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2014年全国高考试卷极坐标与参数方程部分汇编


2014 年全国高考试卷极坐标与参数方程部分汇编
1. (2014 安徽理 4) 以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相

? x ? t ? 1, 同的长度单位. 已知直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) , 圆 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? , ?y ? t ? 3
则直线

l 被圆 C 截得的弦长为( ) D. 2 2 A. 14 B. 2 14 C. 2 【解析】 D ? x ? t ? 1, 由? 消去 t 得 x ? y ? 4 ? 0 , ?y ? t ? 3
C:? ? 4cos? ? ? 2 ? 4? cos?,∴ C:x2 ? y 2 ? 4x ,

即 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 , ∴ C (2, 0), r ?2. ∴点 C 到直线 l 的距离 d ?
2?0?4 2 ? 2,

∴所求弦长 ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 2 .故选 D. 2. (2014 北京理 3) 曲线 x ? ?1 ? cos? ,( ? 为参数)的对称中心( y ? 2 ? sin ?

?



A.在直线 y ? 2 x 上 C.在直线 y ? x ? 1 上

B.在直线 y ? ?2 x 上 D.在直线 y ? x ? 1 上

? x ? ?1 ? cos ? 【解析】 参数方程 ? 所表示的曲线为圆心在 (?1 ,2) ,半径为 1 的圆. ? y ? 2 ? sin ? 其对称中心为圆心 (?1 ,2) .逐个代入选项可知, (?1 ,2) 在直线 y ? ?2 x 上,即选项 B.
3. (2014 福建理 21⑵)

? x ? a ? 2t ? x ? 4 cos ? 已知直线 l 的参数方程为 ? , ( t 为参数) ,圆 C 的参数方程为 ? , (? 为常 ? y ? 4sin ? ? y ? ?4t
数) . ①求直线 l 和圆 C 的普通方程; ②若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围. 【解析】 本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识, 考查运算求解能力, 考查化归与转化思想. ⑴ 直线 l 的普通方程为 2 x ? y ? 2a ? 0 ,圆 C 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 16 ⑵ 因为直线 l 与圆 C 又公共点,故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d ?
?2 5剟 a 2 5
?2a 5 ? 4 ,解得

4.

(2014 广东理 14) 在极坐标系中,曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ? sin 2 ? ? cos? 和 ? sin ? ? 1 .以极点为平面直角坐 标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 和 C2 的交点的直角坐标 为____________.

【解析】 (1 , 1) .

曲线 C1 的方程化为 ? 2 sin 2 ? ? ? cos? ,化为直角坐标方程即 y 2 ? x , C2 的直角坐标方程为
y ? 1 ,显而易见,交点坐标为 (1 , 1) .

5.

(2014 广东文 14) 在极坐标系中,曲线 C1 与 C2 的方程分别为 2? cos2 ? ? sin ? 与 ? cos? ? ? ,以极点为平面直角 坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 与 C2 的交点的直角坐 标为____________.

【解析】 ?1, 2? 6. (2014 湖北理 16)
?x ? t ? 已知曲线 C1 的参数方程是 ? ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建 3t ( t 为参数) ?y ? 3 ? 立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 2 ,则 C1 与 C2 交点的直角坐标为________

【解析】 ( 3 , 1) 曲线 C1 为射线 y ?
3 x ( x ≥ 0) . 曲线 C2 为圆 x2 ? y 2 ? 4 . 设 P 为 C1 与 C2 的交点, 如图, 作 PQ 3

垂直 x 轴于点 Q .因为 tan ∠POQ ? 交 P 的直线坐标为

3 ,所以 ∠POQ ? 30?,又∵ OP ? 2 ,所以 C1 与 C2 的点 3

?

3, 1 .
y P O Q 2 x

?

