当前位置:首页 >> 学科竞赛 >> 06-12年清华自主招生数学试题

06-12年清华自主招生数学试题


2006 清华大学自主招生数学试题
考试时间:2005.11.28 1.求最小正整数 n ,使得 I ? ( ?

1 2

1 2 3
4

i) n 为纯虚数,并求出 I .

2.已知 a、b 为非负数, M ? a ? b , a ? b ? 1 ,求 M 的最值.

/>4

3.已知 sin ?、 ?、 ? 为等差数列, sin ?、 ?、 ? 为等比数列,求 cos 2? ? sin cos sin cos 4.求由正整数组成的集合 S ,使 S 中的元素之和等于元素之积. 5.随机取多少个整数,才能有 0.9 以上的概率使得这些数中至少有一个偶数. 6.

1 cos 2? 的值. 2

y ? x 2 上一点 P (非原点),在 P 处引切线交 x、y 轴于 Q、R ,求

PQ PR



7.已知 f (x) 满足:对实数 a、b 有 f (a ? b) ? af (b) ? bf (a) ,且 f ( x) ? 1 ,求证: f (x) 恒为零. (可用以下结论:若 lim g ( x ) ? 0, f ( x ) ? M , M 为一常数,那么 lim ( f ( x ) ? g ( x )) ? 0 )
x ??
x ??

8. 在所有定周长的空间四边形 ABCD 中,求对角线 AC 和 BD 的最大值,并证明。

2007 届清华大学保送生暨自主招生北京冬令营
数学笔试试题(2006 年 12 月 30 日)
1.求 f ( x) ?

ex 的单调区间及极值. x

2.设正三角形 T1 边长为 a , Tn ?1 是 Tn 的中点三角形, An 为 Tn 除去 Tn ?1 后剩下三个三角形内切圆面积之和.求

lim ? Ak .
n ?? k ?1

n

3.已知某音响设备由五个部件组成,A 电视机,B 影碟机,C 线路,D 左声道和 E 右声道,其中每个部件工 作的概率如下图所示.能听到声音,当且仅当 A 与 B 中有一工作,C 工作,D 与 E 中有一工作;且若 D 和 E 同时 工作则有立体声效果. D 0.94 C 0.95 B 0.95 求: (1) (2)听不到声音的概率. 4.(1)求三直线 x ? y ? 60 , y ? E 0.94 能听到立体声效果的概率;

A 0.90

1 x , y ? 0 所围成三角形上的整点个数; 2
1

? y ? 2x ? 1 ? (2)求方程组 ? y ? x 的整数解个数. 2 ? ? x ? y ? 60 ?
5.已知 A(?1, ?1) ,△ABC 是正三角形,且 B、C 在双曲线 xy ? 1( x ? 0) 一支上. (1)求证 B、C 关于直线 y ? x 对称; (2)求△ABC 的周长. 6.对于集合 M ? R ,称 M 为开集,当且仅当 ?P ? M , ?r ? 0 ,使得 {P ? R 0
2
2

PP0 ? r} ? M .判断集合

{( x, y ) 4 x ? 2 y ? 5 ? 0} 与 {( x, y) x ? 0, y ? 0} 是否为开集,并证明你的结论.

2008 届清华大学保送生暨自主招生北京冬令营
数学笔试试题
1. 已知 a, b, c 都是有理数, a ? b ? c 也是有理数,证明: a , b , c 都是有理数; 2. (1)一个四面体,证明:至少存在一个顶点,从其出发的三条棱组成一个三角形; (2)四面体一个顶点处的三个角分别是

? ?
2 3 ,

,arctan 2 ,求

? 的面和 arctan 2 的面所成的二面角; 3

3. 求正整数区间 ? m, n? (m ? n) 中,不能被 3 整除的整数之和; 4. 已知 sin ? ? cos ? ? 1 ? sin 2? ,求 ? 的取值范围; 5. 若 lim f ( x) ? f (0) ? 1, f (2 x) ? f ( x) ? x ,求 f ( x) ;
2 x ?0

6. 证明:以原点为中心的面积大于 4 的矩形中,至少还有两个格点。

2008 年清华大学自主招生数学试题
1.已知 1 ? sin 2? ? sin ? ? cos ? ,求 ? 的取值范围 2.已知单位圆上三点 (a, b) , (c, d ) , ( x, y ) ,求 (ax ? by ? c) ? (bx ? ay ? d ) ? (cx ? dy ? a) ? (dx ? cy ? b)
2 2 2 2

