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排列导学案2(教师版)


宜春中学数学学科 2-3 册笫一章第 6 课时排列导学案 编写:郑金龙 审核:高二数学理科备课组

编号:50

(2)原式 ?

m! m! m! ? ? ?m (m ? 1)! (m ? 1)! ? (m ? n)! ? (m ? n)! (m ? 1)! [(m ? 1) ? (n ? 1)]! (m ? n)!<

br />
学习目标:1. 进一步熟练掌握排列数公式及应用; 2. 能将一些简单的实际问题归结为排列问题,并用排列数公式计算; 学习重点:排列数公式的应用 学习难点:对阶乘的理解和运用 学习过程: 一、预习导航,要点指津 1. 排列: 一般地从 n 个不同的元素中取出 m ? m ? n ? 个元素,按照 一 定的顺序 排成一列,叫做 . .... 的一个排列. 说明: (1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列; (2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同
王新敞
奎屯 新疆

(3)原式 ?

(n ? 1)! 1 (n ? 1)! 1 ? (n ? m)!? ? ? (n ? m)!? ?1 [(n ? 1) ? (m ? 1)]! (n ? 1)! (n ? m)! (n ? 1)!
5 4 An ? An ? 4 ,则 n ? __________. (2)若 A8x ? 6 A8x?2 , x ? N , x ? __________ 3 An

例 2. (1)已知

(3)若 2 ?

(m ? 1)! ? 42 ,则 m 的解集是 m ?1 Am ?1



解析: (1)由
2

5 4 n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)(n ? 4) ? n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) An ? An ?4 ? 4得 3 n(n ? 1)(n ? 2) An
?

整理得: n ? 6n ? 5 ? 0 ,又 n ? 5 ,且 n ? N , 故 n ? 5
x ?2 (2)由 A8x ? 6 A8 得

8! 8! 2 ? 6? ,化简得 x ? 19 x ? 84 ? 0 ,解得 7 ? x ? 12 (8 ? x)! (10 ? x)!
即2 ? x ? 8且 x? N 故x ?8

2. 排 列 数 : 一 般 地 从 n 个 不 同 的 元 素 中 取 出 m ? m ? n ? 个 元 素 的 所 有 排 列 的 个 数 , 叫 做
m 的排列数,用符号 An 表示. m 3.排列数公式:An ? n(n ?1)(n ? 2) n (n ? m ?1) , 全排列数公式:An ? n ? (n ?1) ? (n ? 2) ?

又?

?0 ? x ? 8 且 x? N 0 ? x ? 2 ? 8 ?

所以 7 ? x ? 8, x ? N ,

? 2 ?1 ,

( 3) 2 ? 又m? N
?

我们把 n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ?

? 2 ?1记作 n ! ,读作: n 的阶乘,

(m ? 1)! (m ? 1)! ? 2 ? 2 ? (m ? 1)m ? 42 ? 42 ? 2 ? m ?1 (m ? 1)! Am?1
,所以 m ? 2 , 3 , 4 , 5 ,6. 故 m 的解集为 {2,3, 4,5,6} (2) 化简:

n 所以排列数公式也可以表示为 An ? n ? (n ?1) ? (n ? 2) ?

? 2 ?1 ? n !
例 3. 求证:(1)

m An ? n(n ?1)(n ? 2)

(n ? m ?1) ?

n! (n ? m)!

0 且规定 0! ? 1 , An ?1

n 1 1 ? ? ; (n ? 1)! n! (n ? 1)!

1 2 3 n ? ? ? ?? ? . 2! 3! 4! (n ? 1)!

二、自主探索,独立思考 例 1. 计算: (1)

证明:(1)?

1 1 n ?1 1 n ?1 1 n ? ? ? , ? ? ? n! (n ? 1)! (n ? 1) ? n! (n ? 1)! (n ? 1)! (n ? 1)! (n ? 1)!

8!? A85 ; 5 A84 ? A9

(2)

m! ; n ?1 Am ?1 (m ? n)!

(3)

m?1 n ?m An ?1 ? An ? m . n ?1 An ?1



n 1 1 ? ? . (n ? 1)! n ! (n ? 1)!

解析: (1) 原式 ?

8!? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 4 7 ? ?? 8? 7 ? 6? 5 ? 9?8? 7 ? 6?5 1? 9 2

(2)解:由(1)知,

1 2 3 ? ? ? 2! 3! 4!
1

?

n 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 1)! 1 ! 2! 2! 3! 3! 4!

?

1 1 1 ? ?1? n! ( n ? 1)! (n ? 1)!

例 4.(1)某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任意挂 1 面、2 面或 3 面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号? (2)将 4 位司机、 4 位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上,每一辆汽车分别有一位司机和一 位售票员,共有多少种不同的分配方案? (3)由数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为 ?
1 2 3 解析: (1)一共可以表示 A3 ? 3 ? 6 ? 6 ? 15 种不同的信号. ? A3 ? A3 4 4 (2)共有 A4 ? A4 ? 24 ? 24 ? 576 种不同的分配方法.

又?

?0 ? x ? 8 ?0 ? x ? 8 ?1? x ? 8 ?? ?0 ? x ? 1 ? 9 ?1 ? x ? 10

所以 6 ? x ? 8 ,又因为 x 是整数,故 x ? 7 或 8 .

4. 一个火车站有 8 股岔道,停放 4 列不同的火车,有多少种不同的停放方法(假定每股岔道只能停放 1 列火车)?
4 解析: 有 A8 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ? 1680 种停放方法.

