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第二章随机变量及其分布章末复习


1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,

了解分布列对于刻画随机现象的重要性.
2.理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用. 3.了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立 重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题.

4.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能

/>计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问 题. 5.利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线 所表示的意义.

1.以应用题为背景命题,考查离散型随机变量的分布列、 均值及某范围内的概率.相互独立事件同时发生的概率,某事

件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率计算,二项分布和离
散型随机变量的均值与方差是高考的重点,考查的题型以解答 题为主,有时也出现选择、填空题. 2.高考中考查热点仍是离散型随机变量的分布列及均值, 同时结合相互独立事件同时发生的概率和二项分布,其难度为 中档.

P( AUB) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) ? 1 ? P( AB) A, B互斥 ? P( AUB) ? P( A) ? P( B) ? ? 反之,不一定成立; A, B对立 ? P( A) ? P( B) ? 1 ? A, B相互独立 ? P( AB) ? P( A) P( B) (用来判定A,B相互独立) n( AB) P( AB) P( B | A) ? ? ( P( A) ? 0), 变形:P( AB)=P( A) P( B | A) n( A) P( A) A1 , A2 ,? An 两两互斥,则P( A1 ? A2 ??? An )=P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? P( An ) A1 , A2 ,? An 相互独立,则P( A1 A2 A3 ? An )=P( A1 ) P( A2 ) ? P( An )

在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次
抽取2道题,求: (1)第1次抽到理科题的概率; (2)第1次和第2次都抽到理科题的概率; (3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概 率.

某课程考核分理论与实验两部分进行,每部分考核成绩
只记“合格”与“不合格”,两部分考核都“合格”,则该课 程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分 别为0.9、0.8、0.7;在实验考核中合格的概率分别为0.8、0.7、 0.9.所有考核是否合格相互之间没有影响.

(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率;
(2)求这三人该课程考核都合格的概率.(结果保留三位小

数).

解析:
件;

记“甲理论考核合格”为事件A1,记为A1的对立事

记“乙理论考核合格”为事件A2,记为A2的对立事件; 记“丙理论考核合格”为事件A3,记为A3的对立事件; 记“甲实验考核合格”为事件B1,“乙实验考核合格”为事 件B2,“丙实验考核合格”为事件B3. (1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件C,记为C的对

立事件.

方法一: P(C)=P((A1A2 A3 )∪(A1 A2 A3)∪( A1 A2A3)∪(A1A2A3)) =P(A1A2 A3 )+P(A1 A2 A3)+P( A1 A2A3)+P(A1A2A3) = 0.9×0.8×0.3 + 0.9×0.2×0.7 + 0.1×0.8×0.7 + 0.9×0.8×0.7=0.902.
方法二: P(C)=1-P( C ) =1-P(( A1 A2 A3 )∪(A1 A2 A3 )∪( A1 A1 A3 )∪( A1 A2 A3)) =1-[P( A1 A2 A3 )+P(A1 A2 A3 )+P( A1 A2 A3 )P( A1 A2 A3] = 1 - (0.1×0.2×0.3 + 0.9×0.2×0.3 + 0.1×0.8×0.3 + 0.1×0.2×0.7)=1-0.098=0.902. 所以,理论考核中至少有两人合格的概率为 0.902.

(2)记“三人该课程考核都合格”为事件D.
P(D)=P[(A1B1)(A2B2)(A3B3)] =P(A1B1)P(A2B2)P(A3B3) =P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3) =0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9 =0.254 016≈0.254. 所以这三人该课程考核都合格的概率约为0.254.

1.求离散型随机变量的分布列有三个步骤: (1)明确随机变量X取哪些值;

(2)计算随机变量X取每一个值时的概率;
(3)将结果用二维表格形式给出.计算概率时注意结合排列

与组合知识.
2.求离散型随机变量的分布列,要解决好两个问题: (1)根据题意,明确随机变量X取值,切莫疏忽大意多解或漏解;

(2)一般来说,求相应的概率时有时数字会很大,同学们要有信心, 不要半途而废.

某单位有三辆汽车参加某种事故保险,单位年初向保 险公司缴纳每辆 900 元的保险金,对在一年内发生此种事故 的每辆汽车, 单位可获 9 000 元的赔偿(假设每辆车最多只赔 1 偿一次), 设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为 , 9 1 1 , ,且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在 10 11 此保险中: (1)获赔的概率; (2)获赔金额 ξ 的分布列.