3. 已知 a, b, c , a ? b ? c 都是有理数,证明: a , b , c 都是有理数; 4. f ( x) ? ( x ? 4ax ? 3 ? 4a)( x ? ? x ? ?)( x ? ? x ? ?) 与 x 轴至少有一个交点,求 a 的取值范围
2 2 2

k ?1 k 3 5 2n ? 1 ( k 为正数) (2) n ? . .... ? ? 2n ? 1 k k ?1 2 4 2n ? 2 N 6. 整数 m, n(m ? n) ,求 ? m, n ? 间可表示为 (N 为不含因子 3 的整数)的数之和 3 7. 抽奇偶数 n 次,求使之以 ? 为概率( 0 ? ? ? 1 )既抽到奇数又抽到偶数, n 至少为多少?
5. 求证: (1)
2

8. 曲线 C : y ? ? x ? 5 x ? 1 ,过原点 O 与 C 相切于 P( P ? I ) 的切线 y ? kx ,
2

(1)求 k , 点 P 的坐标; (2) PQ ? PO, Q 在 C 上,求 Q ; (3)求是否存在 R ( R 在 C 上) ,使 S?POQ ? S?PQR 9. 四面体

P ? ABC

(1)求证:至少存在一个顶点,使相交于该顶点的三条棱可组成三角形; (2) ?APC ? 10.

? ? , ?APB ? , ?BPC ? ? , 2 ? arctan ? ,求二面角 A ? PB ? C 2 6 a x ? 0, y ? 3x 2 ? 3 ? 45 恒成立,求 a 的取值范围 x
2 x ?0

11. f ( x) 满足 lim f ( x) ? f (0) ? 1, f (2 x) ? f ( x) ? x ,求 f ( x) ; 12. 坐标中整数点称为格子点,证:以 O 为中心,面积大于 4 的矩形必包含至少 2 个格子点。

2009 年清华大学自主招生数学试题(理科)
1. 设

5 ?1 的整数部分为 a ,小数部分为 b 5 ?1

?1? 求 a, b ; ? 2 ? 求 a 2 ? b2 ?

ab 2 n ; ? 3 ? 求 lim ? b ? b ??? b ? n ?? 2
2n

2. ?1? x, y 为实数,且 x ? y ? 1 ,求证:对于任意正整数 n , x

? y 2n ?

1 2
2 n ?1

? 2 ? a, b, c 为正实数,求证:

a b c ? ? ? 3 ,其中 x, y, z 为 a, b, c 的一种排列 x y z

3.请写出所有三个数均为质数,且公差为 8 的等差数列,并证明你的结论 4.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1,过椭圆左顶点 A ? ?a, 0 ? 的直线 L 与椭圆交于 Q ,与 y 轴交于 R ,过原点与 L 平行的 a 2 b2

直线与椭圆交于 P 。 求证: AQ , 2OP , AR 成等比数列 5.已知 sin t ? cos t ? 1 ,设 s ? cos t ? i sin t ,求 f ( s) ? 1 ? s ? s ??? s
2 n

6.随机挑选一个三位数 I

?1? 求 I 含有因子 5 的概率; ? 2 ? 求 I 中恰有两个数码相等的概率
7.四面体 ABCD 中, AB ? CD , AC ? BD , AD ? BC

?1? 求证:四面体每个面的三角形为锐角三角形;
? 2 ? 设三个面与底面 BCD 所成的角分别为 ? , ? , ? ,求证: cos ? ? cos ? ? cos ? ? 1
8.证明当 p, q 均为奇数时,曲线 y ? x ? 2 px ? 2q 与 x 轴的交点横坐标为无理数
2

3

9.设 a1 , a2 ,?? , a2n ?1 均为正整数,性质 P 为: 对 a1 , a2 ,??, a2 n ?1 中任意 2n 个数,存在一种分法可将其分 为两组,每组 n 个数,使得两组所有元素的和相等 求证: a1 , a2 ,??, a2 n ?1 全部相等当且仅当 a1 , a2 ,??, a2 n ?1 具有性质 P

