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江苏省宿迁市宿豫中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析


江苏省宿迁市宿豫中学 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷
[来源:学科网 ZXXK] 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. ) 1. (5 分)命题“存在 x0∈R,使 x0 +1<0”的否定是. 2. (5 分)“x>1”是“x >1”的条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不 必要”) 3. (5 分)直线 的倾斜角是.
2 2

4. (5 分)椭圆

+

=1 的焦距为.

5. (5 分)为了了解某次参加知识竞赛的 1252 名学生的成绩,决定采用系统抽样的方法抽取 一个容量为 50 的样本,那么总体中应随机剔除的个体数目是. 6. (5 分)若输入 8,则下列伪代码执行后输出的结果为.

7. (5 分)在一杯 10L 的清水中,有一条小鱼,现任意取出 1L 清水,则小鱼被取到的概率为. 8. (5 分)过点 P(﹣1,3)且垂直于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为. 9. (5 分)已知点(1,2)和(1,1)在直线 3x﹣y+m=0 的两侧,则实数 m 的取值范若围是.

10. (5 分)椭圆

的两焦点为 F1、F2,以 F1F2 为边作正三角形,若椭

圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为. 11. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 x +y =4 上到直线 12x﹣5y+12=0 的距离为 1 的点的 个数为.
2 2

12. (5 分) 已知直线 y=x+k 与曲线 x=

有且仅有一个公 共点, 则实数 k 的取值范围为.

13. (5 分)已知平面区域 D 由以 A(1,3) ,B(5,2) ,C(3,1)为顶点的三角形内部和边 界组成.若在区域 D 上有无穷多个点(x,y)可使目标函数 z=x+my 取得最小值,则实数 m=.

14. (5 分)过椭圆

的左 顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另

一个点 B,且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F,若 是.

,则椭圆离心率的取值范围

二、解答题: (本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. ) 15. (14 分)某射手在一次射击中,击中 10 环、9 环、8 环的概率分别是 0.24,0.28,0.19.求 这个射手在一次射击中, (1)击中 10 环或 9 环的概率; (2)小于 8 环的概率. 16. (14 分)已知命题 p:“函数 f(x)=(m﹣2)x+1 在 R 上为单调增函数”;命题 q:“关于 x 的方程 x +2x+m=0 无实数根”.若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求实数 m 的取值范 围. 17. (14 分)为了检测某种产品的质量,抽取了一个容量为 100 的样本,数据的分组如下: 分组 频数频率 [10.75,10.85)3 [10.85,10.95)9 [10.95,11.05)13 [11.05,11.15) 16 [11.15,11.25) 26 [11.25,11.35) 20 [11.35,11.45) 7 [11.45,11.55) a [11.55,11.65) m 0.02 (1)求出表中的 a,m 的值; (2)据上述图表,估计数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是多少? (3)数据小于 11.20 的可能性是百分之几?
2

18. (16 分) (示范高中)已知直线 l 过点 M(﹣3,3) ,圆 N:x +y +4y﹣21=0. (1)求截得圆 N 弦长最长时 l 的直线方程; (2)若直线 l 被圆 N 所截得的弦长为 8,求直线 l 的方程. 19. (16 分)已知圆 O:x +y =1,圆 C: (x﹣2) +(y﹣4) =1.在两圆外一点 P(a,b)引 两圆切线 PA、PB,切点分别为 A、B,满足|PA|=|PB|. (1)求实数 a,b 间的关系式. (2)求切线长|PA|的最小值. (3)是否存在以 P 为圆心的圆,使它与圆 O 相内切并且与圆 C 相外切,若存在求出圆 P 的 方程,若不存在,请说明理由.
2 2 2 2

2

2

20. (16 分)已知 A、B 为椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右顶点,F 为椭圆的右焦点,且

AF=3,离心率 e= ,又 P 是椭圆上异于 A、B 的任意一点,直线 AP、BP 分别交直线 l:x=m (m>2)于 M、N 两点,l 交 x 轴于 C 点. (1)求椭圆的标准方程; (2)当 PF∥l 时,求直线 AM 的方程; (3)是否存在实数 m,使得以 MN 为直径的圆过点 F?若存在,求出实数 m 的值;若不存在, 请说明理由.

