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高考二轮复习函数导数综合


第4讲

函数、导数及三角函数综合

题型分类:1、仍然作为把关题出现在填空题和解答题的后半部分. 2、结合导数一起考查,利用导数探究函数的性质.

a 例 1:函数 f(x)=x2- 在[1,+∞)上的最小值是-4,则正实数 a=________. x a 解析:f′(x)=2x+ 2>0,则 f(x)在[1,+∞)上

单调递增,f(x)min=f(1)=1-a=-4,a=5. x 例 2:关于 x 的不等式 x2+9+|x2-3x|≥kx 在[1,5]上恒成立,则实数 k 的范围为________. 9 9 解析: 两边同除以 x,则 k≤x+ +|x-3|,x+ ≥6,|x-3|≥0,当且仅当 x=3,两等式同时取得等号, x x 所以 x=3 时,右边取最小值 6.所以 k≤6.

例 3 :已知函数 f(x) = loga|x + 1|(a>0 且 a≠1) ,当 x∈(0,1) 时,恒有 f(x)<0 成立,则函数 g(x) = 3 loga -2x2+ax 的单调递减区间是________. 解析:当 x∈(0,1)时,|x+1|>1,但 loga|x+1|<0, 3 3 2 故由对数函数的图象知,0<a<1.由- x2+ax>0,解得 0<x< a,即函数 g(x)=loga -2x2+ax 的定义 2 3 2 a 3 域为 0,3a .因为二次函数 t=- x2+ax 的单调递增区间为 -∞,3 ,结合函数 g(x)的定义域知,函数 2 a g(x)的单调递减区间为 0,3 .

(

)

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)

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( ]

例 4:已知 a 是实数,函数 f(x)=2x2+2x-3-a,如果函数 y=f(x)在区间(-1,1)上有零点,求实数 a 的取值范围.

1 解析:因为 f(x)图象的对称轴为 x=- , 2 所以①函数在区间(-1,1)上只有一个零点, 此时 f(-1)f(1)<0 或 Δ=0, 即(-3-a)(1-a)<0 或 7+2a=0, 7 解得-3<a<1 或 a=- . 2 ②函数在区间(-1,1)上有两个零点, Δ>0, ? ? 此时?f?-1?>0, ? ?f?1?>0, 7+2a>0, ? ? 即?-3-a>0, ? ?1-a>0.

7 解得- <a<-3. 2 7 ? 综上所述,实数 a 的取值范围为? ?-2,-3?∪(-3,1).

例 5:如图,某小区有一边长为 2(单位:百米)的正方形地块 OABC,其中 OAE 是一个游泳池,计 划在地块 OABC 内修一条与池边 AE 相切的直路 l (宽度不计) ,切点为 M,并把该地块分为两部分.现以 点 O 为 坐 标 原 点 , 以 线 段 OC 所 在 直 线 为 x 轴 , 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , 若 池 边 AE 满 足 函 数

2 4 y ? ? x 2 ? 2(0 ? x ? 2 的图象,且点 M 到边 OA 距离为 t ( ? t ? ) . 3 3 2 (1)当 t ? 时,求直路 l 所在的直线方程; 3 (2)当 t 为何值时,地块 OABC 在直路 l 不含泳池那侧的面积取到最大,最大值是多少?
解析:(1) M ( (2) M (t ,?t 即 令
2

2 14 , ), l : 12 x ? 9 y ? 22 ? 0 3 9

? 2) ,过切点 M 的切线 l : y ? (?t 2 ? 2) ? ?2t ( x ? t )

y ? ?2tx ? t 2 ? 2 , 令 y ? 2得 x ?

t 1 ? ,又 2 t t 1 17 11 x ? ? ?[ , ] 2 t 12 6 t 1 故切线 l 与 OC 交于点 ( ? ,0) 。 2 t ?地块 OABC 在切线 l 右上部分区域为直角梯形, 1 t 1 t 1 1 面积 S ? (2 ? ? ? 2 ? ) ? 2 ? 4 ? t ? ? 4 ? (t ? ) ? 2 ,等号 t ? 1 , S max ? 2 t 2 2 t 2 t
y?0
,得

x?

t t , 故切线 l 与 AB 交于点 ( ,2) ; 2 2 t 1 2 4 x? ? 在 [ , ] 递减,所以 2 t 3 3

典例 1:若 f(x)=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数,则 a 的取值范围是________. 解析:由于所给函数可分解为 y=logau,u=2-ax,其中 u=2-ax 在 a>0 时为减函数,所以必须 a >1;因为[0,1]必须是 y=loga(2-ax)定义域的子集,所以 x=1 时,a<2.所以 1<a<2. 典例 2: 已知函数 f(x)的定义域为 R, f(2)=3, 且 f(x)在 R 上的导函数满足 f′(x)-1<0, 则不等式 f(x2)<x2 +1 的解集为________.

