 8 ? ?
2sin

?

?

16

?

1 2sin

?
16

sin ? ? (i ? 1) ? a ? ? sin ? ?? 8 ? ? ? ?16
i ?1

16

?

??

?

?

? ?? ? (i ? 1)? ? a ? ?? 8 16 ? ?

16? ? ? ? ? ? sin( a ? ) ? sin( a ? )? ? 0 所以 i ?1 ? ? 8 16 16 ? ? 2sin 16 1

1 ? d ? 3. i

16

3.在平面直角坐标系 xoy 中,给定三点 A
4 (0, 3 ) ,B(-1,0)C(1,0) ,点 P 到

直线 BC 的距离是该点到直线 AB, AC 距离
3

的等比中项。 (1)求点 P 的轨迹方程; (2)若直线 L 经过 ?ABC 的内心(设为 D 点) ,且与点 P 的轨迹恰好有 3 个公共点。 求直线 L 的斜率 K 的取值范围。 分析 根据距离关系,列出方程,再将交 点的问题转化为方程解得问题,不难得出本 题解题途径。 解 (1)直线 AB,AC,BC 的方程依次

4 4 y ? ( x ? 1), y ? ? ( x ? 1), y ? 0 为 3 3
点 P( x, y) 到 AB, AC ,BC 的距离依次为

1 d1 ? | 4 x ? 3 y ? 4 | 5

1 d2 ? | 4 x ? 3 y ? 4 | 5

d3 ? y

2 2 2 且 d1d2 d3 ? 0 , 依据设得 |16x ? (3 y ? 4) |? 25 y

2 2 2 16 x ? (3 y ? 4) ? 25 y ?0 即

2 2 2 16 x ? (3 y ? 4) ? 25 y ?0 或

4

化简得点 P 的轨迹方程为:
S : 2 x2 ? 2 y 2 ? 3 y ? 2 ? 0

圆 线







T :8x2 ?17 y 2 ? 12 y ? 8 ? 0 ,且不含 B,C 两
点。 (2)由(1)知,点 P 的轨迹包含两部分

2x2 ? 2 y 2 ? 3 y ? 2 ? 0 (1)与
8x2 ?17 y 2 ? 12 y ? 8 ? 0
两点) 由 d1 ? d2 ? d3 ,知 的内心 D 是适合题设 S 上。
? 1? D 0, ? ,且知它在圆 条件的点,解得 ? ? 2?

(2) (不含 B,C

直线 l 经过 D,且与点 P 的轨迹有 3 个公共 点,所以,直线 l 的斜率存在。

1 y ? kx ? 设直线 l 的方程为 2
的公共点 D ,此时,直线 y ?

(3)
1 平行于 x 轴, 2

1)当 k ? 0 时,直线 l 与圆 S 相切,有唯一 表明直线 l 与双曲线 T 有不同于 D 的两个公
5

共点,所以,直线 l 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。 2) 当 k ? 0 时,由于 B,C 两点不在轨迹上, 1 k ? ? 所以 2 ,这时,直线 l 与点 P 的轨迹恰 好有 3 个公共点,必有直线 l 与圆 S 有两个 不同的交点,且直线 l 与双曲线 T 有且只有一

?8 x2 ?17 y 2 ?12 y ?8?0 ? ? 1 个公共点,即方程组 ? 有且 y ? kx ? ? 2
只有一组实数解,消去 y 并化简得
(8 ? 17 k 2 ) x 2 ? 5kx ? 25 ? 0 该方程有唯一实数解 4
2

得充要条件是 8 ? 17k ? 0
25 或 (?5k ) ? 4(8 ? 17k ) 4 ? 0
2 2

(4) (5)

解(4)得 k ? ?

2 2 34 k ? ? 2 17 ,解(5)得

综上所述,直线 l 的斜率 K 的取值范围是有

6

? 2 34 2? ? ? ,? ? o, ? ? 限集 ? 17 2 ? ? ?
4、如图,双曲线的中心在坐标原点 O,焦点 在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1 , l2 ,经过右 焦点 F 垂直于 l 的直线分别交 l1 , l2 于 A,B 两
1

点。又已知该双曲线的离心率 e ?