江苏省宿迁市宿豫中学 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. ) 2 2 1. (5 分)命题“存在 x0∈R,使 x0 +1<0”的否定是对任意 x0∈R,使 x0 +1≥0. 考点: 命题的否定. 专题: 证明题;规律型. 分析: 本题中所给的命题是一个特称命题,其否定是一个全称命题,按规则写出其否定即 可 2 解答: 解:∵命题“存在 x0∈R,使 x0 +1<0”是一个特称命题[来源:Z*xx*k.Com] 2 2 ∴命题“存在 x0∈R,使 x0 +1<0”的否定是“对任意 x0∈R,使 x0 +1≥0” 2 故答案为:对任意 x0∈R,使 x0 +1≥0 点评: 本题考查命题的否定,正确解答本题,关键是掌握住命题的否定的定义及书写规则, 对于两特殊命题特称命题与全称命题的否定,注意变换量词. 2. (5 分)“x>1”是“x >1”的充分不必要条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既 不充分也不必要”) 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 规律型. 分析: 利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 2 解答: 解:由 x >1 得 x>1 或 x<﹣1. 2 ∴“x>1”是“x >1”的充分不必要条件. 故答案为:充分不必要. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用向量相等的定义是解决本题的关键.
2

3. (5 分)直线

的倾斜角是



考点: 直线的倾斜角. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 由直线 l 的倾斜角 α 与斜率 k 的关系,可以求出 α 的值. 解答: 解:设直线 l: 则直线 l 的方程可化为 y= l 的斜率 k=tanα= ∵0≤α<π, , x+ , 的倾斜角是 α(0≤α<π) ,

∴α=

; .

故答案为:

点评: 本题考查了利用直线的斜率求倾斜角的问题,是基础题.

4. (5 分)椭圆

+

=1 的焦距为 2.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 确定椭圆的焦点在 x 轴上,且 a=2,b= ,运用 c= ,即可得到焦距 2c.

解答: 解:椭圆 且 a=2,b= c= , =

+

=1 的焦点在 x 轴上,

=1,

即 2c=2, 则椭圆的焦距为 2. 故答案为:2. 点评: 本题考查椭圆的方程和性质,掌握椭圆的 a,b,c 的关系是解题的关键. 5. (5 分)为了了解某次参加知识竞赛的 1252 名学生的成绩,决定采用系统抽样的方法抽取 一个容量为 50 的样本,那么总体中应随机剔除的个体数目是 2. 考点: 系统抽样方法. 专题: 计算题. 分析: 从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,系统抽样的前面两个步骤是: (1)将总 体中的 N 个个体进行编号; (2)将整个编号按 k 分段,当 为整数时,k= ;当 不是整数

时,从总体中剔除一些个体,使剩下的总体中的个体的个数 N′能被 n 整除,本题中学生总数 不能被容量整除,故应从总体中随机剔除个体,保证整除即可. 解答: 解:学生总数不能被容量整除,根据系统抽样的方法,应从总体中随机剔除个体, 保证整除. ∵1252=50×25+2, 故应从总体中随机剔除个体的数目是 2, 故答案为:2. 点评: 本题考查系统抽样,系统抽样的步骤,得到总数不能被容量整除时,应从总体中随 机剔除个体,保证整除是解 题的关键,属于基础题. 6. (5 分)若输入 8,则下列伪代码执行后输出的结果为 10.

考点: 条件语句. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序代码, 可得伪代码的功能是求分段函数 c= 代入 x=8 即可求值. 解答: 解: 模拟执行程序代码, 可得伪代码的功能是求分段函数 c= 的 的值,

值,[来源:Z。xx。k.Com] 输入 x=8,由于 x>4,故 c=2(8﹣3)=10. 故答案为:10. 点评: 本题主要考查了程序代码和算法,读懂伪代码的功能是解题的关键,属于基本知识 的考查.

7. (5 分) 在一杯 10L 的清水中, 有一条小鱼, 现任意取出 1L 清水, 则小鱼被取到的概率为



考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意可得,所求的概率属于几何概型,所选测度为水的体积之比,代入几何概型 的计算公式 解答: 解:本题为几何概型,概率为体积之比, 代入计算公式 P(A)= 故答案为: . ,

点评: 本题主要考查了几何概型的判断及计算公式的应用,几何概型的特点是:无限性, 等可能性. 8. (5 分)过点 P(﹣1,3)且垂直于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为 2x+y﹣1=0. 考点: 直线的一般式方程;两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系. 专题: 计算题. 分析: 设与直线 x﹣2y+3=0 垂直的直线的方程为 2x+y+c=0,把点 P(﹣1,3)的坐标代入 求出 c 值,即得所求的直线的方程. 解答: 解:设所求的直线方程为 2x+y+c=0,把点 P(﹣1,3)的坐标代入得﹣2+3+c=0,

