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四川省德阳中学2014届高三“零诊”考试数学(理)试题


四川省德阳中学 2014 届高三“零诊”试题 理科数学
考生注意: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。 2.答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级和考号填写在试卷的 相应位置。 3.请将第 I 卷的答案填在第Ⅱ卷前面的答案栏上。第Ⅱ卷用 0.5 毫米黑色墨水签字笔答题。 4.本次考试时间 120 分钟,试卷满分 150 分。

第Ⅰ卷(选择题
2

共 50 分)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.若集合 A ? ( x || x | ? x ? 0} , B ? {x | x ? 5 x ? 6 ? 0} ,则 A ? B ? ( ) A. {x | 2 ? x ? 3} C. {x | 0 ? x ? 2 或 x ? 3} 2. 设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 ? z ? (
2 z

B. {x | 0 ? x ? 2 或 x ? 3} D. {x | x ? 3} ) C. 2 ? i )
2

A. 2 ? i

B. 2 ? 2i

D. 2

3. 下列有关命题的说法正确的是 (
2

A.命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”. B.“ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件.
2

C.命题“ ? x ? R, 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“对 ? x ? R, 均有 x ? x ? 1 ? 0 ”.
2 2

D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. 4.已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图中半圆的直 径为 2,则该几何体的体积为( ) A. C.
3 24 ? ? 2
24 ?

B. 24 ?

?
2

?
3

D. 24 ? ?

⒌ 等差数列 ?an ? 中的 a1 ,a4025 是函数 f ( x) ?

1 3 x ? 4 x 2 ? 6 x ? 1 的极值点,则 log 2 a2013 ? 3
·1·

( A. 2

) B. 3 C. 4 D. 5

6.把函数 y ? sin(5 x ? 为原来的

?
2

) 的图象向右平移
)

? 个单位,再把所得函数图象上各点的横坐标缩短 4

1 ,所得的函数解析式为( 2 3? A. y ? sin(10 x ? ) 4 7? C. y ? sin(10 x ? ) 4

7? ) 2 3? D. y ? sin(10 x ? ) 2
B. y ? sin(10 x ?

7.已知 l, m 是两条不同的直线,? , ? 是两个不同的平面,在下列条件中,能成为 l ? m 的充分 条件的是( ) B. l, m 在 ? 内的射影分别为 l , m ,且 l / ? m /
/ /

A. ? ? ? ? l , m 与 ?、? 所成角相等 C. ? ? ? ? l , m ? ? , m ? ?

D. ? ? ? , l ? ? , m // ?

a 8. 设集合 S ? 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9? , 集合 A ? a1 , a2 , a3 ? ,A ? S , 1 , a2 , a3 满足 a1 ? a2 ? a3
且 a3 ? a2 ? 6 ,那么满足条件的集合 A 的个数为( ) A. 76 B.78 C.83 D.84

?

?

9. 定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f (2 ? x) ? f ( x) ,且在 [?3, ?2] 上是减函数,? , ? 是钝角 三角形的两个锐角,则下列不等式中正确的是( ) A f (sin ? ) ? f (cos ? ) B f (sin ? ) ? f (cos ? ) C f (cos ? ) ? f (cos ? ) D f (cos ? ) ? f (cos ? ) )

10. 若函数 f ( x) ? log a ( x 3 ? ax) (a ? 0, a ? 1) 在区间 (? A.[
1 ,1) 4

B.[

3 ,1) 4

1 ,0)内单调递增,则 a 取值范围是( 2 9 9 C. ( , ??) D.(1, ) 4 4

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 已知

共 100 分)

cos(? ? 2? ) sin(? ?

?
4

??

)

2 ,则 cos? ? sin ? ? _______ 2

12. 执行右边的程序框图,若 p=100,则输出的 n ? 13. 若 (3 x ?

1 x

) n 的展开式中各项系数之和为 64 ,
·2·

则展开式的常数项为
?5 x ? 2 y ? 18 ? 0 14. 设变量 x, y 满足 ? 2 x ? y ? 0 ,若直线 kx ? y ? 2 ? 0 经过该可行域,则 k 的最大值为 ? ?x ? y ? 3 ? 0 ?