5 2

(1)求证: OA , AB , OB 依次成等差数列 (2) 若 F ( 5, 0) , 求直线 AB 在双曲线上所截 得的弦 CD 的长度。

x2 y 2 ? ?1 分析 (1) 设属双曲线的方程为 a 2 b 2
先 得 出 a, b, c 所 满 足 的 关 系 式 , 再 寻 求
| OA |,| AB |,| OB | 之间的关系; (2)在(1)的

基础上求出 a, b, c 的值, 得到双曲线的方程 和直线 AB 的方程,再来求解。
7

解 (1)如图 5,由已知
2 5 c 5 4 2 2 2 e ? ,即 2 ? , 故a ? c (1) 4 a 4 5 1 b2 ? c2 ? a 2 ? c 2 从而 (2) 5

c b 1 5 ? ? a 2c 2 故 5
1 tan ?? 设 ?AOF ? ?BOF ? ? , 则 2 ,故
2 t a? n tan ?A O B? t a ? n 2? 1 ? t a 2n ?

| AB | 4 4 ? ? 即 | OA | 3 3

B| ? 4m , |O B| ? 5m ,满 令 | OA |? 3m(m ? o) ,则 | A

| B | 足 | OA | ? | OB |? 2 | AB | , 所 以 | O A | , |A B | , O
依次成等差数列。
2 c ? 5, 代 入 ( 1 ) (2)由已知 (2)得

8

2 x 2 a2 ? 4, b2 ? 1, 于是双曲线的方程为 ? y ? 1。 4

设 直 线 AB 的 斜 率 为 k , 则 k?t a ? n B F ? X t ? a ?n A F ? O 于是直线 AB 的方程为: y ? 2( x ? 5), 联立

c ?o

? y ? 2( x ? 5 ) ? ? 2 2 y x 15 x ? 32 5x ? 84 ? 0 , ? ? y 2 ?1 消 得 ? 4
故 弦 CD 的 长 度
2 ( ? 32 5) ? 4 ?15 ? 84 4 ? | CD |? 1 ? k 2 ? ? 5? ? 15 15 3

5、已知抛物线

C: y ?

1 2 x 2 与直线

L:y ? kx ? 1

没有公共点,设点 P 为直线 L 上的动点,过 P 作抛物线 C 的两条切线,A,B 为切点。 (1)证明:直线 AB 恒过定点 Q ; (2)若点 P 与(1)中的定点 Q 的连线交抛
PM QM ? 物线 C 于 M,N 两点,证明: , PN QN
9

分析 (1)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P(x0 , kx0 ? 1), 分别求出抛物线 C 在 A,B 两点处的切线方 程,得到直线 AB 的方程(用 x0 和 k 表示) , 再根据 x0 的任意性说明直线 AB 过定点。 (2 ) 设 M ( x3 , y3 ), N ( x4 , y4 ), 则可知要证 需
2x3
x3 ? x4 ? x? 0 x0?
3




k

?

| PM | | QM | ? | PN | | QN | ,只 k 3 x , 即k 证 x4
4

? x4 ( ?

0

)

x ? (

x?

)

x

?2

0

k

0x

证明 (1) 设 A( x1, y1 ) , 则 y1 ?
1

1 2 1 x1 . 由 y ? x 2 得 y' ? x , 2 2

所以 y' |x?x ? x1 于是 抛物 线 C 在 A 点处 的 切线 方程为 y ? y1 ? x1 ( x ? x1 ) ,即 y ? x1x ? y1 。 设 P( x0 , kx0 ?1), 则有 kx0 ?1 ? x0 x1 ? y1 设 B( x2 , y2 ) ,同理有 kx0 ?1 ? x0 x2 ? y2 所以 AB 的方 程为 kx0 ?1 ? x0 x ? y 即 x0 ( x ? k ) ? ( y ?1) ? 0 ,所以直线 AB 恒过定点
Q(k ,1)

(2) PQ 程
2

的方程为 y ?

kx0 ? 2 ( x ? k ) ? 1与抛物线方 x0 ? k
y

y?