∴c=﹣1,[来源:学科网] 故所求的直线的方程为 2x+y﹣1=0, 故答案为 2x+y﹣1=0. 点评: 本题考查利用待定系数法求直线的方程,与 ax+by+c=0 垂直的直线的方程为 bx﹣ ay+m=0 的形式. 9. (5 分)已知点(1,2)和(1,1)在直线 3x﹣y+m=0 的两侧,则实数 m 的取值范若围是 (﹣2,﹣1) . 考点: 二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 平面当中直线上的点满足直线方程,直线两侧的点的坐标代入直线方程左侧的代数 式后符号不同,由乘积小于 0 即可求得 m 的范围. 解答: 解:因为点(1,2)和(1,1)在直线 3x﹣y+m=0 的两侧,所以把两点的坐标代入 直线方程的左侧的代数式后乘积小于 0, 即(3×1﹣2+m) (3×1﹣1+m)<0, (m+1) (m+2)<0,解得:﹣2<m<﹣1, 故答案为(﹣2,﹣1) . 点评: 本题考查了二元一次不等式与平面区域,考查了数形结合思想,解答此题的关键是 明确直线把平面分成的三个区域的点的坐标与代数式 3x﹣y+m 的符号关系.

10. (5 分)椭圆

的两焦点为 F1、F2,以 F1F2 为边作正三角形,若椭 .

圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题.

分析: 设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是 A,B,由题设条件知 AF1=AB=BF2=c, ∠F1AF2=90°, ,由此能够求出椭圆的离心率.

解答: 解:设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是 A,B, 由题设条件知 AF1=AB=BF2=c,∠F1AF2=90°, ∴ ∴ ∴ , . ,

故答案为: . 点评: 本题考查椭圆的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. 11. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 x +y =4 上到直线 12x﹣5y+12=0 的距离为 1 的点的 个数为 4.
2 2

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题. 分析: 根据题意画出图形,由圆的方程找出圆心坐标和半径 r,利用点到直线的距离公式求 出圆心到已知直线的距离|OA|,由半径 r﹣|OA|求出|AB|的长,判断其长度小于 1,从而得到该 圆上到直线 12x+5y+12=0 的距离为 1 的点的个数即可. 解答: 解:根据题意画出图形,如图所示: 由圆的方程 x +y =4,得到圆心坐标为(0,0) ,半径 r=2, ∴圆心到直线 x+y﹣2=0 的距离 d=|OA|= = <1,
2 2

∴r﹣

>1,则圆上到直线 12x+5y+12=0 的距离为 1 的点的个数为是 4.

故答案为:4.[来源:Z,xx,k.Com]

点评: 此题考查了圆的标准方程,点到直线的距离公式,利用了数形结合的思想,其中根 据题意得出|AB|的长度小于 1 是解本题的关键. 12. (5 分)已知直线 y=x+k 与曲线 x= [﹣1,1]∪{﹣ }. 有且仅有一个公共点,则实数 k 的取值范围为

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 曲线 x=

[来源:Zxxk.Com]

表示一个半圆 (单位圆位于 x 轴及 x 轴右侧的部分) . 当直线 y=x+k

经过点 A、B 时,分别求得 k 的值,再求出当直线 y=x+k 和半圆相切时 k 的值,数形结合求 得 k 的范围. 解答: 解:曲线 x= ,即 x +y =1 (x≥0) ,表示一个半圆(单位圆位于 x 轴及 x 轴
2 2

右侧的部分) . 如图,A(0,1) 、B(1,0) 、C(0,﹣1) , 当直线 y=x+k 经过点 A 时,1=0+k,求得 k=1; 当直线 y=x+k 经过点 B、点 C 时,0=1+k,求得 k=﹣1; 当直线 y=x+k 和半圆相切时,由圆心到直线的距离等于半径,可得 1= ,或 k= (舍去) , 故要求的实数 k 的范围为[﹣1,1]∪{﹣ ,求得 k=﹣

},

故答案为:[﹣1,1]∪{﹣

}.