15.定义在 (0,??) 上函数 f (x) 满足对任意 x, y ? (0,??) 都有 xy ? f ( xy) ? x ? f ( x) ? y ? f ( y) , 记 数 列 a n ? f (2 ) , 有 以 下 命 题 : ① f (1) ? 0 ; ② a1 ? a2 ; ③ 令 函 数 g ( x) ? xf ( x) , 则
n

1 g ( x) ? g ( ) ? 0 ;④令数列 bn ? 2 n ? a n ,则数列 {bn } 为等比数列, x
其中真命题的为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 sin wx cos wx ? cos 2wx , w ? 0, x ? R 2

且函数 f ( x) 的最小正周期为 ? (1)求 w 的值和函数 f ( x) 的单调增区间;(2)在 ?ABC 中,角 A、B、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,又 f (

A ? 4 ? ) ? , b ? 2 , ?ABC 的面积等于 3 ,求边长 a 的值. 2 3 5

17.(本小题满分 12 分)德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初 步共四门课程,要求初等代数、初等几何都要合格,且初等数论和微积分初步至少有一门合格,则 能取得参加数学竞赛复赛的资格,现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训,每一位同学对 这四门课程考试是否合格相互独立,其合格的概率均相同, (见下表) ,且每一门课程是否合格相互 独立, 课 程 初等代数 初等几何 初等数论 微积分初步

合格的概率

3 4

2 3

2 3

1 2

(1)求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率; (2)记 ? 表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数,求 ? 的分布列及期望 E? .

18.(本小题满分 12 分)
·3·

如图,四棱锥 P—ABCD 中, ?PAB 为边长为 2 的正三角形,底面 ABCD 为菱形,且平面 PAB⊥平 面 ABCD, PC ? AB ,E 为 PD 点上一点,满足 PE ? (1)证明:平面 ACE ? 平面 ABCD; (2)求直线 PD 与平面 ACE 所成角正弦值的大小. A

1 ED 2

P E D

2 19.(本小题满分 12 分)单调递增数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足B S n ? an ? n , C 2

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)数列 {bn } 满足 an ?1 ? log 3 bn ? log 3 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

20.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线 2 a b 2

x ? y ? 6 ? 0 相切,直线 l : x ? my ? 4 与椭圆 C 相交于 A、B 两点.
(1)求椭圆 C 的方程;(2)求 OA ? OB 的取值范围;

??? ??? ?

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

1 ? ln x . x

(1)若函数 f ( x) 在区间 (a, a ? )(a ? 0) 上存在极值点,求实数 a 的取值范围; (2)当 x ? 1 时,不等式 f ( x) ? (3)求证: ? (n ? 1)!? ? ( n ? 1)e
2

1 3

k 恒成立,求实数 k 的取值范围; x ?1
n ? 2? 2 n ?1

. n ? N ? , e 为自然对数的底数) (

·4·

四川省德阳中学 2014 届高三“零诊”试题 理科数学参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 A 5 A 6 C 7 C 8 C 9 B 10 B

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. ?

1 2

12. 7

13.

-540

14. 1

15.① ② ③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. 解:(1)因为 f ( x) ? sin(2wx ? 由 f ( x) 的最小正周期为 ? ,得

?
6

)

………2 分 ………3 分

w ?1

? 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?
? ?

?
2

k ? z 即 k? ?
, k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

k?z

………5 分

所以,函数的增区间为 ? k? ? (2)? f (

?
6

??
3? ?

k?z

………6 分

4 3 A ? ? 0, ? ? ? cos A ? , sin A ? 5 5 1 3 ………10 分 ? S ? bc sin A ? 3, b ? 2, sin A ? ?c ? 5 2 5
2 2 2 由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 13 ? a ? 13

A ? 4 ? )? 2 3 5

………8 分

………12 分

·5·

17.(本小题满分 12 分)

18.(本小题满分 12 分)

·6·

(2) PD ? (?2, 3,? 3 ) ,设直线 PD 与平面 ACE 所成角大小为 ? , 则 sin ? ? cos ? PD, n ? ? 19.(本小题满分 12 分)
2 (1)将 n ? 1代入 2 S n ? an ? n

3 30 20

(1)
2

解得: a1 ? 1

当 n ? 2 时: 2 S n ?1 ? a n ?1 ? n ? 1 由(1)-(2)得: 2a n ? a n ? a n ?1 ? 1
2 2

(2) 整理得: (a n ? 1) ? a n ?1 ? 0
2 2

即: a n ? a n ?1 ? 1 或 a n ? a n ?1 ? 1

( n ? 2)

又因为 ?a n ?单调递增,故: a n ? a n ?1 ? 1 所以: ?a n ?是首项为 1,公差为 1 的等差数列, a n ? n (2)由 an ?1 ? log 3 bn ? log 3 an 得: n ? 1 ? log 3 bn ? log 3 n 利用错位相减法解得: Tn ? 20.(本小题满分 13 分)
·7·

即: bn ?

n 3n?1

1 2n ? 3 (1 ? n ?1 ) 4 3

(Ⅰ)由题意知 e ?

