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2015-2016学年高中数学 第三章 不等式综合检测 新人教A版必修5


2015-2016 学年高中数学 第三章 不等式综合检测 新人 A 教版必修 5
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设 M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则有( A.M>N C.M<N [答案] A [解析] M-N=(2a -4a+7)-(a -5a+6) 1 2 3 2 =a +a+1=(a+ ) + >0,∴M>N. 2 4 2.若 a<b<0,则下列不等关系中,不能成立的是( 1 1 A. > ) > 1
2 2

)

B.M≥N D.M≤N

a b

B.

1

a-b a

1 1 C.a <b 3 3 [答案] B [解析] ∵a<b<0,∴a-b<0,由 3.不等式

2 2 D.a >b 3 3

1 1 > ,得 a>a-b,即 b>0,与 b<0 矛盾. a-b a ) B.{x|x<-2 或 1<x<3} D.{x|-2<x<1 或 1<x<3}

x2-x-6 >0 的解集为( x-1

A.{x|x<-2,或 x>3} C.{x|-2<x<1 或 x>3} [答案] C

[解析] 原不等式可化为(x+2)(x-1)(x-3)>0,则该不等式的解集为{x|-2<x<1 或

x>3}.
4. 若关于 x 的不等式 x -4x≥m 对任意 x∈[0,1]恒成立, 则实数 m 的取值范围是( A.m≤-3 C.-3≤m≤0 [答案] A [解析] ∵y=x -4x 在[0,1]上单调递减, ∴ymin=1-4=-3.又∵不等式 x -4x≥m 对任意 x∈[0,1]恒成立,∴m≤-3. 5.已知实数 x,y 满足 x +y =1,则(1-xy)(1+xy)有( 1 A.最小值 和最大值 1 2
2 2 2 2 2

)

B.m≥-3 D.m≤-3 或 m≥0

)

3 B.最小值 和最大值 1 4

1

1 3 C.最小值 和最大值 2 4 [答案] B [解析] ∵x y ≤(
2 2

D.最小值 1

x2+y2
2

1 1 3 2 2 2 2 2 ) = ,当且仅当 x =y = 时,等号成立,∴1-x y ≥ ≥0, 4 2 4

3 2 2 ∴ ≤1-x y ≤1. 4 3 3 6.若点(x,y)在第一象限,且在直线 2x+3y=6 上移动,则 log x+log y 的最大值是 2 2 ( ) A.1 C.2 [答案] A [解析] 由题意 x>0,y>0,2x+3y=6, 3 3 3 3 1 ∴u=log x+log y=log (x·y)=log [ (2x·3y)] 2 2 2 2 6 3 1 2x+3y 2 ≤log [ ( ) ]=1, 2 6 2 3 等号在 2x=3y=3,即 x= ,y=1 时成立. 2 7.若关于 x 的不等式 2x -8x-4-a≥0 在 1≤x≤4 内有解,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.a≤-4 C.a≥-12 [答案] A [解析] ∵y=2x -8x-4(1≤x≤4)在 x=4 时,取最大值-4,当 a≤-4 时,2x -8x -4≥a 存在解. 1 8.若 x∈(0, )时总有 loga2-1(1-2x)>0,则实数 a 的取值范围是( 2 A.|a|<1 C.|a|> 2 [答案] D 1 [解析] ∵x∈(0, ),∴0<1-2x<1. 2 又∵此时总有 loga2-1(1-2x)>0, ∴0<a -1<1,∴1<|a|< 2.
2 2 2 2

B.-1 D.-2

B.a≥-4 D.a≤-12

)

B.|a|< 2 D.1<|a|< 2

2

?2x-y≤0 ? 9.(2015·河南六市联考)已知正数 x,y 满足? ?x-3y+5≥0 ?

?1?y -x ,则 z=4 ·? ? 的最 ?2?

小值为( A.1 1 C. 16

) 13 B. 2 4 1 D. 32

[答案] C

?1?y -2x-y,又不等式组表示的平面区域如图所示. -x [解析] 由于 z=4 ·? ? =2 ?2?

易知 m=-2x-y 经过点 A 时取得最小值,
? ?2x-y=0, 由? ?x-3y+5=0, ?