2009 届清华大学保送生暨自主招生北京冬令营
数学笔试试题(2009 年 1 月 1 日)
1.09 理 3 2.证明:一个 2n+1 项的整数数列,它们全部相等的充分必要条件是满足条件 p,条件 p 为任意取 出 2n 个数,都存在一种划分方法,使得两堆数每堆含有 n 个数,并且这两堆数的和相等。 3.同 09 理 7 6.同 09 理 4 4.同 09 理 2 7、同 09 理 5 5.同 09 理 6 8、同 09 理 1

2009 届清华大学保送生暨自主招生北京冬令营
理科综合(数学部分)
1.求 2 ? 2e 5 ? e 5
2

?i

6

?i

2.请写出一个含有根 2 ? 3 3 的整系数多项式 f ( x) 。 3.有数条抛物线(线和线的内部)能够覆盖整个平面吗?证明你的结论。 4.现有一数字游戏:有 1 到 100 的数,2 个人轮流写。设已经写下的数为 a1 , a2 ,..., an ,则形如 ? xi ai
i ?1 n

( xi 为非负整数) 的数不能够被写。 (如若 3, 已被写, 8=3+5 不能再写, 5 则 13=3+5*2, 9=3*3+5*0 也不能再被写)现在甲和乙玩这个游戏,已知 5,6 已经被写,现在轮到甲写。问:谁有必胜策略? 5.一场跑马比赛最多只能有 8 匹马参加,假设同一匹马参加每一场比赛的表现都是一样的。问:是 否有不多于 50 场比赛,完全将 64 匹马的实力顺序排序? 6.现有 100 个集装箱,每个集装箱装 2 个物品。现在将集装箱的物品全部拆卸,并且所有物品被打 乱顺序。问:最坏情况下,需要多少个集装箱再次把所有物品装好?

4

7.现有一游戏:图上有若干个点和若干条线,甲提供若干个硬币,乙可以任意将这些硬币全部摆放 在点上,并且指定一个目标定点 u 。现定义操作:甲从一个至少有两个硬币的点 v 取走 2 个硬币, 在它一个相邻的点 w 上放回一个硬币。在指定的图下,甲最少提供多少个硬币,可以保证经过若干 次操作,一定能使目标顶点 u 至少有一枚硬币?(1)图是一个包含 5 个点的线段;(2)图是一个 包含 7 个点的圈。

2009 年清华大学自主招生数学试题(文科)
1.已知数列 ? an ? ,且 S n ? na ? n ? n ? 1?

?1? 求证: ?an ? 是等差数列; ? 2 ? 求 ? an , ?
?

Sn n

? ? 所在的直线方程 ?

2.12 名职员(其中 3 名为男性)被平均分配到 3 个部门

?1? 求此 3 名男性被分别分到不同部门的概率;
? 2 ? 求此 3 名男性被分到同一部门的概率; ? 3? 若有一男性被分到指定部门,求其他 2 人被分到其他不同部门的概率
3.一元三次函数 f ? x ? 的三次项数为

a ' , f ( x) ? 9 x ? 0 的解集为 ?1, 2 ? 3

?1? 若 f ' ( x) ? 7a ? 0 仅有一解,求 f ' ( x) 的解析式;
? 2? 若 f ? x ? 在 ?
上单调增,求 a 的范围

4.已知 PM ? PN ? 2 2 , M ? ?2, 0 ? , N ? 2, 0 ? , (1)求点 P 的轨迹 W ; (2)直线 y ? k ? x ? 2 ? 与 W 交于点 A 、 B ,求 S ?OAB ( O 为原点) 5.设 a ?

x1 ? x2 ? ?? xn ?n ? ? ? n

Sn ? ? x1 ? a ?? x2 ? a ? ? ? x2 ? a ?? x3 ? a ? ? ?? ? ? xn ?1 ? a ?? xn ? a ?

?1? 求证: S3 ? 0
? 2 ? 求 S 4 的最值,并给出此时 x1 , x2 , x3 , x4 满足的条件 ? 3? 若 S5 ? 0 ,求 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 不符合时的条件
2010 年五校合作自主选拔通用基础测试数学试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分) 1.设复数 w ? (

a?i 2 ) ,其中 a 为实数,若 w 的实部为 2,则 w 的虚部为( ) 1? i
5

(A) ?

3 2

(B) ?

