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恒成立与存在性问题探究


恒成立与存在性问题探究
1、设函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? a ? 3 ,函数 g ( x) ? ax ? 2a ,若存在 x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? 0 与 g ( x0 ) ? 0 同时成立,则实数 a 的取值范围是____________

2、函数 f ( x) ?

4x ? k ? 2x

? 1 ,若对于任意的 x1、x2、x3 ,均存在以 f ( x1 )、f ( x2 )、f ( x3 ) 4x ? 2x ? 1

为三边长的三角形,则实数 k 的取值范围是

2 x 3、已知函数 f ( x) ? (ax ? x)e ,其中 e 是自然数的底数, a ? R .若 f ( x) 在 ?? 1,1? 上是单

调增函数,则 a 的取值范围为____________

4、若关于 x 的不等式 (ax ? 20)lg .

2a ? 0 对任意的正实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 x

1

? 1 1 ? 1? ?? 3 x ? 6 , x ? ?0, 2 ? , ? ? ? ? 5、 已知函数 f ? x ? ? ? 函数 g ? x ? ? a sin x ? 2a ? 2 , 其中 a ? 0 . 若 3 6 2 x 1 ? ? ? , x ? ? ,1? . ? ?2 ? ? x ?1
存在 x1 , x2 ??0,1? ,使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立,则实数 a 的取值范围是 .

6、 已知等比数列 {an } 的首项为 恒成立,则 B ? A 的最小值为

1 4 1 ? B 对 n? N* , 公比为 ? , 其前 n 项和为 S n , 若 A ? Sn ? Sn 3 3
.

7、已知函数 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? a ln x, a ? R ,若存在 x ? 1, 使得f ( x) ? g ( x) ,求实数 a 的 取值范围.

变式、已知函数 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? a ln x, a ? R ,若对任意的 x ? 1, 使得f ( x) ? g ( x) ,求 实数 a 的取值范围.

2

8、已知数列 {an } 满足:a1 ?
2 2 bn ? an ?1 ? an (n ? 1) .

1 3(1 ? an?1 ) 2(1 ? an ) ,an an?1 ? 0(n ? 1) ,数列 {bn } 满足: , ? 2 1 ? an 1 ? an?1

(1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)证明:数列 {bn } 中的任意三项不可能成等差数列.

9、已知函数 f ( x) ? (ax2 ? x) ? e x ,其中 e 是自然数的底数, a ? R , (1)若当 x ?[?1,1] 时,不等式 f ( x) ? (2ax ? 1) ? e x ? 0 恒成立,求 a 的取值范围;
x (2)当 a ? 0 时,试判断:是否存在整数 k,使得方程 f ( x) ? ( x ? 1) ? e ? x ? 2 在 [k , k ? 1]

上有解?若存在,请写出所有可能的 k 的值;若不存在,说明理由。

3

10、已知数列 {an } 满足: a1 ?

a2

?

?

?

a3
2

?

?

?

an
n ?1

? n 2 ? 2n (常数? ? 0, n ? N ? )

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)当 ? ? 4 时,是否存在互不相同的正整数 r , s , t ,使得 ar , as , at 成等比数列?若存在, 给出 r , s , t 满足的条件;若不存在,说明理由; (3)设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.若对任意 n ? N ? ,都有 (1 ? ? )Sn ? ? an ? 2? 恒成立, 求实数 ? 的取值范围.

11、已知函数 f ( x) ? x3 ?

5 2 ,其图象是曲线 C . x ? ax ? b ( a , b 为常数) 2 (1)设函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,若存在唯一的实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 与 f ?( x0 ) ? 0 同 时成立,求实数 b 的取值范围; (2)已知点 A 为曲线 C 上的动点,在点 A 处作曲线 C 的切线 l1 与曲线 C 交于另一点 B , 在点 B 处作曲线 C 的切线 l2 , 设切线 l1 , l2 的斜率分别为 k1 , k2 . 问: 是否存在常数 ? ,
使得 k2 ? ? k1 ?若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

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恒成立与存在性问题探究课后作业
1、设函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? a ? 3 ,函数 g ( x) ? x ? a ,若不存在 x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? 0 与 g ( x0 ) ? 0 同时成立,则实数 a 的取值范围是_______ 2、设 a∈R,若 x > 0 时均有[(a-1)x-1](x -ax-1)≥0,则 a=_______ 3、函数 f ( x ) ? 2 ?
x
2

2 ? a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是________. x

4、已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3ax ? 1在区间 (??,??) 内既有极大值又有极小值,则实数

a 的取值范围是_____.
5、 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x(a ? 0) 存在单调区间, 则实数 a 的取值范围是______. 2

x 6、已知 f ( x) ? m( x ? 2m)(x ? m ? 3) , g ( x) ? 2 ? 2 ,若对任意的 x ? R , f ( x) ? 0 或

g ( x) ? 0 ,则 m 的取值范围是_________.
7、已知函数 f ( x) ? x ? ax( x ? 0 且 x≠1).若 ?x1 , x2 ?[e,e2 ] ,使 f(x1)≤ f ?( x2 ) ? a 成立, ln x 则实数 a 的取值范围为 8、已知函数 f ( x ) ? .

2 ? a ln x ? 2 (a ? 0) x

(1)若对任意的 x ? ?0, ? ??, f ( x) ? 2(a ? 1) 恒成立,试求实数 a 的取值范围. (2)记 g ( x) ? f ( x) ? x ? b(b ? R),当a ? 1时,函数 g ( x)在区间e , e? 上有两个零点,
?1

?

求实数 b 的取值范围.

5

9、已知函数 f ( x) ?

x3 ? 2 x 2 ? 5 x ? t ex

(1)当 t ? 5 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若存在 t ?[0,1] ,使得对任意 x ? [?4, m] , f ( x) ? x 恒成立,求整数 m 的最大值.

2 b ? R 且 ab ? 2 . 10、 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x ,g ( x) ? bx ? x ? 2 , 其中 a , 函数 f ( x )

在 [ ,1] 上是减函数,函数 g ( x) 在 [ ,1] 上是增函数. (1)求函数 f ( x ) , g ( x) 的表达式; (2)若不等式 f ( x) ? mg ( x) 对 x ? [ ,1] 恒成立,求实数 m 的取值范围.

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