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2.5等比数列的前n项和(1)


复习
1.等比数列 ?an ? 的定义: an ? an ?1 ? q, (n≥2).
n ?1 a ? a q , (a1 ? 0, q ? 0). 的通项公式: ? ? a 2.等比数列 n n 1

3. a, G , b 成等比数列

G 2 ? ab, ( ab ? 0)

传说在古代印

度,国王要奖赏国际象棋的发明者,发 明者说:“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒,在第2 个格子里放上2颗麦粒,在第3个格子里放上4颗麦粒,在 第4个格子里放上8颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦 粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍,直到第64个格 子。请给我足够的粮食来实现上述要求”。国王觉得并不 难,就欣然同意了他的要求。你认为国王有能力满足发明 者的要求吗?

分析:由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒 数的2倍,且共有64个格子,各个格子里的麦粒数依次是

1,2,2 ,2 , ? ,2 ,
于是发明者要求的麦粒总数就是
2 3

2

3

63

1? 2 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 .
62 63

问题:求以1为首项,2为公比的等比数列的前64项的和

S 64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? 262 ? 263.
两边同乘公比2, 得

2S 64 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? ? ? 2 ? 2 .
63 64

将上面两式列在一起,进行比较

S 64 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? 2 ,
63

① ②

2 S 64 ?
② - ①,得
64

2 ? 4 ? 8 ? ? ? 263 ? 264.

S 64 ? 264 ? 1
19

说明: 2 ? 1 超过了1 .84 ?10 ,假定千粒麦子的质量为 40g,那么麦粒的总质量超过了7000亿吨。所以国王 是不可能同意发明者的要求。

等比数列的前n项和
设等比数列 a1 , a2 , a3 , ? , an , ?
它的前n项和是 即

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an
2 n?2

S n ? a1 ? a1q ? a1q ? ? ? a1q

? a1q

n ?1

.



⑴×q, 得

qS n ?
⑴-⑵,得
由此得q≠1时,

a1q ? a1q 2 ? ? ? a1q n ?2 ? a1q n ?1 ? a1q n .

?1 ? q ? ? S n ? a1 ? a1q
a1 ? 1 ? q Sn ? 1? q



n

?

n

?

,

说明:这种求和方法称为错位相减法

当q≠1时,


a1 ? 1 ? q n Sn ? 1? q

?

?

a1q n ? a1q n ?1 ? q ? an q,
a1 ? an q Sn ? 1? q

?

?



显然,当q=1时,

S n ? na1

等比数列的前n项和表述为:

Sn ?

{

na1 ,
a1 ? 1 ? q 1? q

( q=1).
n

?

?? a ?a q,
1 n

1? q

(q≠1).

例1 、求下列等比数列的前 8项的和 1 1 1 ( 1 ) , , ,? 2 4 8 1 (2)a1=27 ,a9= ,q ? 0 243 1 1 1 1 n=8,得 解: (1)由 a1 ? , q ? ? ? , 4 2 2 2
8 ? 1 ?1? ? 1 ? ?1? ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 2 2 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? S8 ? 1 1 1? 2 2 8 255 ?1? ? 1? ? ? ? 256 ?2?
8

1 1 ?2?由a1 ? 27, a9 ? , 可得 =27 ? q 8 243 243 1 又由q ? 0, 可得q ? ? 3
? ? 1? ? 27 ?1 ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 1640 ? 于是当n ? 8时,S8 ? ? 1? 81 ? 1? ? ? ? ? 3?
8

练习1


根据下列条件,只需列出等比数列 ?an ? 的

S n 的式子

a1 ? 3, q ? 2, n ? 6;

3 1 ? 26 Sn ? 1? 2

?

?

1 ⑵ a1 ? 2.4, q ? ?1.5, an ? ; S n ? 2

1 2.4 ? ? ?? 1.5? 2 1 ? ?? 1.5?

⑶等比数列1,2,4, ? 从第5项到第10项的和为

1? 2 1? 2 ? S ? S10 ? S 4 ? 1? 2 1? 2
10

4



a5 1 ? q 2 1? 2 S? ? 1? q 1? 2
6 4

?

?

?

6

?

小结
1.已知 a1 , n, q 则 S n ?

{

na1 ,
a1 ? 1 ? q n , 1? q

?

?

( q=1).

(q≠1).
( q=1). (q≠1).

已知 a1 , an , q 则

Sn ?

{

na1 ,
a1 ? an q , 1? q

2.对含字母的题目一般要分别考虑q=1和q≠1两种情况。

填 表
数 前 列 n 等 差 数 列 等 比 数 列

项 和 公 式

n?a1 ? a n ? Sn ? 2 n?n ? 1? ? na1 ? d 2
倒序相加

a1 1 ? q n Sn ? 1? q a1 ? a n q ? 1? q
错位相减

?

?
?q ? 1?

推导方法

【注意】在应用等比数列的前n项和公式时考虑

公比是否为1 .


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