点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系,直线和圆相切的性质,点到直线的距离公式的 应用,体现了转化的数学思想,属于基础题. 13. (5 分)已知平面区域 D 由以 A(1,3) ,B(5,2) ,C(3,1)为顶点的三角形内部和边 界组成. 若在区域 D 上有无穷多个点 (x, y) 可使目标函数 z=x+my 取得最小值, 则实数 m=1. 考点: 简单线性规划的应用. 专题: 数形结合. 分析: 将目标函数 z=x+my 化成斜截式方程后得:y=﹣ x+ z,若 m>0 时,目标函数值 Z 与直线族:y=﹣ x+ z 截距同号,当直线族 y=﹣ x+ z 的斜率与直线 AC 的斜率相等时,目 标函数 z=x+my 取得最小值的最优解有无数多个;若 m<0 时,目标函数值 Z 与直线族:y= ﹣ x+ z 截距异号, 当直线族 y=﹣ x+ z 的斜率与直线 BC 的斜率相等时, 目标函数 z=x+my 取得最小值的最优解有无数多个.但由于 AC 与 BC 的斜率为负,则不满足第二种情况,由此 不难得到 m 的值. 解答: 解:依题意,令 z=0,可得直线 x+my=0 的斜率为 结合可行域可知当直线 x+my=0 与直线 AC 平行时, 线段 AC 上的任意一点都可使目标函数 z=x+my 取得最小值, 而直线 AC 的斜率为﹣1,所以 m=1. 故答案为:1. ,

点评: 目标函数的最优解有无数多个,处理方法一般是:①将目标函数的解析式进行变形, 化成斜截式②分析 Z 与截距的关系,是符号相同,还是相反③根据分析结果,结合图形做出 结论④根据斜率相等求出参数.

14. (5 分)过椭圆

的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另

一个点 B,且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F,若 是 .

,则椭圆离心率的取值范围

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先作出图形,则易知|AF2|=a+c,|BF2|= ,再由∠BAF2 是直线的倾斜角,易

得 k=tan∠BAF2=

,然后通过

可得

,再分

子分母同除 a 得

2

求解.

解答: 解:如图所示:|AF2|=a+c,|BF2|=



∴k=tan∠BAF2=



又∵







∴ ∴ 故答案为: ,





点评: 本题考查了椭圆与直线的位置关系及椭圆的几何性质和直线的斜率与倾斜角,难度 不大,但需要灵活运用和转化知识. 二、解答题: (本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. ) 15. (14 分)某射手在一次射击中,击中 10 环、9 环、8 环的概率分别是 0.24,0.28,0.19.求 这个射手在一次射击中, (1)击中 10 环或 9 环的概率; (2)小于 8 环的概率. 考点: 互斥事件的概率加法公式. 专题: 概率与统计. 分析: (1) 设在一次射击中, 击中 10 环、 9 环、 8 环的事件分别为 A, B, C则P (A) =0.24, P(B)=0.28,P(C)=0.19,设“击中 10 环或 9 环”为事件 D,利用互斥事件概率计算公式能 求出击中 10 环或 9 环的概率.[来源:学。科。网] (2)设“小于 8 环”为事件 E,则事 件 E 的对立事件的概率 P=P(A)+P(B)+P(C) =0.24+0.28+0.19=0.71,由此能求出击中小于 8 环的概率. 解答: 解: (1)设在一次射击中,击中 10 环、9 环、8 环的事件分别为 A,B,C 则 P(A)=0.24,P(B)=0.28,P(C)=0.19,…3 分, 设“击中 10 环或 9 环”为事件 D, 则 P(D)=P(A)+P(B)=0.24+0.28=0.52.…(8 分) (2)设“小于 8 环”为 事件 E, 则事件 E 的对立事件的概率: P=P(A)+P(B)+P(C)=0.24+0.28+0.19=0.71

∴P(E)=1﹣0.71=0.29. ∴击中 10 环或 9 环的概率是 0.52,击中小于 8 环的概率是 0.29.…(14 分) . 点评: 本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意互斥事件概率加法公式 和对立事件概率计算公式的合理运用. 16. (14 分)已知命题 p:“函数 f(x)=(m﹣2)x+1 在 R 上为单调增函数”;命题 q:“关于 x 的方程 x +2x+m=0 无实数根”.若“p 或 q”为真命题,“p 且 q”为假命题,求实数 m 的取值范 围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用一次函数的单调性、一元二次方程有实数根与判别式的关系、复合命题的真假 判断方法即可得出 解答: 解:由 p 得 m>2. 由 q 知:△ =4﹣4m<0,则 m>1.? ∵“p 或 q”为真,“p 且 q”为假, ∴p 为真,q 为假,或 p 为假,q 为真, 则 ,
2