1 2 x 2

联 立 , 消 去

, 得 设

2kx0 ? 4 (2k 2 ? 2) x0 ? 2k x ? x? ?0 x0 ? 4 x0 ? k
10

M ( x3 , y3 ), N ( x4 , y4 ) 则

2kx0 ? 4 (2k 2 ? 2) x0 ? 2k x3 ? x4 ? , x3 x4 ? x0 ? k x0 ? k

(1) ,即 (2)

x3 ? x0 k ? x3 | PM | | QM | ? 要证 | PN | | QN | 只需证明 x ? x ? x ? k 4 0 4

2x3 x4 ? (k ? x0 )( x3 ? x4 ) ? 2kx0 ? 0

由(1)知
2(2k 2 ? 2) x0 ? 4k 2kx0 ? 4 ? ? ( k ? x ) ? 2kx0 0 (2)式左边 x0 ? k x0 ? 4

?

1 2 ? 2(2 k ? 2) x0 ? 4k ? (k ? x0 )(2kx0 ? 4) ? 2kx0 ( x0 ? k ) ? ??0 x0 ? k ?

故(2)式成立,从而结论成立。 6、如图,过抛物线 y ? x 上的一点 A(1,1) 作抛物线的切线,分别交 x 轴于 D,交 y 轴于 B,点 C 在抛物线上,点 E 在线段 AC 上,
2

AE BF ? ? ;点 F 在线段 BC 上,满足 ?? , 满足 EC FC
1 2

且 ? ? ? ? 1 ,线段 CD 与 EF 交于点 P,当点 C 在抛物线上移动时,求点 P 的轨迹方程。
1 2

11

利用抛物线切线的求法,结合等式 ?1 ? ?2 ? 1 , 列出方程, 不难求出动点 P 的轨迹 方程, ,对 ?1,?2 的不同求法,应有不同的解题 途径。 解法 1 过抛物线上点 A 的切线的斜率为: y' ? 2x |x?1 ? 2 ,故切线 AB 的方程为 y ? 2 x ? 1 ,于 是 B, D 的坐标分别为 B(0, ?1), D( 2 , 0), 所以 D 是 线段 AB 的中点。
AE ? ? 知, 设 P( x, y), C( x0 , x02 ), E( x1, y1), F ( x2 , y2 ) 则由 EC
1

分析

1

x1 ?

2 1 ? ?1 x0 1 ? ?1 x0 , y1 ? 1 ? ?1 1 ? ?1

BF ? ? ,得 x 由 FC
2

2

?

2 ?2 x0 ?1 ? ?2 x0 , y2 ? 1 ? ?2 1 ? ?2

所 以 , EF
y?

所 在 直 线 方 程 为 : 化简得 (1)
y?
2 2 2 x0 x ? x0 2 x0 ? 1

2 1 ? ?1 x0 1 ? ?1 x0 x? 1 ? ?1 1 ? ?1 ? 2 2 ? x 1 ? ?1 x0 ?1 ? ?2 x0 1 ? ?1 x0 2 0 ? ? 1 ? ?2 1 ? ?1 1 ? ?2 1 ? ?1

2 2 ?(?2 ? ?1 ) x0 ? (1 ? ?2 )? y ? ? ?(?2 ? ?1 ) x0 ? 3? ? x ? 1 ? x0 ? ?2 x0



x0 ?

1 2

时 直 线 CD 的 方 程 为
? x ? x0 ?1 ? 3 ? ? y ? x02 ? 3

(2) 联立(1) (2)解得
(3 x ? 1) , 迹方程为 y ? 1 3
2

消去 x ,得 P 点轨
0

12

当x

0

?

1 2

1 1 3 1 y ? ( ? ? ? ? 3) x ? ? ? , 时,EF 的方程为 ? 3 2 4 4 2 4
2 1 2

CD 的方程为 x ? 1 2
1 , ) 也在点 P 的轨迹上。因 C 联立解得 ( x, y) ? ( 1 2 12

与 A 不能重合,x
1 2 y ? (3 x ? 1) 2 ( x ? ) 3 3

0

? 1, x ?