c2 a 2 ? b2 1 c 1 4 ? ,即 a 2 ? b2 ? ,∴ e2 ? 2 ? 2 4 a 2 3 a a y2 6 x2 又b ? b ? 3 ,∴ a 2 ? 4, 2 ? 3 故椭圆的方程为 ? ? 1 ……………4 分 4 3 1?1

?l : x ? my ? 4 ? (Ⅱ)解:由 ? x 2 y 2 得: (3m2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 …………………………6 分 ? ?1 ?4 3 ?
由? ? 0 ? (24m)2 ? 4 ? 36(3m2 ? 4) ? 0 ? m2 ? 4 24m 36 设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 y1 ? y2 ? ? 2 ………………8 分 , y1 y2 ? 3m ? 4 3m2 ? 4
??? ???? ? ?12m2 ? 100 116 ∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? (m2 ? 1) y1 y2 ? 4m ? y1 ? y2 ? ? 16 ? ……10 分 ? ?4 ? 2 3m2 ? 4 3m ? 4 ??? ???? ? 13 ∵ m2 ? 4 ∴ 3m2 ? 4 ? 16 , ∴ OA ? OB ? (?4, ) 4 ??? ???? ? 13 ∴ OA ? OB 的取值范围是 (?4, ) .………………………………………………… 13 分 4

21.(本小题满分 14 分)

1 ? x ? ?1 ? ln x ? ?1 ln x ' x 解(1)函数 f ( x) 定义域为 ? 0, ?? ? , f ? x ? ? ?? 2 , 2 x x ' ' ' 由 f ? x ? ? 0 ? x ? 1 ,当 0 ? x ? 1 时, f ? x ? ? 0 ,当 x ? 1 时, f ? x ? ? 0 ,
则 f ( x) 在 ? 0,1? 上单增,在 ?1, ?? ? 上单减,函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得唯一的极值。

?a ? 0 2 ? ?2 ? 由题意得 ? 1 ? ? a ? 1 ,故所求实数 a 的取值范围为 ? ,1? 3 ?3 ? ?a ? 1 ? a ? 3 ? ? x ? 1??1 ? ln x ? . k 1 ? ln x k ? ? ?k? (2) 当 x ? 1 时,不等式 f ( x) ? x ?1 x x ?1 x ? x ? 1??1 ? ln x ? , x ? 1 ,由题意, 令 g ( x) ? k ? g ( x) 在 ?1, ?? ? 恒成立。 ? ? x
?? x ? 1??1 ? ln x ? ? ? x ? ? x ? 1??1 ? ln x ? ? x ' x ? ln x ? g ( x) ? ? ? x2 x2 1 令 h ? x ? ? x ? ln x ? x ? 1? ,则 h ' ? x ? ? 1 ? ? 0 ,当且仅当 x ? 1 时取等号。 x h ? x ? ? x ? ln x 在 ?1, ?? ? 上单调递增, h ? x ? ? h ?1? ? 1 ? 0 所以
' '

x ? ln x h ? x ? ? 2 ? 0 ,则 g ( x) 在 ?1, ?? ? 上单调递增, g ? x ?min ? g ?1? ? 2 x2 x 所以 k ? 2 ,即实数 k 的取值范围为 ? ??, 2?
因此 g ( x) ?
'

(3)由(2)知,当 x ? 1 时,不等式 f ( x) ?

2 恒成立, x ?1
·8·

1 ? ln x 2 2x 2 2 ? ? ln x ? ?1 ? 1? ? 1? , x x ?1 x ?1 x ?1 x 2 1 ? ?1 ? ? 1? 2? ? 令 x ? k ? k ? 1? , k ? N ,则有 ln ? k ? k ? 1? ? ? 1 ? ?. ? ? k ? k ? 1? ? k k ?1 ?
即 分别令 k ? 1, 2,3,? , n , n ? N ? 则有 ln ?1? 2 ? ? 1 ? 2 ?1 ?

?1 1? ln ? 2 ? 3? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 2 3?
则得

1? ?, 2? 1 ? ?1 ,? , ln ? n ? n ? 1? ? ? 1 ? 2 ? ? ? 将这 n 个不等式左右两边分别相加, ? ? ? n n ?1?

? ?

1 ? 2 ? ln ?1? 22 ? 32 ? ? ? n 2 ? n ? 1? ? ? n ? 2 ?1 ? ? ? n?2? ? ? n ?1 ? n ?1?
故 1? 2 ? 3 ? ? ? n
2 2 2

? n ? 1? ? e

n ? 2?

2 n ?1

,从而 ? (n ? 1)!? ? ( n ? 1)e
2

n ? 2?

2 n ?1

. n? N?

·9·


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