得 A(1,2),所以 zmin=2

-2×1-2

1 = ,选 C. 16

10.下列函数中,最小值是 4 的函数是( 4 A.y=x+

)

x

4 B.y=sinx+ (0<x<π ) sinx C.y=e +4e
x
-x

D.y=log3x+logx81 [答案] C 4 [解析] 当 x<0 时,y=x+ ≤-4,排除 A;

x

∵0<x<π ,∴0<sinx<1.y=sinx+

4 4 x ≥4.但 sinx= 无解,排除 B;e >0,y sinx sinx

4 x -x x x =e +4e ≥4.等号在 e = x即 e =2 时成立.∴x=ln2,D 中,x>0 且 x≠1,若 0<x<1,

e

则 log3x<0,logx81<0,∴排除 D. 11. (2014·山东理, 5)已知实数 x, y 满足 a <a (0<a<1), 则下列关系式恒成立的是( A. 1
x y

)

x2+1 y2+1
2 2

>

1

B.ln(x +1)>ln(y +1)
3

C.sinx>siny D.x >y
3 3

[答案] D [解析] 本题考查指数函数与幂函数的单调性. ∵a <a (0<a<1),∴x>y, 而幂函数 y=x 在定义域上为增函数, ∴x >y .
? ??x-y??x+y-2?≥0, 12.(2015·合肥第二次质检)已知实数 x,y 满足? ?1≤x≤4, ?
3 3 3

x

y

则x

+2y 的取值范围为( A.[12,+∞) C.[0,12] [答案] C

) B.[0,3] D.[3,12]

[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图,作直线 l0:x+2y=0,平移 l0 可见当经 过可行域内的点 A、B 时,z=x+2y 分别取得最大值与最小值,∴zmax=12,zmin=0,故选 C.

二、 填空题(本大题共 4 个小题, 每个小题 4 分, 共 16 分. 将正确答案填在题中横线上) 13.若关于 x 的不等式 ax -6x+a <0 的解集是(1,m),则 m=________. [答案] 2 [解析] 由题意知 a>0 且 1 是方程 ax -6x+a =0 的一个根,∴a=2, ∴不等式为 2x -6x+4<0,即 x -3x+2<0, ∴1<x<2,∴m=2. 14.(2015·东北三校模拟)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a,b,
2 2 2 2 2 2

c 成等比数列,若 sinB= ,cosB= ,则 a+c 的值为________. 13 ac
[答案] 3 7 12 12 2 [解析] 由已知得:b =ac 且 B 为锐角,∴cosB= ,∵cosB= ,∴ac=13,由余弦 13 ac
4

5

12

定理得:cosB= 3 7.

a2+c2-b2 12 2 2 2 2 2 = ,得:a +c =37,∴(a+c) =a +c +2ac=63,∴a+c= 2ac 13

15.(2015·山东文,14)定义运算“?”:x?y= >0 时,x?y+(2y)?x 的最小值为________. [分析]

x2-y2 (x,y∈R,xy≠0).当 x>0,y xy

考查阅读理解转化能力和基本不等式.先按新定义将待求最小值的表达式化

简,再用基本不等式求最小值. [答案] 2

[解析] 由新定义运算知,x?y=
2 2 2

x2-y2 , xy
2

?2y? -x 4y -x 所以(2y)?x= = ,因为,x>0,y>0, ?2y?x 2xy 所以,x?y+(2y)?x=

x2-y2 4y2-x2 x2+2y2 2 2xy + = ≥ = 2,当且仅当 x= 2y 时,x xy 2xy 2xy 2xy

?y+(2y)?x 的最小值是 2. 16.(2015·云南省检测)某校今年计划招聘女教师 a 名,男教师 b 名,若 a、b 满足不 2a-b≥5, ? ? 等式组?a-b≤2, ? ?a<7. [答案] 13 [解析] 由题意得 x=a+b,如图所示,画出约束条件所表示的可行域,作直线 l:b +a=0,平移直线 l,再由 a,b∈N,可知当 a=6,b=7 时,x 取最大值,∴x=a+b=13.

设这所学校今年计划招聘教师最多 x 名,则 x=________.