解析: 设 Ak 表示第 k 辆车在一年内发生此种事故,k 1 =1,2,3.由题意知 A1,A2,A3 相互独立,且 P(A1)= ,P(A2) 9 1 1 = ,P(A3)= . 10 11 (1)该单位一年内获赔的概率为 1-P( A1 A2 A3 )=1-P( A1 )P( A2 )P( A3 ) 8 9 10 3 =1- × × = . 9 10 11 11

(2)ξ 的所有可能值为 0,9 000,18 000,27 000. 8 9 10 8 P(ξ=0)= × × = , 9 10 11 11 P(ξ=9 000)=P(A1 A2 A3 )+P( A1 A2 A3 )+P( A1 A2 A3)

1 9 10 8 1 =P(A1)P( A2 )P( A3 )+P( A1 )P(A2)P( A3 )+P( A1 )P( A2 )P(A3) = × × + × 9 10 11 9 10 × 10 8 9 1 242 11 + × × = = , 11 9 10 11 990 45 P(ξ=18 000)=P(A1A2 A3 )+P(A1 A2 A3)+P( A1 A2A3) 1 1 10 1 9 1 8 1 1 27 3 = × × + × × + × × = = , 9 10 11 9 10 11 9 10 11 990 110 1 1 1 1 P(ξ=27 000)=P(A1A2A3)== × × = . 9 10 11 990 综上可知,ξ 的分布列为

ξ P

0 8 11

9 000 11 45

18 000 3 110

27 000 1 990

求离散型随机变量的期望、方差,首先要明确概率分布, 最好确定随机变量概率分布的模型,这样就可以直接运用公式 进行计算.不难发现,正确求出离散型随机变量的分布列是解

题的关键.在求离散型随机变量的分布列之前,要弄清楚随机
变量可能取的每一个值,以及取每一个值所表示的意义.

离散型随机变量的期望与方差试题,主要考查观察问题、
分析问题和解决问题的实际综合应用能力以及考生收集、处理 信息的能力.主要题型: (1)离散型随机变量分布列的判断; (2)求离散型随机变量的分布列、期望与方差; (3)根据离散型随机变量的分布列、期望与方差的性质求参 数.

某城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一位客人游览这3个景
点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影 响.设ξ表示客人离开该城市时浏览的景点数与没有游览的景点 数之差的绝对值. (1)求ξ的分布列及数学期望; (2)记“函数f(x)=x2 -3ξx+1在区间[2,+∞)上单调递增” 为事件A,求事件A的概率.

解析:

(1)分别设“客人游览甲景点”、“客人游览乙景

点”、“客人游览丙景点”为事件A1、A2、A3.由已知A1、A2、A3 相互独立,P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)=0.6. 客人游览的景点数的可能取值为0、1、2、3.相应地,客人 没有游览的景点数的可能取值为3、2、1、0,所以ξ的可能取值 为1、3.

P(ξ=3)=P(A1· 2· 3)+P( A1 · 2 · 3 ) A A A A =P(A1)P(A2)P(A3)+P( A1 )P( A2 )P( A3 ) =2×0.4×0.5×0.6=0.24, P(ξ=1)=1-0.24=0.76. 所以 ξ 的分布列为
ξ P 1 0.76 3 0.24

Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48.

(2)方法一:因为

? 3 ?2 9 2 ? ? f(x)=?x-2ξ? +1- ξ , 4 ? ?
2

所以函数 f(x)=x -3ξx+1

?3 ? ? 在区间?2ξ,+∞?上单调递 ? ? ?

3 4 增. 要使 f(x)在[2, +∞)上单调递增, 当且仅当 ξ≤2, ξ≤ . 即 2 3 从而
? 4? ? P(A)=P?ξ≤3?=P(ξ=1)=0.76. ? ? ?

方法二:ξ 的可能取值为 1、3. 当 ξ=1 时,函数 f(x)=x2-3x+1 在区间[2,+∞)上单 调递增. 当 ξ=3 时,函数 f(x)=x2-9x+1 在区间[2,+∞)上不 单调递增. 所以 P(A)=P(ξ=1)=0.76.

对于正态分布问题,在新课程标准中的要求不是很高,只

要求同学们了解正态分布中的最基础的知识.但由于正态分布
中体现了数形结合的重要思想,一些结合图象解决某一区间内 的概率问题又成为热点问题,这就需要同学们熟练掌握正态分 布的形式,记住正态总体在三个区间内取值的概率,运用对称 性结合图象求相应的概率.