评析 本题考查了参数方程和极坐标方程.容易忽视 x ≥ 0 , 误认为 C1 为直线 y ? 7. (2014 湖南理 11) 在平面直角坐标系中,倾斜角为

3 x. 3

? x ? 2 ? cos ?, π 的直线 l 与曲线 C : ? ( ? 为参数)交于 A , 4 ? y ? 1 ? sin ?

B 两点,且 AB ? 2 ,以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线 l 的极
坐标方程是_____________.

?? 2 ? 【解析】 ? sin ? ? ? ? ? ? 4? 2 ?
曲线 C 的普通方程为 ? x ? 2? ? ? y ? 1? ? 1 ,设直线 l 的方程为 y ? x ? b ,因为弦长 AB ? 2 ,
2 2

所 以 圆 心 ? 2, 1? 到 直 线 l 的 距 离 d ? 0 , 所 以 圆 心 在 直 线 l 上 , 故 y ? x ? 1
? ?s i? n? ? c ?o ? s ? ?1 π? 2 π? 2 ? ? ,故填 ? sin ? ? ? ? ? ? . sin ?? ? ??? 4 2 4 2 ? ? ? ?

8.

(2014 湖南文 12)

? ?x ? 2 ? ? 在平面直角坐标系中,曲线 C : ? ? y ?1? ? ?

2 t 2 ( t 为参数)的普通方程为___________. 2 t 2

【解析】 x ? y ? 1 ? 0 9. (2014 江苏理 21C)

? ?x ? 1 ? ? 在平面直角坐标系 xoy 中,已知直线 l 的参数方程 ? ? y ?2? ? ?
y 2 ? 4 x 相交于 A, B 两点,求线段 AB 的长.

2 t 2 ( t 是参数 ) ,直线 l 与抛物线 2 t 2

【解析】 直线 l : x ? y ? 3 代入抛物线方程 y 2 ? 4 x 并整理得 x 2 ? 10 x ? 9 ? 0 ∴ 交点 A(1, 2) , B(9, ?6) ,故 AB ? 82 ? 82 ? 8 2 10. (2014 江西理 11⑵) 若以直角坐标系的原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段 y ? 1 ? x ? 0 ≤ x ≤1? 的极坐标为()

1 π 1 π B. ? ? , 0 ≤? ≤ , 0 ≤? ≤ cos? ? sin ? 2 cos? ? sin ? 4 π π C. ? ? cos? ? sin ? , 0 ≤? ≤ D. ? ? cos? ? sin ? , 0 ≤? ≤ 2 4 【解析】 A ? x ? ? cos ?, 1 ∵? ∴ y ? 1 ? x 化 为 极 坐 标 方 程 为 ? cos? ? ? sin ? ? 1 , 即 ? ? ,∵ y ? ? sin ? , c o s ? ? s i? n ?
A. ? ?
0 ≤ x ≤ 1 ,∴ 线段在第一象限内(含端点) ,∴0 ≤? ≤

π .故选 A. 2

11. (2014 辽宁理 23 文 23) 将圆 x2 ? y 2 ? 1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C . ⑴写出 C 的参数方程; ⑵设直线 l∶2 x ? y ? 2 ? 0 与 C 的交点为 P 1, P 2 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐 标系,求过线段 P1 P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程. 【解析】 ⑴ 设 ( x1 , y1 ) 为圆上的点,在已知变换下变为 C 上点 ? x , y ? ,依题意,得

? x ? x1 y y2 ;由 x12 ? y12 ? 1 得 x2 ? ( )2 ? 1 ,即曲线 C 的方程为 x2 ? ?1. ? 2 4 ? y ? 2 y1 ? x ? cos t 故 C 的参数方程为 ? ( t 为参数) . ? y ? 2sin t
? 2 y2 ?1 ?x ? 1 ?x ? 0 ?x ? ⑵ 由? 解得: ? ,或 ? . 4 ?y ? 0 ?y ? 2 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