2 3

所以所求轨迹方程为



解法 2 过抛物线上点 A 的切线斜率为: y ? 2x | ? 2 ,故切线 AB 的方程 y ? 2 x ? 1
' x ?1

, 0) 所以 D 是 于是 B,D 的坐标分别为 B(0, ?1), D( 1 2

线段 AB 的中点。令
r? CD CA CB , t1 ? ? 1 ? ?1 , t2 ? ? 1 ? ?2 , CP CE CF

则t ?t
1

2

?3
? 2S?CAD ? 2S?CBD

因为 CD 为 ?ABC 的中线, 所以 S

?CAB

, 而

S S t ?t 1 CE ? CF S?CEF 1 1 1 3 ? ? ? ?CEP ? ?CFP ? ( ? ) ? 1 2 ? t1t2 CA ? CB S?CAB 2S?CAD 2S?CBD 2 t1r t2 r 2t1t2 r 2t1t 2 r

所以 r ? 3 ,故 P 是 ?ABC 的重心。 2 设 P(x, y), C(x , x ) ,因点 C 异于 A,则 x P 的坐标为
0 2 0
2 2 0 ? 1 ? x0 1 ? x0 ?1 ? 1 ? x0 x0 2 x? ? ( x ? ), y ? ? , 3 3 3 3 3

0

?1

,故重心

消去 x 得点 P 的轨
0

迹方程
13

1 2 y ? (3 x ? 1) 2 ( x ? ) 3 3

说明解析法解决几何问题,最大优点是 将几何中隐含的等量关系全部用代数式凸 显出来。 7、已知过点(0,1)的直线 L 与曲线 C:
1 y ? x ? ( x ? 0) x

交于两个不同点 M 和 N,求曲线 C

在点 M、N 处切线的交点轨迹。 分析 可设出直线 l 的方程和点 M,N 的坐 标,根据已知条件列出关系式进行推导。 解 设点 M,N 的坐标分别为 (x , y )和(x , y ) ,曲 线 C 在点 M,N 处的切线分别为 l , l 其交点 P 的坐标为 (x , y ) , 若直线 l 的斜率为 k , 则 l 的方程为 y ? kx ? 1 ,
1 1 2 2 1 2 P P

由方程组

? y? x? 1 x ? ? y ? kx ?1 ? ?

? kx ? 1即(k ? 1) x 消去 y ,得 x ? 1 x

2

? x ?1 ? 0

由题意知, 该方程在 (0, ??) 上有两个相异的实 根 x , x 故 k ? 1 ,且 ? ? 1 ? 4(k ? 1) ? 0 (1 )
1 2

x1 ? x2 ?

1 ?0 1? k

(2)
14

x1 x2 ?

1 ?0 1? k
'

? k ?1 (3)由此解得 3 4

1 y ? 1? , 对 y ? x? 1 求导,得 x x
2



y |x ? x1 ' ? 1 ?

1 ' 1 , y |x ? x2 ? 1 ? 2 2 x1 x2

,于是直线 l 的方程为
1

y ? y1 ? (1 ?

1 1 1 )( x ? x1 ), 即y ? ( x1 ? ) ? (1 ? 2 )( x ? x1 ) 2 x1 x1 x1 y ? (1 ? 1 2 )x ? 2 x1 x1
2

,化简得

(4 )
y ? (1 ? 1 2 )x ? 2 x2 x2

同理可求得直线l 的方程为 (5) (4)—(5) ,得 ( x1 ? x1 ) x
2 2 2 1 P

?

2 2 ? ?0 x1 x2

,因为 x ? x ,
1 2

故有 x

P

?

2 x1 x2 x1 ? x2

(6)
P

经将(2) (3)两式代入(6)式得 x ( 4 ) + ( 5 ) 得 (7) 其 中
1 1 x1 ? x2 ? ? ?1 x1 x2 x1 x2

?2

? 1 1 ? 1 1 2 yP ? ? 2 ? ( 2 ? 2 ) ? xP ? 2( ? ) x1 x2 ? x1 x2 ?



2 x ?x 2 ( x1 ? x2 )2 ? 2 x1 x2 1 1 x12 ? x2 ? ( 1 2 )2 ? ? 2? 2 2 ? 2 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2

? 1 ? 2(1 ? k ) ? 2k ? 1

代入(7)式得 2 y

P

? (3 ? 2k ) xp ? 2

,而 x

P

?2

,得 y

P

? 4 ? 2k

15

? k ? 1得2 ? y 又由 3 4

P

?

