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全国初中(初一)数学竞赛辅导:第09讲 “设而不求”的未知数


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全国初中(初一)数学竞赛辅导 第九讲 “设而不求”的未知数 让我们先看一道简单的数学题.

三角形的面积. 解 设这个三角形的斜边长度为 c,因为斜边上的中线长是 1,所以斜 边长 c=2.再设两条直角边的长度是 a,b,面积是 S,那么

a2+b2+2ab=6. ④ 把②,③代入④式得 4+4S=6,

在这个题目中,只要求出未知数 S 的值,而我们却设了三个未知数: a,b,S,并且在解题过程中,我们也根本没求 a,b 的值.但是由于增设 了 a,b 后,给我们利用等量关系列方程及方程组求 S 的值,带来了很大 的便利,像这种未知数(如 a,b)就是本讲所要介绍的“设而不求”的未 知数. 所谓“设而不求”的未知数,又叫辅助元素,它是我们为解决问题增 设的一些参数, 它能起到沟通数量关系,架起连接已知量和未知量的桥梁 作用. 例2若

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求 x+y+z 的值. 分析 已知条件是以连比的形式出现时,往往引进一个比例参数来表 示这个连比. 解 令

则有 x=k(a-b), y=k(b-c), z=k(c-a), 所以 x+y+z=k(a-b)+k(b-c)+k(c-a)=0, 所以 x+y+Z=0. 说明 本例中所设的 k,就是“设而不求”的未知数. 例 3 已知 p,q,r 都是 5 的倍数,r>q>p,且 r=p+10,试求

解 不妨设 p=5k1,q=5k2,r=5k3,由题意可知,k1,k2,k3 都是整数.因 为 r>q>p,所以 k3>k2>k1.又因为 r=p+10, 所以 5k3=5k1+10, k3=k1+2, ① 所以 k1+2>k2>k1, 所以 k2=k1+1. ② 将①,②代入所求的代数式得

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说明 本题中 k1,k2,k3 均是“设而不求”的未知数.

a>1,并且设 分子:n-13=ak1,① 分母:5n+6=ak2.② 其中 k1,k2 为自然数. 由①得 n=13+ak1,将之代入②得 5(13+ak1)+6=ak2, 即 所以 71+5ak1=ak2, a(k2-5k1)=71.

由于 71 是质数,且 a>1,所以 a=71,所以 n=k1·71+13. 故 n 最小为 84. 例 5 甲、乙、丙、丁四人,每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄 分别为 29,23,21 和 17,这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少? 解 设四个人的年龄分别记为 a,b,c,d,根据题意有

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由上述四式可知

比较⑤,⑥,⑦,⑧知,d 最大,c 最小,所以⑤-⑧得

所以 d-c=18,即这四个人中最大年龄与最小年龄的差为 18. 说明 此题不必求出 a,b,c,d 的值,只须比较一下,找出最大者与 最小者是谁,作差即可求解. 例 6 设有 n 个数 x1,x2,?,xn,它们的值只能是 0,1,2 三个数中 的一个,如果记

试用 f1 和 f2 表示

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解 设在 x1,x2,?,xn 这几个数中取值为 0 的有 s 个,取值为 1 的有 t 个,取值为 2 的有 r 个,则 s+t+r=n,0≤t≤n,0≤s≤n,0≤r≤n,由 此得 f1=t+2r,f2=t+4r. 所以

=(2k-1)f2-(2k-1-2)f1. 说明 本题借助于 s,t,r 找到了 fk 与 f1,f2 的关系表达式.

整除.根据一个数能被 9 整除的特征有 6+2+α +β +4+2+7=9m(m 为自然数), 即 又由于 α +β +3=9m1(m1 为自然数). 0≤α ≤9,0≤β ≤9,则有 3≤α +β +3≤21, 从而有 α +β =6 或α +β =15. ① 同理,按照一个数被 11 整除的特征有 α -β =-2 或α -β =9. ② ①与②相结合,并考虑 0≤α ≤9,0≤β ≤9,故只有α =2,β =4. 所以原自然数为 6 224 427. 例 8 我手中的卡片上写有一个三位数,并且个位数不为零,现将个 位与百位数字对调, 取两数的差(大数减小数),将所得差的三位数与此差 的个位、百位数字对调后的三位数相加,最后的和是多少?
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=a×100+b×10+c-(c×100+b×10+a) =99×a-99×c =100×a-100×c-100+90+10-a+c =100(a-c-1)+9×10+(10-a+c). 因 k 是三位数,所以 2≤a-c≤8, 1≤a-c-1≤7. 所以 差对调后为 k'=(10-a+c)×100+9×10+(a-c-1), 所以 k+k'=100(a-c-1)+9×10+(10-a+c) +(10-a+c)×100+9×10+(a-c-1) =1089. 故 所求为 1089. 2≤10-a+c≤8.

说明 本例中 a,b,c 作为参数被引进,但运算最终又被消去了,而 无须求出它们的值.这正是“设而不求”的未知数的典型例子. 在列方程解应用题中,更是经常用到增设参数的方法,下面再举几个 例题. 例 9 从两个重量分别为 12 千克(kg)和 8 千克,且含铜的百分数不同 的合金上切下重量相等的两块, 把所切下的每块和另一块剩余的合金放在 一起, 熔炼后两个合金含铜的百分数相等.求所切下的合金的重量是多少 千克?

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分析 由于已知条件中涉及到合金中含铜的百分数,因此只有增设这 两个合金含铜的百分数为参数或与合金含铜的百分数有关的其他量为参 数,才能充分利用已知,为列方程创造条件 . 解法 1 设所切下的合金的重量为 x 千克,重 12 千克的合金的含铜百 分数为 p,重 8 千克的合金的含铜百分数为 q(p≠q),于是有

整理得

5(q-p)x=24(q-p).

因为 p≠q,所以 q-p≠0,因此 x=4.8,即所切下的合金重 4.8 千克. 解法 2 设从重 12 千克的合金上切下的 x 千克中含铜 m 千克,从重 8 千克的合金上切下的 x 千克中含铜 n 千克(m≠n),则这两个合金含

整理得 5x(n-m)=24(n-m). 因为 m≠n,所以 n-m≠0,因此 x=4.8,即所切下的合金重 4.8 千克. 说明 在解含参数的方程时,一般情况下可以把参数消去,转化成只 含有待求未知数的一般方程,也就是说应用题的解答与参数的数值无关. 例 10 某队伍长 1998 米(m), 在行进中排尾的一个战士因事赶到排头, 然后立即返回,当这个战士回到排尾时,全队已前进 1998 米,如果队伍 和这个战士行进的速度都不改变,求这个战士走过的路程. 解法 1 设这个战士走过的路程为 s 米,所需要的时间为 t 小时(h),

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消去参数 t 得

解之得

解法 2 设这个战士的行进速度为 V1 米/小时,队伍行进的速度为

因此

所以这个战士所走距离为

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说明 在同一个问题中,由于考虑问题的角度不同,所以增设的参数 也会有所不同(如上例中的两种解法). 练习九

字),又 N 是 4 的倍数,且 N 被 11 除余 5,那么 x+y 等于多少? 4.五个人要完成某项工作,如果甲、乙、丙三人同时工作需 6 小时;

时;乙、丙、戊同时工作,需用 5 小时,问五个人同时工作需用多少小时 完成? 5.公共汽车每隔 x 分钟(min)发车一次,小红在大街上行走,发

辆 公共汽车,如果公共汽车与小红行进的速度都是匀速的,则 x 为多少?

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