1 1 不妨设 P , 1) ,所求直线斜率为 k ? ,于 1 (1, 0) , P 2 (0 , 2) ,则线段 P 1P 2 的中点坐标为 ( 2 2 1 1 是所求直线方程为 y ? 1 ? ( x ? ) , 2 2 3 化为极坐标方程,并整理得 2 ? cos ? ? 4 ? sin ? ? ?3, 即 ? ? . 4sin ? ? 2cos ? 12. (2014 陕西理 15C 文 15C) π? ? π? ? 在极坐标系中,点 ? 2, ? 到直线 ? sin ? ? ? ? ? 1 的距离是_______. 6 6? ? ? ?
【解析】 1

π? π π ? 由 ? sin ? ? ? ? ? 1 ,得 ? sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ? 1 , 6? 6 6 ?

1 3 ? π? y ? 1 ? 0 ,又点 ? 2, ? 的直角坐标为 ( 2, ∴直线的直角坐标方程为 x ? 1) , 2 2 ? 6?

∴点到直线的距离 d ?

3 3 ? ?1 2 2
2 ?1? ? 3? ? ? ? ?? ? ?2? ? ? 2 ? 2

? 1.

13. (2014 天津理 13) 在以 O 为极点的极坐标系中,圆 ? ? 4sin ? 和直线 ? sin ? ? a 相交于 A , B 两点.若 △ AOB 是 等边三角形,则 a 的值为_______. 【解析】 3 以极点为平面直角坐标系原点,极轴作为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系,则 ? ? 4sin ? 所表
2 2 示圆的直角坐标方程为 x ? ( y ? 2) ? 4 ,而 ? sin ? ? a 则表示直线 y ? a

由已知,直线截圆所得弦与原点组成三角形为正三角形,则弦 AB 所对圆心角为 120? ,该弦 到圆心距离等于半径的一半,因此易知 a ? 2 ? 1 ? 3 14. (2014 新课标 1 理 23 文 23) 已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数) . 4 9 ? y ? 2 ? 2t

⑴写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; ⑵过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 ? 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小值.

? x ? 2 cos ? 【解析】 ⑴ 曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ? y ? 3sin ? 直线 l 的普通方程为 2 x ? y ? 6 ? 0 .
3sin ? ) 到 l 的距离为 d ? ⑵ 在曲线 C 上任意取一点 P(2cos ?,

5 4 cos ? ? 3sin ? ? 6 5 4 d 2 5 ? 5sin(? ? ? ) ? 6 ,其中 ? 为锐角.且 tan ? ? . 则 PA ? 3 sin 30? 5 22 5 当 sin(? ? ? ) ? ?1 时, PA 取得最大值 . 5 2 5 当 sin(? ? ? ) ? 1 时, PA 取得最小值 . 5

15. (2014 新课标 2 理 23 文 23) 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐
? π? 标方程为 ? ? 2cos? , ? ? ?0 ? ? . ? 2?

⑴求 C 的参数方程; ⑵设点 D 在 C 上, C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据⑴中你得到的参数方程, 确定 D 的坐标. 【解析】 ⑴ C 的普通方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1(0 ≤ y ≤1) .

? x ? 1 ? cos t, 可得 C 的参数方程为 ? ( t 为参数, 0 ≤ t ≤ π ) ? y ? sin t,

⑵ 设 D ?1 ? cos t ? sin t ? ,由⑴ 知 C 是以 G (1,0) 为圆心, 1 为半径的上半圆. 因为 C 在点 D 处的切线与 l 的垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同. π tan t ? 3,t ? . 3
?3 3? π π? ? sin ? ,即 ? , ? . 故 D 的直角坐标为 ?1 ? cos , ?2 2 ? 3 3? ? ? ?

16. (2014 重庆理 15)

?x ? 2 ? t 已知直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 正半轴为极轴线建立 ?y ? 3 ? t
极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? sin 2 ? ? 4cos? ? 0 ( ? ≥ 0 ? 0 ≤? ? 2π ) ,则直线 l 与曲线
C 的公共点的极径 ? ? ________.

【解析】 5


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