解得 1<m≤2. 点评: 本题考查了利用一次函数的单调性、一元二次方程有实数根与判别式的关系、复合 命题的真假判断方法,考查了推理能力,属于 中档题. 17. (14 分)为了检测某种产品的质量,抽取了一个容量为 100 的样本,数据的分组如下: 分组 频数频率 [10.75,10.85)3 [10.85,10.95)9 [10.95,11.05)13 [来源:Z。xx。k.Com] [11.05,11.15) 16 [11.15,11.25) 26 [11.25,11.35) 20 [11.35,11.45) 7 [11.45,11.55) a [11.55,11.65) m 0.02 (1)求出表中的 a,m 的值; (2)据上述图表,估计数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是多少? (3)数据小于 11.20 的可能性是百分之几? 考点: 用样本的频率分布估计总体分布. 专题: 计算题. 分析: (1)由频率= 及表中的数据可得 m,进而可得故落在[11.45,11.55)的数

据,进而可求 a; (2)由上表可知数据落在[10.95,11.35)的有 13+16+26+20=75 个,进而可 得可能性; (3)同理可得数据小于 11.20 的约为 67,进而可得可能性.

解答: 解: (1)由频率=

可得 0.02=

,解得 m=2,

故落在[11.45,11.55)的数据为 100﹣(3+9+13+16+26+20+7+ 2)=4, 故 a= =0.04;

(2)由上表可知数据落在[10.95,11.35)的有 13+16+26+20=75, 故数据落在[10.95,11.35)范围内的可能性是 =75%;

(3)由上表可知数据小于 11.20 的约为 3+9+13+16+26=67, 故数据小于 11.20 的可能性是 =67%

点评: 本题考查用样本的频率估计总体的分布,属基础题. 18. (16 分) (示范高中)已知直线 l 过点 M(﹣3,3) ,圆 N:x +y +4y﹣21=0. (1)求截得圆 N 弦长最长时 l 的直线方程; (2)若直线 l 被圆 N 所截得的弦长为 8,求直线 l 的方程. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;数形结合;分类讨论. 分析: (1)把圆 N 的方程化为标准方程,找出圆心 N 的坐标,根据题意可知直线 l 过圆心 时截得的弦最长,故由 N 及 M 的坐标确定出直线 l 的方程即可; (2)设直线 l 与圆 N 交于 A 和 B 两点的坐标,过圆心 N 作 ND 垂直于 AB,根据垂径定理得 到 D 为 AB 的中点,从而得到|DB|=4,接下来分两种情况考虑:第一,直线 l 的斜率不存在时, 可得直线 l 的方程为 x=﹣3,把 x=﹣3 代入圆 N 的方程中,得到关于 y 的一元二次方程,求出 方程的解得到 y 的值,经过检验得到 y=﹣6 时,弦 AB 的长为 8,符合题意;第二,当直线 k 的斜率存在时,设出直线 l 的斜率为 k,由 M 的坐标和设出的斜率 k 写出直线 l 的方程,在直 角三角形 BDN 中,由|DB|的长及半径|NB|的长,利用勾股定理求出|ND|的长,然后利用点到 直线的距离公式表示出圆心 N 到直线 l 的距离 d, 令 d 等于求出的|ND|的长列出关于 k 的方程, 求出方程的解得到 k 的值,确定出直线 l 的方程,综上,得到所有满足题意的直线 l 的方程. 解答: 解: (1)显然,当直线 l 通过圆心 N 时,被截得的弦长最长. (2 分)
[来源:Z§xx§k.Com ]

2

2

由 x +y +4y﹣21=0 化为标准方程为 x +(y+2) =25, 可得:圆心 N(0,﹣2) ,又 M(﹣3,3) , 故所求直线 l 的方程为: ,即 5x+3y+6=0; (4 分)

2

2

2

2

(2)设直线 l 与圆 N 交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点(如图)

作 ND⊥AB 交直线 l 于点 D,显然 D 为 AB 的中点.且有

, (6 分)

(i)若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x=﹣3, 2 2 2 将 x=﹣3 代入 x +y +4y﹣21=0,得 y +4y﹣12=0, 解得:y=﹣6 或 2, 因此|AB|=|2﹣(﹣6)|=8 符合题意; (8 分) (ii)若直线 l 的斜率存在,不妨设直线 l 的方程为 y﹣3=k(x+3)即:kx﹣y+3k+3=0 由 x +y +4y﹣21=0,得 N(0,﹣2) ,r=5, 因此 , (10 分)
2 2