1 2

(C)

1 2

(D)

3 2

2.设向量 a, b ,满足 | a |?| b |? 1, a ? b ? m ,则 | a ? tb | (t ? R) 的最小值为( ) (A)2 (B) 1 ? m
2

(C)1

(D) 1 ? m

2

3.如果平面 ? , ? ,直线 m, n ,点 A, B ,满足: ? / / ? , m ? ? , n ? ? , A ? ? , B ? ? ,且 AB 与 ? 所成的角为

?
4

, m ? AB , n 与 AB 所成的角为
(A)

? 3

(B)

? 4

? ,那么 m 与 n 所成的角大小为( ) 3 ? ? (C) (D) 6 8

4.在四棱锥 V ? ABCD 中,B1 , D1 分别为侧棱 VB,VD 的中点, 则四面体 AB1CD1 的体积与四棱锥 V ? ABCD 的 体积之比为( ) (A) 1: 6 (B) 1: 5 (C) 1: 4 (D) 1: 3

5.在 ?ABC 中,三边长 a, b, c ,满足 a ? c ? 3b ,则 tan (A)

A C tan 的值为( ) 2 2

1 5

(B)

1 4

(C)

1 2

(D)

2 3

6.如图, ?ABC 的两条高线 AD, BE 交于 H ,其外接圆圆心为 O ,过 O 作 OF 垂直 BC 于 F , OH 与 AF 相 交于 G ,则 ?OFG 与 ?GAH 面积之比为( ) (A) 1: 4 (B) 1: 3 (C) 2: 5 (D) 1: 2 7.设 f ( x) ? e (a ? 0) .过点 P(a,0) 且平行于 y 轴的直线与曲线 C : y ? f ( x) 的交点为 Q ,曲线 C 过点 Q 的
ax

切线交 x 轴于点 R ,则 ?PQR 的面积的最小值是( )

(A)1

(B)

2e 2

(C)

e 2

(D)

e2 4

8. 设双曲线 C1 :

x2 y 2 x2 y 2 ? ? k (a ? 2, k ? 0) , ? 1 . C2 的短轴长与 C1 的实轴长的比值等于 C2 椭圆 C2 : 2 ? 若 a2 4 a 4

的离心率,则 C1 在 C2 的一条准线上截得线段的长为( ) (A) 2 2 ? k (B)2 (C) 4 4 ? k (D)4

9.欲将正六边形的各边和各条对角线都染为 n 种颜色之一,使得以正六边形的任何 3 个顶点作为顶点的三角形 有 3 种不同颜色的边, 并且不同的三角形使用不同的 3 色组合, n 的最小值为 则 ( ) (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D)9 10. 设定点 A、B、C、D 是以 O 点为中心的正四面体的顶点, ? 表示空间以直线 OA 为轴满足条件 ? ( B) ? C 用 的旋转,用 ? 表示空间关于 OCD 所在平面的镜面反射,设 l 为过 AB 中点与 CD 中点的直线,用 ? 表示空间以 l 为轴的 180°旋转.设 ? ?? 表示变换的复合,先作 ? ,再作 ? 。则 ? 可以表示为( ) (A) ? ?? ?? ?? ?? (B) ? ?? ?? ?? ?? ?? (C) ? ?? ?? ?? ?? (D) ? ?? ?? ?? ?? ??
6

二、解答题 11. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,已知 2sin 2 (Ⅰ)求角 C 的大小; 12. (本题满分 14 分)

A? B ? cos 2C ? 1 ,外接圆半径 R ? 2 . 2 (Ⅱ)求 ?ABC 面积的最大值.
2

设 A、B、C、D 为抛物线 x ? 4 y 上不同的四点, A, D 关于该抛物线的对称轴对称, BC 平行于该抛物线在点 D 处 的切线 l .设 D 到直线 AB ,直线 AC 的距离分别为 d1 , d 2 ,已知 d1 ? d 2 ? (Ⅱ)若 ?ABC 的面积为 240,求点 A 的坐标及直线 BC 的方程. 13. (本题满分 14 分) (Ⅰ)正四棱锥的体积 V ?

