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河南省驻周口六校2012-2013学年高二下学期期中联考数学(文)试题


河南省周口市六校 2012-2013 学年高二下学期期中 联考数学(文)试题
考试时间:120 分钟 一选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1 复数 z ? A.2+i 试卷满分:150 分

?3?i 的共轭复数是 2?i
B 2-i C -1+i D -1-i




/>2 有一段演绎推理是这样的: “对数函数都是减函数;因为

y ? ln x 是对数函数;所以
( )

y ? ln x 是减函数”,结论显然是错误的,这是因为
A.推理形式错误 B.小前提错误 C 大前提错误 D.非以上错误 3 若 a,b,c 满足 c ? b ? a 且 ac ? 0 ,那么下列选项不一定成立的是 A ab ? ac B cb ? ab
2 2





C bc ? ac

D

ac(a ? c) ? 0
开始

4 某种产品的广告费用支出 x(万元)与销售额 y(万元)之间对应 数据如下: x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

S=0,i=0

根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? 6.5 x ? a 则 a ? ( ) A 17 B 17.5 C 18 D 18.5 5 给 出 右 面 的 程 序 框 图 , 那 么 输 出 的 数 是 A.4 B. 5 C. 6 D. 7 ( ) 6 已 知 命 题

S ? 20




S=S+i
i=i+1

p : ?x ? R, 使 得 x ?

1 ? 2, 命 题 x


q:? x? R , 2 x?
A. ? p 7 下列命题中正确个数是
2 2

题为真的是( x ? 1 。下列命 ? 0 C.p 且 ? q D.p 且 q ( )

B ?p 或 ?q

输出 i

①“若 x +y ≠0,则 x,y 不全为零”的逆命题; ②“若 m>0,则关于 x 的方程 x +x-m=0 有实根”的逆否命题; ③ “m 是 a 与 b 的比例中项”是“ m ? ab ”的充要条件.
2
2

结束

A.0 B.1 C.2 D.3 8 如图,已知 P 是⊙O 外一点,PD 为⊙O 的切线,D 为切点,割线 PEF 经过圆心 O.若 PF=16,PD= 4 3 ,则⊙O 的半径长为 A 13 B 6.5 C 7 D 8 ( )

9 中心在坐标原点的椭圆,焦点在 x 轴上,焦距为 4,离心率为

2 ,则该椭圆程为 2
x2 y2 ? ?1 4 D. 8

y2 x2 ? ?1 A. 16 12

x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 8 4 B. 12 C. 12
2

10 用反证法证明:若整系数一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么 a、b、c 中至少有一个是偶数.用反证法证明时,下列假设正确的是 ( ) A.假设 a 、b、c 都不是偶数 B.假设 a 、b、c 都是偶数 C.假设 a 、b、c 至多有两个偶数 D 假设 a 、b、c 至多有一个偶数 11 已知 x ? (0, ??) 有下列各式: x ?

1 4 x x 4 ? 2, x ? 2 ? ? ? 2 ? 3 , x 2 2 x x

x?

a 27 x x x 27 ? ? ? ? 3 ? 4 成立,观察上面各式,按此规律若 x ? 4 ? 5 ,则正 3 x 3 3 3 x x
( B.5 C. 4
4

数a? A.4 D. 5
5



12 设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a, b ]上的两个函数,若函数 y=f(x)-g(x)在 [a, b ]上有两个不同的零点,则称 f(x)与 g(x)在[a, b ]上是“关联函数” ,?区间 [a, b ]称为 f(x)与 g(x) 的“关联区间” 。 若 f(x)= 的“关联区间”是 ?? 3,0? ,则 b 的取值范围是 A ?? 9,0? B

1 3 x ? x 2 ? x 与 g(x)= 2 x ? b 3
( )

? 5? ?0, 3 ? ? ?

C ?0, ?

? 5? ? 3?

D ?? 9, ?

? ?

5? 3?

二填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13 不等式 0 ? x ? 2 ? 1 的解集是 .

14 一个袋子内装有除颜色不同外其余完全相同的 3 个白球和 2 个黑球,从中不放回地 任取两次,每次取一球,在第一次取到的是白球的条件下,第二次也取到白球的概 率是 . 15.设函数 f ( x) ? sin x ? cos x , f ?( x) 是 f ( x) 的导数,若 f ( x) ? 2 f ?( x) ,则

sin 2 x ? cos2 x 的值是 cos2 x
在 ?ABC 中,

.