正态分布

(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a,b (a<b),随机变量X满足P(a< X≤b)=

? 1 2? 2 ? ?,? ( x) ? e , x ? ( ??, ??) 2 π? (2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

?

b

a

? ? ,? ( x ) d x,则称X的分布为正态分布,记作
( x ? ? )2

__________. N(μ ,σ 2)

①P(μ -σ <X≤μ +σ )=_________; 0.682 6 ②P(μ -2σ <X≤μ +2σ )=________; 0.954 4 ③P(μ -3σ <X≤μ +3σ )=_________. 0.997 4 (3)一般正态分布转化为标准正态分布
? ? N (? , ? ), 令? ? ? ?? x?? , 则? ? N (0,1) P(? ? x) ? F ( x) ? ?( ) ? ?

已知随机变量? ? N (1, 4),?(0.5) ? 0.6915, 则 P(? ? ?1) ? , P(? ? 0) ? .

1 3 1.已知 P(B|A)= ,P(A)= ,P(AB)=( 2 5 5 A. 6 3 C. 10 9 B. 10 1 D. 10

)

1 3 3 解析: P(AB)=P(B|A)· P(A)= × = . 2 5 10
答案: C

4 2.某一批花生种子,如果每 1 粒发芽的概率为 ,那么 5 播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是( 16 A. 625 192 C. 625 96 B. 625 256 D. 625 )

解析: 由题意得
答案: B

4?2 2?4?2? P4(2)=C4 ? ? ?1- ? =
?5? ?

? ? ?

?

5?

96 ,选 B. 625

3.已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.682 6,则P(X>4)=( A.0.158 8 ) B.0.158 7

C.0.158 6

D.0.158 5

1 解析: P(X>4)= [1-P(2≤X≤4)] 2 1 = ×(1-0.682 6)=0.158 7. 2
答案: B

4.在 15 个村庄中,有 7 个村庄交通不太方便,现从中 任意选 10 个村庄, X 表示 10 个村庄中交通不太方便的村 用 C74· 86 C 庄数,下列概率中等于 的是( C1510 A.P(X=2) C.P(X=4) B.P(X≤2) D.P(X≤4) )

C72· 88 C 解析: A 中 P(X=2)= ; C1510 C72· 88 C B 中 P(X≤2)=P(X=2)= ; C1510 C74· 86 C C 中 P(X=4)= ; C1510 D 中 P(X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) C72· 88+C73· 87+C74C86 C C = . C1510
答案: C

5.甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分 别是0.8、0.6、0.5,则三人都达标的概率是________,三人中至 少有一人达标的概率是________.

解析:

记:“甲、乙、丙参加此项测试能达标”为事件A、

B、C,则事件A、B、C是相互独立事件, P(A·B·C)=P(A)·P(B)·P(C) =0.8×0.6×0.5 =0.24

三人中至少有一人达标的对立事件是三人都不达标 ∴P=1-P( A B C ) =1-(1-0.8)×(1-0.6)×(1-0.5) =1-0.2×0.4×0.5 =0.96
答案: 0.24 0.96

6.已知 ξ 是随机变量,若 η=2ξ+3,且 E(η)=11,则 1 E(ξ)=________;若 P(ξ=± 1)= ,则 D?2ξ+5?=________. 2
解析: 由 η=2ξ+3 知,E(η)=E(2ξ+3)=2E(ξ)+3= 11,故 E(ξ)=4. 1 ∵P(ξ=± 1)= , 2 1 1 ∴E(ξ)=-1× +1× =0, 2 2

1 1 2 ∴D(ξ)=(-1-0) × +(1-0) × =1, 2 2
2

D(2ξ+5)=22D(ξ)=4, ∴ D?2ξ+5?=2.
答案: 4 2

7.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18,19,20 层可以停靠.若该电梯在底层载有 5 位乘客,且每位乘客在 1 这三层的每一层下电梯的概率均为 ,用 ξ 表示这 5 位乘客 3 在第 20 层下电梯的人数,求: (1)随机变量 ξ 的分布列; (2)随机变量 ξ 的数学期望.

解析: (1)考察一位乘客是否在第 20 层下电梯为一次 试验,这是 5 次独立重复试验,故
? ?? ? k)=C5 ?3? ?3? ? ?? ?
k?1?k?2?5-k

? 1? ? ξ~B?5,3?,即有 ? ? ?

P(ξ=

,k=0,1,2,3,4,5.