三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 74 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 12 分)设 x1、 x2 是关于 x 的一元二次方程 x -2kx+1-k =0 的两个实根, 求 x1+x2的最小值. [解析] 由题意,得 x1+x2=2k,
2 2 2 2

x1x2=1-k2.
Δ =4k -4(1-k )≥0,
5
2 2

1 2 ∴k ≥ . 2 ∴x1+x2=(x1+x2) -2x1x2 =4k -2(1-k ) 1 2 =6k -2≥6× -2=1. 2 ∴x1+x2的最小值为 1. 1 2 2 18.(本题满分 12 分)已知正数 a,b 满足 a+b=1,求证 a +b ≥ . 2 [证明] a +b =(a+b) -2ab=1-2ab≥1-2×(
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a+b
2

1 1 2 ) =1- = . 2 2

19.(本题满分 12 分)不等式(m -2m-3)x -(m-3)x-1<0 对一切 x∈R 恒成立,求实 数 m 的取值范围. [解析] 由 m -2m-3=0,得 m=-1 或 m=3. 当 m=3 时,原不等式化为-1<0 恒成立; 当 m=-1 时,原不等式化为 4x-1<0, 1 ∴x< ,故 m=-1 不满足题意. 4 当 m -2m-3≠0 时,由题意,得
? ?m -2m-3<0 ? 2 2 ?Δ =[-?m-3?] +4?m -2m-3?<0 ?
2 2 2



-1<m<3 ? ? 即? 1 - <m<3 ? ? 5 1 ∴- <m<3. 5



1 综上可知,实数 m 的取值范围是- <m≤3. 5 20.(本题满分 12 分)某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆, 出厂价为 1.2 万元/辆,年销售量为 1 000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次, 适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应的提高比例 为 0.75x,同时预计年销售量增加的比例为 0.6x. 已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例 x 应在什么范围 内?
6

[解析] 0.6x)(0<x<1).

(1) 依 题 意 得 y = [1.2×(1 + 0.75x) - 1×(1 + x)]×1 000×(1 +

整理,得:y=-60x +20x+200(0<x<1). ∴本年度年利润与投入成本增加的比例的关系式为

2

y=-60x2+20x+200(0<x<1).
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,
? ?y-?1.2-1?×1 000>0 当且仅当? ?0<x<1 ? ?-60x +20x>0 ? 即? ? ?0<x<1
2



1 ,解得:0<x< , 3

1 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例 x 应满足 0<x< . 3 21.(本题满分 12 分)若 a<1,解关于 x 的不等式 [解析] a=0 时,不等式的解集为?

ax >1 . x-2

ax ?a-1?x+2 >1? >0 x-2 x-2
?[(a-1)x+2](x-2)>0. ∵a<1,∴a-1<0. ∴化为(x- 2 )(x-2)<0, 1-a

2 当 0<a<1 时, >2, 1-a 2 ∴不等式的解为 2<x< ; 1-a 2 当 a<0 时,1-a>1,∴ <2, 1-a 2 ∴不等式解为 <x<2, 1-a
? 2 ? ?;当 a<0 时,不等式解集为 ∴ 当 0 < a < 1 时 , 不 等 式 解 集 为 ?x|2<x< 1-a? ? ? ? 2 ?x| <x<2?;当 a=0 时,解集为?. ? 1-a ?

22.(本题满分 14 分)已知关于 x 的方程(m+1)x +2(2m+1)x+1-3m=0 的两根为 x1、

2

x2,若 x1<1<x2<3,求实数 m 的取值范围.
[解析] 设 f(x)=(m+1)x +2(2m+1)x+1-3m,显然 m+1≠0. (1)当 m+1>0 时,可画简图:
7
2

m+1>0 ? ? 则?f?1?<0 ? ?f?3?>0

m>-1 ? ?m<-2 ,即? 8 ? ?m>-9

,不等式组无解.

(2)当 m+1<0 时,可画简图:

m+1<0 ? ? 则?f?1?>0 ? ?f?3?<0
得-2<m<-1.

m<-1 ? ?m>-2 ,即? 8 ? ?m<-9

.

由(1)、(2)知 m 的取值范围是(-2,-1).

8


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