2 AD .

(Ⅰ)判断 ?ABC 是锐角三角形 、 直角三角形 、 钝角三角形中的哪一种三角形,并说明理由;

2 ,求正四棱锥的表面积的最小值; 3

(Ⅱ)一般地,设正 n 棱锥的体积 V 为定值,试给出不依赖于 n 的一个充分必要条件,使得正 n 棱锥的表面积取 得最小值. 14 .( 本 题 满 分 14 分 ) 假 定 亲 本 总 体 中 三 种 基 因 型 式 : AA, Aa, aa 的 比 例 为 (Ⅰ)求

u : 2v : w (u ? 0, v ? 0, w? 0, u ? 2v ? w ?1) 且数量充分多,参与交配的亲本是该总体中随机的两个.
子一代中,三种基因型式的比例; (Ⅱ)子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗?并说明理由. 15. (本题满分 14 分)

x?m 1 2t ? 1 2s ? 1 ,且存在函数 s ? ? ? t ? ? at ? b(t ? , a ? 0) ,满足 f ( . )? x ?1 2 t s 2s ? 1 2t ? 1 (Ⅰ)证明:存在函数 t ? ? ( s) ? cs ? d ( s ? 0), 满足 f ( ; )? s t 1 (Ⅱ)设 x1 ? 3, xn ?1 ? f ( xn ), n ? 1, 2,?. 证明: xn ? 2 ? n ?1 . 3
设函数 f ( x) ?

2011 年清华等五校联考(华约)自主招生数学试卷
一、选择题 (1) 设复数 z 满足|z|<1 且 | z ?

1 5 |? 则|z| = ( z 2

)

4 3 2 1 A? ???????B? ???????C? ???????D? 5 4 3 2

(2) 在正四棱锥 P-ABCD 中,M、N 分别为 PA、PB 的中点,且侧面与底面所成二面角的正切为 2 。则 异面直线 DM 与 AN 所成角的余弦为( )

1 1 1 1 A? ???????B? ???????C? ???????D? 3 6 8 12
)

(3)过点(-1, 1)的直线 l 与曲线相切,且(-1, 1)不是切点,则直线 l 的斜率为 (

A?2??????B1??????C??1???????D?? 2 ?
此题有误,原题丢了,待重新找找。

7

(4)若 A ? B ?

2? ,则 cos2 A ? cos 2 B 的最小值和最大值分别为 ( 3

)

A1 ? ?

3 3 1 3 3 3 1 2 ?, ?????B? , ??????C1 ? ? ,1 ? ???????D? ,1 ? 2 2 2 2 2 2 2 2

(6) 已知异面直线 a,b 成 60°角。A 为空间一点则过 A 与 a,b 都成 45°角的平面 ( A 有且只有一个 B 有且只有两个 C 有且只有三个 D 有且只有四个 (7) 已知向量 a ? (0,1), b ? (?

)

?

?

? ? 3 1 ? 3 1 ? , ? ), c ? ( , ? ), xa ? yb ? zc ? (1,1) 则 x 2 ? y 2 ? z 2 的最小值为 2 2 2 2

(

)

4 3 A1???????B? ???????C? ???????D?2 ? 3 2
?

(8)AB 为过抛物线 y2 = 4x 焦点 F 的弦,O 为坐标原点,且 ?OFA ? 135 ,C 为抛物线准线与 x 轴的交点, 则 ?ACB 的正切值为 (

)

A?2 2???????B?

4 2 4 2 2 2 ???????C? ???????D? 5 3 3

(10) 将一个正 11 边形用对角线划分为 9 个三角形,这些对角线在正 11 边形内两两不相交,则( ) A 存在某种分法,所分出的三角形都不是锐角三角形 B 存在某种分法,所分出的三角形恰有两个锐角三角形 C 存在某种分法,所分出的三角形至少有 3 个锐角三角形 D 任何一种分法所分出的三角形都恰有 1 个锐角三角形 参考答案:42?22,42144 二、解答题

8

cos

A?C 6 ? 1, 2 4

(12) 已知圆柱形水杯质量为 a 克, 其重心在圆柱轴的中点处 (杯底厚度及重量忽略不计, 且水杯直立放置) 。 质量为 b 克的水恰好装满水杯,装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处。 (I)若 b = 3a,求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值; (II)水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低?为什么?

1 1 2? ? 3? 4? 7 (1) 2 2?3 20
(13)已知函数 f ( x) ?

(2) x ?

a 2 ? ab ? a

2x 1 2 1 ,f (1) ? 1,f ( ) ? 。令 x1 ? ,xn ?1 ? f ( xn ) 。 ax ? b 2 3 2 1 2 2x (I)求数列 { xn } 的通项公式; f (1) ? 1 f ( ) ? 得a ? b ? 1 f ( x) ? , , 2 3 x ?1 1 (II)证明 x1 x2 ? xn ?1 ? 。 2e

x2 y 2 (14)已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0), F1 , F2 分别为 C 的左右焦点。P 为 C 右支上一点,且使 a b

?F1PF2 =

?
3

, 又?F1PF2的面积为3 3a 2 。 c ? 3 a
P F E 2a P 2c x F2
2

(I)求 C 的离心率 e ; e ?