5 2



即点的轨迹为(2,2) , (2,2.5)两点间的 线段(不含端点) 。 说明 相关点法是解决此类问题的基本 思路。 8、过直线 L: 5x ? 7 y ? 70 ? 0 上的一点 P 作椭圆
x2 y 2 ? ?1 25 9

的切线 PM,PN,切点分别为 M、N,

连结 MN, (1)当 P 点在直线 L 上运动时,证明:直 线 MN 恒过定点 Q; (2)当 MN∥L 时,定点 Q 平分线段 MN。 分析 (1)设 P( x , y ) ,把直线 MN 的方程用 根据 x 的任意性说明直线 MN 过 x 表示出来, 定点,求出定点坐标; (2)若 MN// l ,则直 线 MN 与直线 l 的斜率相等, 由此求出 x 的值, 从而得到直线 MN 的方程,再说明线段 MN 的中点恰好就是点 Q。 证明 (1)设 P( x , y ) , M (x , y ), N (x , y ) ,则椭圆过 点 M,N 的切线方程分别为
0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 2

x1 x y1 y xx y y ? ? 1, 2 ? 2 ? 1 25 9 25 9

因为两切线都过点 P,则
16

x yy ? 有 x25 9
1 0 0 0

1 0

? 1,

x2 x0 y2 y0 ? ?1 25 9

这表明 M,N 均在直

线 x25x ? y9y ? 1,

(1)上,由两点决定一条直
0 0

线知, 式 (1 ) 就是直线 MN 的方程, 其中 (x , y ) 满足直线 l 的方程。 当点 P 在直线 l 上运动时,可理解为 x 取遍
0

一切实数,相应的 y 为 y
0

0

?

5 x0 ? 10 7

代 入 ( 1 ) 消 去 (2)

y0

, 得

x0 5 x ? 70 x? 0 y ?1 ? 0 25 63

x 5y 10 y ? )?( ? 1) ? 0 对一切 x ? R 恒成立。变形可得 x ( 25 63 9
0
0

对一切 x ? R 恒成立,故有
0
x 5y ? ?0 ? 25 ? 63 ? 10 y ?1? 0 ? ? 9

25 9 ,? )。 由此解得直线 MN 恒过定点 Q(14 10

(2)当 MN// l 时,由式(2)知
x0 5 x0 ? 70 25 ? 63 ? ?1 5 ?7 ?70

, 解得 x

0

?

4375 533

代入(2) ,得此时

MN 的方程为
5x ? 7 y ? 533 ?0 35

(3 )将此方程与椭圆方程
2

x 联立,消去 y 得 533 25

?

533 128068 x? ?0 7 1225

由此可得, 此时 MN 截椭圆所得弦的中点横
17

25 9 , ? ) 的横坐标,即 坐标恰好为点 Q(14 10

?533 x ?x 25 x? 1 2 ?? 7 ? 533 14 2 2? 25

代入(3)式可得弦中点纵坐
Q( 25 9 ,? ) 14 10

标 恰 好 为 点

的 纵 坐 标 , 即

5 25 533 1 125 533 9 y? ? ? ? ( ? )?? 7 14 7 ? 35 49 2 2 10
25 9 , ? ) 平分线段 MN。 这就是说,点 Q(14 10

说明 本题的结论可以推广到更一般 的 情 况 : 若 直 线 l Ax ? By ? C ? 0 与 椭 圆
x2 y 2 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b

相离, 过 l 上的点 P 作椭圆 C 的

切线 PM,PN,切点分别为 M,N。 (1)当点 P 在直线 l 上运动时,直线 MN 恒 过定点 Q(? Aa C
2

,?

