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幂函数及其性质


幂函数及其性质专题
一、幂函数的定义 一 般 地 , 形 如 y ? x? ( x? R ) 的 函 数 称 为 幂 孙 函 数 , 其 中 x 是 自 变 量 , ? 是 常 数 . 如

y ? x2 , y ? x 3 , y ? x 4 等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数.
二、函数的图像和性质 (1)

y ? x (2) y ? x
1 2

1

?

1

(3) y ? x 2

(4) y ? x ?1

(5) y ? x3

用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像,通过观察图像,可以看出:

y?x
定义域 奇偶性 在第Ⅰ象限单调 增减性 定点(公共点) 3.幂函数性质

y ? x2

y ? x3

y?x

1 2

y ? x ?1

(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图 象都过点(1,1) ; (2) x >0 时,幂函数的图象都通过原点,并且在 [0,+∞]上,是增函数 (3)α <0 时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上 是减函数. 三.两类基本函数的归纳比较: ① 定义 对数函数的定义:一般地,我们把函数 y ? log a x ( a >0 且 a ≠1)叫做对数函数,其中 x 是 自变量,函数的定义域是(0,+∞) . 幂函数的定义:一般地,形如 y ? x? ( x? R)的函数称为幂孙函数,其中 x 是自变量, ? 是 常数. ②性质 对数函数的性质:定义域: (0,+∞) ;值域:R;
-1-

过点(1,0) ,即当 x =1, y =0; 在(0,+∞)上是增函数;在(0,+∞)是上减函数 幂函数的性质:所有的幂函数在(0,+∞)都有定义, 图象都过点(1,1) x >0 时,幂函数的图象都通过原点, 在[0,+∞]上, y ? x 、 y ? x 2 、 y ? x3 、 y ? x 2 是增函数, 在(0,+∞)上, y ? x ?1 是减函数。
例 1.已知函数 f ? x ? ? m ? m ? 1 x
2

1

?

?

?5 m ?3

,当 m 为何值时, f ? x ? :

(1)是幂函数; (2)是幂函数,且是 ? 0, ?? ? 上的增函数; (3)是正比例函数; (4)是反比例函数; (5) 是二次函数;

例 2.比较大小: (1) 1.5 ,1.7
1 2 1 2

(2) (?1.2) ,(?1.25) (3) 5.25 ,5.26 ,5.26 (4) 0.5 ,3 , log 3 0.5
3 3
3 0.5

?1

?1

?2

1. 下列函数中不是幂函数的是( A. y ?

) C. y ? 2 x )
3

x

B. y ? x

3

D. y ? x

?1

2. 下列函数在 ? ??, 0 ? 上为减函数的是( A. y ? x
1 3

B. y ? x

2

C. y ? x

D. y ? x )

?2

3. 下列幂函数中定义域为 x x ? 0 的是( A. y ? x 3
2

?

?

2

B. y ? x 2
- 1 2

3

C. y ? x

?

2 3

D. y ? x

?

3 2

4.函数 y=(x -2x) A.{x|x≠0 或 x≠2}
1

的定义域是(



B. (-∞,0) ? (2,+∞) C. (-∞,0) ? [2,+∞] D. ] (0,2) ) C. (0,1) 。 D. [0,1]

5.函数 y=(1-x2) 2 的值域是( A. [0,+∞]

B. (0,1)

2 3 6.函数 y= (15+2 x-x ) 的定义域是

-2-


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