(II)设 A 为 C 的左顶点,Q 为

F1

第一象限内 C 上的任意一点,问是否存在常数λ (λ >0),使得 ?QF2 A ? ??QAF2 恒成立。若存在, 求出λ 的值;若不存在,请说明理由。 (15)将一枚均匀的硬币连续抛掷 n 次,以 pn 表示未出现连续 3 次正面的概率。 (I)求 p1,p2,p3,p4; (II)探究数列{ pn}的递推公式,并给出证明; (III)讨论数列{ pn}的单调性及其极限,并阐述该极限的概率意义。

9

2012 年华约自主招生数学试题
1、若 ? ? C ,

1?? 1 的实数部为 0 ,求复数 在复平面内对应的点的轨迹。 1?? 1??
2

2、点 P 在 y 轴上的投影为 H ,若 A( ?2,0), B( 2,0), AP ? BP ? 2 PH , (1)求点 P 的轨迹; (2)过 B 的直线在 x 轴下方交 P 点轨迹于 C, D 两点,求 CD 中点 与 Q(0,?2) 连成直线的斜率的取值范围。 3、已知锐角 ?ABC , BE ? AC 于 E , CD ? AB 于 D , BC ? 25, CE ? 7, BD ? 15 ,

BE ? CD ? H ,连接 DE ,以 DE 为直径画圆,该圆与 AC 交于另一点 F ,求 AF 的
长度。 4、系统内 2k ? 1 有个元件,每个元件正常工作的概率为 p ,若有超过一半的元件正常工作, 则系统正常工作,求系统正常工作的概率 PK ,并讨论 PK 的单调性。 5、乒乓球队有 n 个队员,在一次双打集训中,任意两名队员作为队友,恰好只搭档过一次 双打比赛,求 n 的所有可能值并每个给一种比赛方案。 6、已知 f n ( x ) ? 1 ? x ?

x2 xn ? ?? ( n ? N ? ) ,求证:当 n 为偶数时, f n ( x ) ? 0 无解;当 n 为奇数时, 2! n!

f n ( x ) ? 0 有唯一解且 x n?2 ? x n

X 年自主招生华约数学试题
* 1.设 n ? N , n ? 15 . 集合 A 、 B 都是 I ? ?1, 2, ???, n? 的真子集, A ? B ? ? , A ? B ? I .证明:集合 A 或 B

中,必有两个不同的数,它们的和为完全平方数. 2.设 f ? x ? ? ax ? bx ? x(a ? 0) ,方程 f ? x ? ? x 的两个根是 x1 和 x2 ,且 x1 ? 0 , x2 ? x1 ?
2

1 ,又 0 ? t ? x1 . a

试比较 f ? t ? 与 x1 的大小. 3.求函数 f ? x ? ? max x ? 1 , x ? 5 的最小值,并求出相应的 x 的值.
2

?

?

4.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的不恒为 0 的函数,且对于任意的 a, b ? R ,有 f ? ab ? ? af ? b ? ? bf ? a ? . (1)求 f ? 0 ? , f ?1? 的值; (2)判定函数 f ? x ? 的奇偶性,并证明你的结论;

10

(3)若 f ? 2 ? ? 2 , un ?

f ? 2? n ? n
2 2

? n ? N ? ,求数列 ?u ? 的前 n 项和 S
*

n

n

.

5.已知关于 x 的方程 ? ax ? 1? ? a 1 ? x

?