5. 乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员,现派 5 各参加比赛,3 名主力队员必须参加比赛,且安排 在笫一、三、五位置上,其余 7 名队员中选 2 名安排在笫二、四位置上,那么不同的出场安排有多少 种?
3 2 解析: 有 A3 ? A7 ? 252 种

(3)可组成 A ? A ? 2 ? 24 ? 48 个四位偶数
1 2 3 4

三、小组合作探究,议疑解惑 各学习小组将上面自主探索的结论、解题方法、知识技巧进行讨论,交流,议疑解惑。 四、展示你的收获 由各学习小组派出代表利用多媒体或演板或口头叙述等形式展示个人或小组合作探究的结论、解题方 法、知识技巧。 (即学习成果) 五、重、难、疑点评析 由教师归纳总结点评 六、达标检测 1. 已知
7 5 An ? An ? 89 ,求 n 5 An
2

七、课后练习
2 2 1.已知 An ?1 ? A n ? 10 ,则 n 的值为 (

B ) D. 7 ! B )

A. 4

B. 5

C. 6

2.某段铁路所有车站共发行了 132 种普通车票,那么这段铁路共有车站数是( A. 8 B. 12 C. 16 D. 24

3. 下列各式中,不等于 n ! 的是( C ).
n A. An

B.

1 n ?1 An ?1 n ?1

n C. An ?1

n ?1 D. nAn ?1

2 4. (1)从 2,3,5, 7,11这五个数字中,任取 2 个数字组成分数,不同值的分数共有__ A5 ? 20 __个?

(2)某年全国足球甲级(A 组)联赛共有 14 队参加,每队都要与其余各队在主客场分别比赛 1 次, 共进行__ A 14 ? 182 _____场比赛?
2

解析: 由已知得 (n ? 5)(n ? 6) ? 1 ? 89 , 即 n ? 11n ? 60 ? 0 ,解得 n ? 15 . 2. 解方程: 3Ax?1 ? 6 Ax ? 2 Ax .
2 1 3

(3)有 3 名大学毕业生,到 5 家招聘员工的公司应聘,若每家公司至多招聘一名新员工,且 3 名大
2

解析: 方程可化为 3( x ? 1) x ? 6 x ? 2 x( x ? 1)( x ? 2) ,化简为 2 x ? 9 x ? 5 ? 0 ,解得 x ? 5 .
x ?1 3. 解不等式: 3A8x ? 4 A9

学毕业生全部被聘用,若不允许兼职,则共有_ A5 ? 60 _______种不同的招聘方案.
3 1 1 3 (4)5 人站成一排照相,甲必须站正中间,乙不站在两端,共有_ A 1 ?A 2?A 3 ? 12 __种不同的站法?

x ?1 ? 3? 解析: 由 3A8x ? 4 A9

8! 9! 4?9 ? 6 ? x ? 13 ? 4? ?3? (8 ? x)! (10 ? x)! (10 ? x)(9 ? x)

(5)用 0 到 9 这 10 个数字能组成__ A9 ? A2 ? A9 ? 648 _____个没有重复数字的三位数.
3 1 2

2

3 2 2 5. 解方程:3 Ax ? 2 Ax ?1 ? 6 Ax .

解析: 方程可化为 3x( x ? 1)( x ? 2) ? 2( x ? 1) x ? 6 x( x ? 1) ,即 3x ? 17 x ? 10 ? 0
2

又 x ? 3 ,且 x ? N , 所以 x ? 5 ,
x 6. 解不等式: A9 ? 6 A9x?2 . x 解析: 由 A9 ? 6 A9x?2 ?

?

3 2 2 x?5 即方程 3 Ax ? 2 Ax ?1 ? 6 Ax 的解为

9! 9! ? (11 ? x)(10 ? x) ? 6 ? x ? 8 或 x ? 13 , ? 6? (9 ? x)! (11 ? x)!
,所以 2 ? x ? 8 ,且 x ? N ,故 x ? 2,3, 4,5, 6, 7 .

又?

?0 ? x ? 9 ?2? x?9 ?0 ? x ? 2 ? 9

7. 已知甲组有 2n 人,乙组有 n+1 人,设从甲组中选 3 人分别参加数、理、化三科竞赛(每科竞赛限 1 人参加)的选法种数是 x,从乙组中选出 4 人站成一排的站法种数是 y,若 x=2y,求 n,x 和 y.
3 4 3 4 解析: 依题意 x ? A2 n, y ? A n?1 由 x ? 2 y ,有 A 2n ? 2 A n?1 ,

即 2n(2n-1)(2n-2)=2(n+1)n(n-1)(n-2). ∵ n ? 0 , n ? 1 ,∴2(2n-1)=(n+1) (n-2), 即 n2-5n=0, ∴n=5,x=720,y=360. (2)

m m?1 m 8. 求证:(1)求证: An ? mAn ? An ?1 .

(2n)! ? 1? 3 ? 5…(2n ? 1) . 2n ? n !

9. 化简: 1?1!? 2 ? 2!? 3 ? 3!? … ? n ? n ! 解析: 因为 n ? n ! ? (n ? 1 ? 1) ? n ! ? (n ? 1) ? n !? n ! ? (n ? 1)!? n ! 所以原式 ? (2!? 1!) ? (3!? 2!) ? (4! ?3!) ?

?( n ?1)! ? n ! ? (n ? 1)!? 1

3


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