16. 若 A、B 是离心率为 e 的椭圆的两焦点,C 是椭圆上除长轴端点外的任意一点,则

sin C ? e ;类比上述性质: 若 A、B 是离心率为 e 的双曲线的 sin A ? sin B 两焦点,C 是双曲线上除实轴端点外的任意一点,则在 ?ABC 中有 .
三解答题: 17(本小题共 12 分)
2 已知 p : x ? x ? 2 ? 0 , q : 2 x ? m ? x ? m ,其中 m ? 0

(1)若 ? p 为真,求 x 的取值范围;

(2)若是 ? p 是 q 的充分不必要条件,求 m 的取值范围.

18. (本小题共 12 分) 某地某企业拟招聘一批综合素质较强的员工,参与企业的建设与发展.假定符合应聘 条件的每个选手还需要依次进行四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答上一轮问 题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某应聘者能正确回答第一、二、三、四轮 问题的概率分别为 , , , 且各轮问题能否正确回答互不影响. (1)求该应聘者通过考核未被淘汰的概率。 (2)求该应聘者进入第四轮才被淘率的概率.

3 2 1 1 4 3 2 3

19. (本小题共 12 分) 现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了 50 人,他们月收入 的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表. 月收入(单 [15,25 ) [25,35 ) [35,45 ) [45,55 ) [55,65 ) [65,75 ) 位百元) 5 10 15 10 5 5 频数 4 8 12 5 2 1 赞成人数 (1)由以上统计数据求下面 2 乘 2 列联表中的 a , b, c ,d 的值,并问是否有 99%的把握认为“月收入以 5500 为分界点对“楼市限购令” 的态度有差异; 月收入低于 55 百元的人数 月收入不低于 55 百元的人数 合计 a b 赞成 c d 不赞成 50 合计 (2)若对在[55,65)内的被调查者中随机选取两人进行追踪调查,记选中的 2 人中不赞 成“楼市限购令”的人数为 x ,求 x ? 1 的概率。

n ? ad ? bc ? 附: K ? ? a ? b ?? c ? d ??a ? c ??b ? d ?
2 2

n=a+b+c+d

p K2 ? k

?

?

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.001 10.828

k

20(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 5 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且 A(0,1)是椭圆 C 的顶点。 2 a b 5

(1)求椭圆 C 的方程; (2)作倾斜角为

? 2 的直线 L,设以椭圆 C 的右焦点 F 为抛物线 E : y ? 2 px( p ? 0) 的焦 4

点,若直线 L 与抛物线 E 交于 M、N 两点,若 M N =8,求直线 L 方程。

21((本小题满分 12 分)

2 已知函数 f ( x ) ? ( ax ? x ) ln x ?

1 2 ax ? x (a ? R ) . 2

(1)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在 (e, f (e)) 处的切线方程( e ? 2.718? ) (2)已知 x ? e 为函数 f ( x ) 的极值点,求函数 f ( x ) 的单调区间。

请考生在第 22,23 两题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分, 作答时请写清题号。
22(本小题满分 10 分)选修 4-1: 《几何证明选讲》 如图,直线 MN 交圆 O 于 A,B 两点,AC 是直径,AD 平分 ?CAM ,交圆 0 于点 D, 过 D 作 DE ? MN 于 E. (1)求证:DE 是圆 O 的切线: (2)若 DE=6 AE=3。求三角形 ABC 的面积 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5: 《不等式选讲》 已知函数 f (x ) ? 2 x ? 2 ? x ? 5 (1) 求函数 f(x)的最小值 m (2)在(1)的结论下,若不等式 | x ? a | ? | x ? 2 |? m 恒成立,求实数 a 的取值范围.

驻马店市六校 2012-2013 学年下期高二期中联考

数学(文科)参考答案
一选择题

DCBBD
二填空题 13

DCBDA

CC
14

?1,2? ? ?2,3?
2

1 2

15

-

8 9

16

sin C ?e sin A ? sin B

三解答题 17 解: (1)? p : x ? x ? 2 ? 0

? p : ?1 ? x ? 2 · · · · · · · · · · · · ·4 分 ? ?P :{x | x ? ?1或x>2} (2)? q : 2 x ? m ? x ? m 2 2 ? q : ?2x ? m? ? ?x ? m? ? q : x 2 ? 2mx ? 0 又 m<0 ? q : x ? 0或x ? ?2m · · · · · · · · · · · · ·8 分 又 ? p 是 q 的充分不必要条件 ? 2 ? -2m 又 m<0 · · · · · · · · · · · · ·12 分 ? ? 1 ? m ? 0 即为所求
18 解:1)记“该应聘者能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai ?i ? 1,2,3,4? ,则 P ? A1 ? ?

3 , 4

P ? A2 ? ?

该应聘者通过考核未被淘汰的概率为 p? A1 A2 A3 A4 ? ? p? A1 ? p? A2 ? p? A3 ? p? A4 ? =

1 2 1 , P ? A3 ? ? , P ? A4 ? ? . 3 2 3

3 2 1 1 1 ? ? ? ? 4 3 2 3 12

· · · · · · · · · · · · ·6 分

(2) ? 该选手进入第四轮才被淘率的概率
P ? P A1 A2 A3 A4 ? P?A1 ?P?A2 ?P?A3 ?P A4

?