2

? , a ? 1 . 证明方程的正根比 1 小,负根比 ?1大.
2

6.设 a , b 是两个正数,且 a ? b . 当 x ? ? a, b ? 时, y ? x ? 4 x ? 6 的最小值为 a ,最大值为 b ,求 a , b 值. 8.某生产队想筑一面积为 144 m 的长方形围栏,围栏一边靠墙. 现有铁丝网 50 m ,筑成这样的围栏最少要多少 铁丝网?已有的墙最多利用多长?最少利用多长? 9.在正方形 ABCD 中,过一个顶点 D 作对角线 CA 的平行线 DE ,若 CE ? CA ,且 CE 交边 DA 于点 F . 求 证: AE ? AF . 10. 设 ?ABC 的重心为 G ,外心为 O ,外接圆半径为 r , OG ? d , BC ? a , CA ? b , AB ? c . 求证:
2

a2 ? b2 ? c2 ? 9r 2 ? d 2
11.设圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段弧,其弧长比为 3:1 ,在满足上述条件的圆中,求圆 心到直线 l : x ? 2 y ? 0 的距离最小的圆的方程. 12.以 A 为圆心,以 2cos ? (0 ? ? ?

?
2

) 为半径的圆外有一点 B . 已知 AB ? 2sin ? ,设过 B 且与圆 A 外切于点

C 的圆的圆心为 M . (1)当 ? 取某个值时,说明点 M 的轨迹 P 是什么曲线?
(2)点 M 是轨迹 P 上的动点,点 N 是圆 A 上的动点,记 MN 的最小值为 f ?? ? .求 f ?? ? 的取值范围. 13.设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,点 (n, (1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

Sn )(n ? N * ) 均在函数 y ? 3x ? 2 的图像上. n

3 m * , Tn 数列 ?bn ? 的前 n 项和,求最小正整数 m ,使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立. an ? an ?1 20

14.已知函数 f ? x ? ? ?2 x ? 4 , Sn ? f ( ) ? f ( ) ? ??? ? f ( ) , n ? 1, 2, ??? . 若不等式 实数 a 的取值范围.

1 n

2 n

n n

a n a n ?1 ? 恒成立,求 S n S n ?1

11


更多相关文档:

06-12年清华自主招生数学试题

06-12年清华自主招生数学试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。修改并重新整理,其中08年的手工输入。若有谬误,请谅解并烦请和我联系2006...

2006清华大学自主招生数学试题

2006年清华大学自主招生考... 1页 免费 06-12年清华自主招生数学试... 11页...2006 年清华大学自主招生数学试题 1 1 i ) n 为纯虚数,并求出 I . 为纯...

2008年清华自主招生数学试题

2008年清华自主招生数学试题_数学_高中教育_教育专区。2008 年清华自主招生数学试题 1、已知 a、b、c 都是有理数, a + b + c 也是有理数, 证明: a 、 ...

2006年清华大学自主招生数学试题

2006年清华大学自主招生数学试题_数学_高中教育_教育专区。2006 届清华大学自主招生数学试题 2005 年 11 月 28 日 1.求最小正整数 n ,使得 I ? ( ? 1 2...

2006年清华大学自主招生数学试题

2006清华大学自主招生数学试题 2005 年 11 月 28 日 1.求最小正整数 n ,使得 I ? ( ? 1 2 1 2 3 i) n 为纯虚数,并求出 I . 2.已知 a、...

2009年清华自主招生数学试题

2009年清华自主招生数学试题_数学_高中教育_教育专区。2009 年清华大学自主招生数学...2.12 名职员(其中 3 名为男性)被平均分配到 3 个部门 ?1? 求此 3 名...

2006年清华大学自主招生考试数学试题

2006 年清华大学自主招生考试数学试题来源:本站原创 2008-12-26 11:32:27 [标签:自主招生 大学 试题 数学]高考热点资讯 免费订阅 2006 年清华大学自主招生考试...

近几年清华、北大自主招生数学试题

近几年清华、北大自主招生数学试题_IT认证_资格考试/认证_教育专区。近年北大清华自主招生试题汇编——— 2010 北大自主招生(三校联招) 1. (仅文科做) 0 ? ?...

2006届清华大学自主招生数学试题

12 10 10 3 假设中国队得了 11 分而无法晋级,...2009 年清华大学自主招生数学试题(文科) 年清华大学...文档贡献者 安菲尔德之红 贡献于2010-11-06 ...

2010清华大学自主招生数学试题

2010清华大学自主招生数学试题_文学_高等教育_教育专区。2016-09 2010 年清华...2 . 2 (1)求角 C 的大小; (2)求△ ABC 面积的最大值. 12. (本小...
更多相关标签:
清华大学自主招生试题 | 清华自主招生试题 | 2016清华自主招生试题 | 2015清华自主招生试题 | 清华自主招生物理试题 | 清华北大自主招生试题 | 清华自主招生数学试题 | 清华自主招生面试题 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com