由此可得 ξ 的分布列为

ξ

0

1 80 243

2 80 243

3 40 243

4 10 243

5 1 243

32 P 243

? 1? 1 5 ? ? (2)∵ξ~B?5,3?,∴E(ξ)=5× = . 3 3 ? ?

8.某商店试销某种商品20天,获得如下数据: 日销售量(件) 频数 0 1 1 5 2 9 3 5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某
天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现

存量少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视
为概率. (1)求当天商店不进货的概率; (2)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列和 数学期望.

解析: (1)P(当天商店不进货)=P(当天商品销售量为 0 1 5 3 件)+P(当天商品销售量为 1 件)= + = . 20 20 10 (2)由题意知,X 的可能取值为 2,3. 5 1 P(X=2)=P(当天商品销售量为 1 件)= = ; 20 4

P(X=3)=P(当天商品销售量为 0 件)+P(当天商品销售 1 9 5 3 量为 2 件)+P(当天商品销售量为 3 件)= + + = . 20 20 20 4

则X的分布列为

X P

2 1 4

3 3 4

1 3 11 X 的数学期望为 EX=2× +3× = . 4 4 4

练考题、验能力、轻巧夺冠

要点梳理
1.若离散型随机变量X的分布列为
X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn

2.离散型随机变量的均值与方差

(1)均值

①明确含义, 确定所有 可能取值; ②求出概率; ③列成表格.

x1p1+x2p2+?+xi pi+?+x 称E(X)=_________________________ n 为随机变量X的均
n 数学期望 平均水平 值或______________.它反映了离散型随机变量取值的____.

p

(2)方差 2 2 2 D( X ) ? ? x1 ? E ( X ) ? p1 ? ? ? ? xi ? E ( X ) ? pi ? ? ? ? xn ? E ( X ) ? pn 称D(X)= 平均偏 为随机变量X的方差,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的_____ 离程度 其中_________________为随机变量X的标准差.

算数平方根 D( X )

均值与方差的性质 aE(X)+b (1)E(aX+b)=__________. a2D(X) (2)D(aX+b)=________.(a,b为常数) 两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布,则E(X)= p ,D(X)= p(1 ? p) . np np(1 ? p) (2)若X~B(n,p),则E(X)=____,D(X)=_________. 事件关系及概率常见公式

P( AUB) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) ? 1 ? P( AB) A, B互斥 ? P( AUB) ? P( A) ? P( B) ? ? 反之,不一定成立; A, B对立 ? P( A) ? P( B) ? 1 ? A, B相互独立 ? P( AB) ? P( A) P( B) (用来判定A,B相互独立) n( AB) P( AB) P( B | A) ? ? ( P( A) ? 0), 变形:P( AB)=P( A) P( B | A) n( A) P( A)

正态分布

(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a,b (a<b),随机变量X满足P(a< X≤b)=

? 1 2? 2 ? ?,? ( x) ? e , x ? ( ??, ??) 2 π? (2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

?

b

a

? ? ,? ( x ) d x,则称X的分布为正态分布,记作
( x ? ? )2

__________. N(μ ,σ 2)

①P(μ -σ <X≤μ +σ )=_________; 0.682 6 ②P(μ -2σ <X≤μ +2σ )=________; 0.954 4 ③P(μ -3σ <X≤μ +3σ )=_________. 0.997 4 (3)一般正态分布转化为标准正态分布
? ? N (? , ? ), 令? ? ? ?? x?? , 则? ? N (0,1) P(? ? x) ? F ( x) ? ?( ) ? ?

常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布列 如果随机变量X服从两点分布,则其分布列为
X 0 1

P

1—p

p

而称p=P(X=1)为成功概率。

(2)超几何分布 一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其 中恰有X件次品数,则事件{X=k}发生的概率为 称分布列
k n CM C N?k ?M P( X ? k ) ? ,k ? 0,1,2,?, m n CN

X P

0
0 n CM C N?0M ? n CN

1
1 n CM C N?1M ? n CN

… …

m
m n CM C N?m ?M n CN

为超几何分 布列.

(2)二项分布:

一般地,在n次独立重复试验中,设事件A 发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概 率为p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰 好发生k次的概率为

P( X ? k ) ? C p (1 ? p)
k n k

n?k

, k ? 0,1, 2,..., n.

此时称随机变量X服从二项分布,记作 X~B(n,p),并称p为成功概率。
注:

Pn ( k ) ? c p q
k n k

n? k

是( p ? q ) 展开式中的第 k ? 1项.
n


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