?

19 解(1) a ? 29, b ? 3, c ? 11 ,d ? 7
2

? ? ? 4 ? 3 ? 2 ? 3 ? 6. · · · · · · · · · · · · ·12 分

3 2 1 2

1

50 ? (3 ?11 ? 7 ? 29)2 K ? ? 6.27 ? 6.635 (3 ? 7)(29 ? 11)(3 ? 29)(7 ? 11)
所以没有 99%的把握认为月收入以 5500 为分界点对“楼市限购令”的态度有差异. (6 分) (2) 在[55,65)内的 5 名被调查者中,两名赞成“楼市限购令”者分别记为 A、B,三名不 赞成“楼市限购令”者分别记为 C、D、E. 从中任选两名共有 AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE 10 种不同情形,

x ? 1 即选中的 2 人中不赞成“楼市限购令”的人数为 1,有 AC AD AE BC BD
BE 共 6 种不同情形 故 x ? 1 的概率为

6 3 ? 10 5

· · · · · · · · · · · · ·12 分

20(1)由题意可知, b ? 1

?e ?

c2 a2 ? 1 4 c 2 5 ? ,? a 2 ? 5 ,即 2 ? ? 2 5 a a a 5

? 所以椭圆 C 的方程为:

x2 ? y 2 ? 1. ---------------------------4 分 5

(2)由(1)可求得椭圆 C 的坐标 F(2,0)

? 抛物线 E 的方程为: y 2 ? 8x ,

· · · · · · · · · · · · ·6 分

2 2 2 设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,代入 y ? 8x 得 x ? ?2m ? 8?x ? m ? 0

? ? ?2m ? 8? ? 4m2 ? 64 ? 32m ? 0 得 m ? 2
2

设 M ?x1 , y1 ? 、N ?x2 , y 2 ? 则 x1 ? x2 ? 8 ? 2m, x1 x2 ? m

2

M N ? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

2 2 = 2 (8 ? 2m) ? 4m

=8 2 ? m 又 M N =8 所以 8 2 ? m =8 解得 m=1 满足 m<2 所求直线方程为 y ? x ? 1

· · · · · · · · · · · · ·10 分

· · · · · · ·12 分

21.解: (Ⅰ)? a ? 0

? f ( x) ? ? x ln x ? x

? f ?( x) ? ? ln x

所以直线的斜率 k ? f ?(e) ? ? ln e =-1

f (e) ? ?e ln e ? e ? 0
故所求切线方程为 x ? y ? e ? 0 · · · · · · · · · ·4 分

(Ⅱ) f ?( x) ? (2ax ? 1)ln x ? ax ? 1 ? ax ? 1 ? (2ax ? 1)ln x 因为 x ? e 为函数 f ( x ) 的极值点 所以 f ?(e) ? 2ae ? 1 ? 0

1 (经检验符合题意) 2e x?e 1 ln x f ?( x ) ? ( x ? 1) ln x = e e 1 由 f ?( x ) ? ( x ? 1) ln x =0 得 x ? 1或x ? e e
解得 a ? 列表得 x

· · · · · · · · · · · · ·8 分

?0,1?
+

1 0

?1, e?
-

e
0

?e, ? ??
+

f ?? x ?

f ?x ?



极大值



极小值



所以函数 f ( x ) 在 ?0,1? 和 ?e, ? ?? 内是增加的,在 ?1, e? 内是减少的· · · · · · · ·12 分

(22)解: (Ⅰ)连结 OD,则 OA=OD,所以∠OAD=∠ODA. 因为∠EAD=∠OAD,所以∠ODA=∠EAD. 因为∠EAD+∠EDA=90?,所以∠EDA+∠ODA=90?, 即 DE⊥OD. 所以 DE 是圆 O 的切线. ?4 分
2

?2 分
C

D O M E A B N

(Ⅱ)因为 DE 是圆 O 的切线,所以 DE =EA·EB, 即 6 =3(3+AB),所以 AB=9. 因为 OD∥MN,
2

?6 分

所以 O 到 MN 的距离等于 D 到 MN 的距离,即为 6

?8 分

又因为 O 为 AC 的中点,C 到 MN 的距离等于 12 故△ABC 的面积 S= 1 AB·BC=54. 2 ?10 分

(23)解:(Ⅰ) 显然,函数 所以函数 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 由于 等号当且仅当 故欲使题意成立需 所以实数 的取值范围为 时成立, ,解之得 或 或 ……………10 分 在区间 的最小值 , 恒成立, , 上单调递减,在区间 上单调递增, …………5 分


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