Bb 2 ) C



(2)当 MN// l 时,定点 Q 平分线段 MN。 9、如图,已知抛物线 C: y ? 4 px( p ? 0) ,F 为 C 的焦点,L 为准线,且 L 交 x 轴于 E 点,过 点 F 任意作一条直线交抛物线 C 于 A、 B两 点。 (1)若 AF ? ? FB(? ? 0) ,求证: EF ? (EA ? ? EB)
2

18

(2)设 M 为线段 AB 的中点,P 为奇素数, 且点 M 到 x 轴的距离和点 M 到准线的距离均 为非零整数,求证:点 M 到坐标原点 O 的 距离不可能是整数。

y L A M E O B F x

分析 (1)要证明两个向量垂直, 只需证明 它们的内积等于 0 ,有两种途径,一是设 A( x , y ), B( x , y ) ,把两个向量的坐标表示求出来, 转化为代数运算;二是设点 A,B 在准线 l 上 的射影分别为 A , B , 利用已知的垂直关系及向 量的分解实现转化,进行运算; (2)设 M (x,y) , 假设 | OM |? r 为正整数, 通过推理运算得出矛盾 即可。 解 (1)方法 1:点 F 的坐标为 ( p,0) 设直线 l
1 1 2 2 ' '

19

的方程为 x ? my ? p ,代入 y

2

? 4 px

,得

y 2 ? 4 pmy ? 4 p2 ? 0

(1) 设 A(x , y ), B(x , y ) ,则 y , y 是方程(1)的两个根, 有 y ? y ? 4 pm, y y ? ?4 p
1 1 2 2 1 2

2

1

2

1 2


E ??A

AF ? ? FB


, B? ?) x 1
2 1


2

???

y1 y2


1


( ? 2p ?


y ?? (
1

(

1

?E

? ( p

? 2y ,?

)? x

x 1?

又 EF ? (2 p,0), x ? 4yp , x
1

2

?

2 y2 4p

所以 EF ? (EA ? ? EB)

? 2 p ? x1 ? ? x2 ? p(1 ? ?)?
? y2 y y2 y ? ? 2 p ? 1 ? 1 ? 2 ? p(1 ? 1 ) ? y2 ? ? 4 p y2 4 p
? 2 p 2 ( y1 ? y2 ) 1 2 1 y1 ? y1 y2 ? 2 2 y2

y1 y2 ? 4 p 2 ? ( y1 ? y2 ) ? ?0 2 y2

故 EF ? (EA ? ? EB)

方法 2 如图 10,设点 A,B 在准线 l 上的射 影分别为 A , B ,则 | AF |?| A A |,| BF |?| B B | 从而,由 AF ? ? FB, 得A A ? ? B B ; 因为 EA ? EA ? A A, EB ? EB ? B B, 所以 EA ? ? EB ? EA ? ? EB 又 EA ? (EA ? ? EB ) ,所以 EF ? (EA ? ? EB ) ? 0 故 EF ? (EA ? ? EB) ? 0 ,即 EF ? (EA ? ? EB) 。 (2)设 M (x,y) ,依题意,x, y 均为非零整数,由
1 1 1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

20

y 对称性, 不妨设 x, y ? N , 则y? y ? 2
?
1

2

? 2 pm

(2 )

因 为 点 M 在 直 线 AB 上 , 所 以 x ? my ? p (3) 由 (2) , (3 ) 消去 m , 得 y ? 2( (4 ) px p ? ) 假设 | OM |? r 为正整数, 则x ?y ?r (5) 因为 p 为奇质数,所以由(4)知, p | y ,从 而 p | x ;于是,由(5)知 p | r ; 令 x ? px , y ? py , r ? pr (x , y , r ? N ) ,则有 y ? 2(x ?1), x ? y ? r , 消去 y ,得 x ? 2x ? r ? 2 ;即 (x ?1? r )(x ? 1? r ) ? 3 ? 3?1; 又 x ?1? r 与 x ?1? r 有 相 同 的 奇 偶 性 , 且 x ?1? r ? x ?1? r ;
2 2 2 2

?

1

1

1

1

1

1

2 1

1

2 1

2 1

2 1

1

2 1

1

2 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

所以 ? ?

x1 ?1? r1 ?3

? x1 ?1?r1 ?1

解得 ? ?

x1 ?1

? r1 ?1

从而 y ? 0 ,于是 y ? 0 ;
1

这与 y 为正整数矛盾。 故点 M 到坐标原点 O 的距离不可能是整数。 说明 第 (2)问巧妙地将解析几何问题与整数 理论结合在一起,比较有新意,有一定的难 度。

21

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