解析:构造函数 g(x)=f(x)-x-1, 则由条件知 g′(x)=f′(x)-1<0,g(2)=0,函数 g(x)=f(x)-x-1 在定义域 R 上单调递

减, 不等式 f(x2)<x2+1 化为 g(x2)<g(2), 所以 x2>2, 所以不等式的解集为(-∞, - 2)∪( 2, +∞).

f ( x) ? ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1. (1)当 k ? 1 时,求函数 f ( x ) 的最大值; (2)若函数 f ( x ) 没有零点,求实数 k 的取值范围.
典例 3:已知函数

2? x x ?1 ,令 f ?( x) ? 0, 得x ? 2 , f ( x) 定义域为(1,+ ? ) ∵当 x ? (1, 2)时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? (2, ??)时, f ?( x) ? 0 , ∴ f ( x)在(1, 2) 内是增函数, 在(2, ??) 上是减函数 ∴当 x ? 2 时, f ( x ) 取最大值 f (2) ? 0 (2)①当 k ? 0时 ,函数 y ? ln( x ? 1) 图象与函数 y ? k ( x ? 1) ? 1 图象有公共点, ∴函数 f ( x ) 有零点,不合要求; 1? k k(x ? ) 1 1 ? k ? kx k ②当 k ? 0时 , f ?( x) ? ?k ? ?? x ?1 x ?1 x ?1 k ?1 k ?1 1 令 f ?( x) ? 0, 得x ? ,∵ x ? (1, )时, f ?( x) ? 0, x ? (1 ? , ??)时, f ?( x) ? 0 , k k k 1 1 ∴ f ( x)在(1,1 ? ) 内是增函数, 在[1 ? , ??) 上是减函数, k k 1 ∴ f ( x ) 的最大值是 f (1 ? ) ? ? ln k , k ∵函数 f ( x ) 没有零点,∴ ? ln k ? 0 , k ? 1 , 因此,若函数 f ( x ) 没有零点,则实数 k 的取值范围 k ? (1, ??) .
解析:(1)当 k

? 1 时, f ?( x) ?

典例 4:(2012· 苏北四市模拟)已知函数 f(x)=(ax2+x)ex,其中 e 是自然数的底数,a∈R. (1)当 a<0 时,解不等式 f(x)>0; (2)若 f(x)在[-1,1]上是单调增函数,求 a 的取值范围; (3)当 a=0 时,求整数 k 的所有值,使方程 f(x)=x+2 在[k,k+1]上有解. [解] (1)因为 ex>0,所以不等式 f(x)>0,即 ax2+x>0.

( ) 1 所以不等式 f(x)>0 的解集为(0,-a).
求;

1 又因为 a<0,所以不等式可化为 x x+a <0.

(2)f′(x )=(2ax+1)ex+(ax2+x)ex=[ax2+(2a+1)x+1]ex, ①当 a=0 时,f′(x)=(x+1)ex,f′(x)≥0 在[-1,1]上恒成立,当且仅当 x=-1 时取等号,故 a=0 符合要

②当 a≠0 时,令 g(x)=ax2+(2a+1)x+1, 因为 Δ=(2a+1)2-4a=4a2+1>0,所以 g(x)=0 有两个不相等的实数根 x1,x2, 不妨设 x1>x2,因此 f(x)有极大值又有极小值. 若 a>0,因为 g(-1)· g(0)=-a<0,所以 f(x)在(-1,1)内有极值点,故 f(x)在[-1,1]上不单调. 若 a<0,可知 x1>0>x2.

因为 g(0)=1>0,且 g(x)的图象开口向下,要使 f(x)在[-1,1]上单调, ?g?1?≥0, ?3a+2≥0, 2 2 则必须满足? 即? 所以- ≤a<0.综上可知,a 的取值范围是 -3,0 . 3 g - ? 1? ≥ 0 , - a ≥0. ? ?

[

]

(3)当 a=0 时,方程为 xex=x+2, 由于 ex>0, 所以 x=0 不是方程的解. [来源:学#科#网][来源:Z.xx.k.Com] 2 2 所以原方程等价于 ex- -1=0,令 h(x)=ex- -1, x x 2 因为 h′(x)=ex+ 2>0 对于 x∈(-∞,0)∪(0,+∞)恒成立, x 所以 h(x)在(-∞,0)和(0,+∞)内是单调增函数, 1 - - 又 h(1)=e-3<0,h(2)=e2-2>0,h(-3 )=e 3- <0,h(-2)=e 2>0, 3 所以方程 f(x)=x+2 有且只有两个实数根,且分别在区间[1,2]和[-3,-2]上. 所以整数 k 的所有值为-3,1.

第一问看似复杂,利用函数有界性不等式就转化成 ax2+x>0,解二次含参不等式即可;第二问等价转 化成 f′(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x)ex=[ax2+(2a+1)x+1]ex≥0 恒成立问题处理, 即转化成 ax2+(2a+1)· x+1≥0 恒成立解决;第三问方程即转化成 xex=x+2 的形式,结合函数零点的判断方法解决.


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