又因为点 N 到直线 l 的距离



所以

,解得:



此时直线 l 的方程为:8x+15y﹣21=0, 综上可知,直线 l 的方程为 8x+15y﹣21=0 或 x=﹣3. (12 分) 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有圆的标准方程,直线的两点式方程, 垂径定理,勾股定理,点到直线的距离公式,利用了数形结合及分类讨论的思想,当直线与圆 相交时, 常常做出直线与圆相交弦的弦心距, 由弦心距, 圆的半径及弦的一半构造直角三角形, 利用勾股定理来解决问题. 19. (16 分)已知圆 O:x +y =1,圆 C: (x﹣2) +( y﹣4) =1.在两圆外一点 P(a,b)引 两圆切线 PA、PB,切点分别为 A、B,满足|PA|=|PB|. (1)求实数 a,b 间的关系式. (2)求切线长|PA|的最小值. (3)是否存在以 P 为圆心的圆,使它与圆 O 相内切并且与圆 C 相外切,若存在求出圆 P 的 方程,若不存在,请说明理由.
2 2 2 2

考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 综合题.[来源:Zxxk.Com] 分析 : (1)连接 PO,PC,利用|PA|=|PB|.结合半径,推出实数 a,b 间的关系式. (2)利用(1)的结论,通过勾股定理求出切线长|PA|的表达式,利用配方法求出最小值. (3)设存在以 P 为圆心的圆,设出半径,利用|PC|=|PO|+2,结合勾股定理推出 ,说明故满足条件的圆不存在. 解答: 解: (1)连接 PO,PC,∵|PA|=|PB|,|0A|=|CB|=1, 2 2 2 2 2 2 ∴|PO| =|PC| 从而 a +b =(a﹣2) +(b﹣4) ,a+2b﹣5=0. (2)由(1)得 a=﹣2b+5 ∴|PA|= = =

当 b=2 时,|PA|min=2. (3)若存在,设半径为 R,则有|PO|=R﹣1,|PC|=R+1,于是|PC|=|PO|+2, 即 整理得 故满足条件的圆不存在. 点评: 本题是中档题,考查直线与圆的位置关系,勾股定理的应用,存在性问题的解法, 考查计算能力,推理能力.

20. (16 分)已知 A、B 为椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右顶点,F 为椭圆的右焦点,且

AF=3,离心率 e= ,又 P 是椭圆上异于 A、B 的任意一点,直线 AP、BP 分别交直线 l:x=m (m>2)于 M、N 两点,l 交 x 轴于 C 点. (1)求椭圆的标准方程; (2)当 PF∥l 时,求直线 AM 的方程; (3)是否存在实数 m,使得以 MN 为直径的圆过点 F?若存在,求出实数 m 的值;若不存在, 请说明理由.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由椭圆的离心率公式和 a+c=3,结合椭圆的 a,b,c 的关系,假设即可得到椭 圆方程; (2)运用两直线平行的条件,求出 P 的坐标,结合直线方程的点斜式方程; (3)设出点 P、M、N 的坐标,由 MF 和 NF 垂直得到 M 和 N 点坐标的关系,再由 A、P、M 和 B、P、N 分别共线得到 M 的坐标与 P 的坐标及 N 的坐标与 P 的坐标的关系式,三个关系 式整理后求得 m=4,说明存在实数 m,使得以 MN 为直径的圆过点 F. 解答: 解: (1)因为 AF=3,离心率 ,

所以
2 2

,可得



∴a =4,b =3, 椭圆的标准方程为 ;

(2)连结 PF,当 PF∥l 时, 将 x=1 代入 ,

得 y=± ,则 P(1,± ) , 又 A(﹣2,0)且 A,P,M 三点共线, ∴直线 AM 的方程为 x﹣2y+2=0 或 x+2y+2=0; (3)假设存在 m,设 P(x0,y0) ,M(m,y1) ,N(m,y2) . 2 由 MF 垂直于 NF 可得(m﹣1) +y1y2=0(*) 又由 MPA 三点共线可以算得:y1= ①

由 NPB 三点共线可得 y2=



将①②两式带入*式可得: (m﹣1) +

2



又因为(x0,y0)在椭圆上,得 x0 =4(1﹣

2

) ,

代入上式化简得 m=4(m>2) . ∴存在实数 m=4,使得以 MN 为直径的圆过点 F. 点评: 本题考查椭圆的方程和性质,同时考查直线平行和垂直的性质,考查化简整理的运 算能力,属于中档题.


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