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等差数列练习题(试卷)


“等差数列”试题精选
一、选择题: 1.(2007 安徽文)等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,若 a2 ? 1, a3 ? 3, 则S4=( (A)12 (B)10 (C)8 (D)6 ) 2.(2008 重庆文)已知 ?an ?为等差数列, a 2 ? a8 ? 12 ,则 a 5 ? ( (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 ) )

3.(2006 全国Ⅰ卷文)设 Sn 是等差数列 ?an ?的前 n 项和,若 S7 ? 35 ,则 a4 ? ( (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5

4.(2008 广东文)记等差数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,若 S 2 ? 4 , S 4 ? 20 ,则该数列的公差 d=( (A) 7 (B) 6 (C) 3 (D)2



5. (2003 全国、天津文,辽宁、广东)等差数列 则 n 为( (A)48 ) (B)49 (C)50 (D)51

{an } 中,已知 a ? 1 , a ? a ? 4 , a ? 33, 1 n 2 5 3

6.(2007 四川文)等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前 n 项和 Sn=100,则 n=( (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12



7. (2004 福建文)设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若

a5 5 S ? ,则 9 ? ( a3 9 S5



(A) 1

(B)-1

(C)2

(D)

1 2
)

8.(2000 春招北京、安徽文、理)已知等差数列 ?a n ? 满足 a1 ? a2 ? a3 ? .....? a101 ? 0 ,则有( (A) a1 ? a101 ? 0 (B) a 2 ? a100 ? 0 (C) a 3 ? a99 ? 0 (D) a 51 ? 51 )

9.(2005 全国卷 II 理)如果 a 1 , a 2 ,?, a 8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ? 0 ,则( (A) a1a8 ? a4 a5 (B) a1a8 ? a4 a5 (C) a1 ? a8 ? a4 ? a5 (D) a1a8 ? a4 a5

10.(2002 春招北京文、理)若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和 为 390,则这个数列有( (A)13 项 二、填空题: 11(2001 上海文)设数列 ?an ?的首项 a1 ? ?7, 且满足a n ?1 ? a n ? 2 (n ? N) , 则 ) (C)11 项 (D)10 项

(B)12 项

a 1 ? a 2 ? ? ? a 17 ? _____________.

12.(2008 海南、宁夏文)已知 ?an ?为等差数列, a 3 ? a8 ? 22, a6 ? 7, 则a 5 ? __________. 13.(2007 全国Ⅱ文)已知数列的通项 a n ? ?5n ? 2 ,则其前 n 项和为 S n ? __________. 14.(2006 山东文)设 Sn 为等差数列 ?an ?的前 n 项和, S4 =14, S10 ? S7 ? 30 ,则 S9 =__________. 三、解答题: 15. (2004 全国Ⅰ卷文)等差数列 ?an ?的前 n 项和记为 Sn .已知 a10 ? 30, a20 ? 50.

(Ⅰ)求通项 an ;

(Ⅱ)若 Sn =242,求 n.

16. (2008 海南、宁夏理)已知数列 ?an ?是一个等差数列,且 a 2 ? 1, a5 ? ?5 。 (1)求 ?an ?的通项 a n ; (2)求 ?an ?前 n 项和 Sn 的最大值。

17.(2000 全国、江西、天津文)设 ?an ?为等差数列, Sn 为数列 ?an ?的前 n 项和,已知 S7 ? 7 ,

?S ? S15 ? 75 , Tn 为数列 ? n ? 的前 n 项和,求 Tn 。 ?n?

18.(据 2005 春招北京理改编)已知 ?an ?是等差数列, a1 ? 2 , a3 ? 18 ; ?bn ?也是等差数列,

a 2 ? b2 ? 4 , b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? a1 ? a2 ? a3 。
(1)求数列 ?bn ?的通项公式及前 n 项和 Sn 的公式; (2)数列 ?an ?与 ?bn ?是否有相同的项? 若有,在 100 以内有几个相同项?若没有,请说明理由。

19.(2006 北京文)设等差数列 ?an ?的首项 a 1 及公差 d 都为整数,前 n 项和为 S n 。 (Ⅰ)若 a11 ? 0,S14 ? 98 ,求数列 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)若 a1 ? 6, a11 ? 0, S14 ? 77 ,求所有可能的数列 ?an ?的通项公式.

20.(2006 湖北理)已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ' ( x) ? 6 x ? 2 ,数列 ?an ? 的前 n 项
* 和为 Sn ,点 ?n, Sn ? n ? N 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。

?

?

(Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)设 b n ?
? m 3 , Tn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立的最小正整数 m; 20 a n a n ?1

参考答案
一、选择题: (每小题 5 分,计 50 分)

题号 答案

1 C

2 C

3 D

4 C

5 C

6 B

7 A

8 C

9 B

10 A

二、填空题: (每小题 5 分,计 20 分) 11. 153 12. __15__ 13.

? 5n 2 ? n 2

14.

54

三、解答题: (15、16 题各 12 分,其余题目各 14 分) 15.解: (Ⅰ)由 an ? a1 ? (n ? 1)d , a10 ? 30, a20 ? 50, 得方程组

?a1 ? 9d ? 30, ??4 分 解得 a1 ? 12, d ? 2. 所以 an ? 2n ? 10. ? ?a1 ? 19d ? 50. n(n ? 1) d , S n ? 242 得方程 (Ⅱ)由 S n ? na1 ? 2 n(n ? 1) 12 n ? ?2 ? 242 . ??10 分 解得 n ? 11 或n ? ?22(舍去). 2 ?a1 ? d ? 1 16.解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知条件,得 ? , ?a1 ? 4d ? ?5 解出 a1 ? 3 , d ? ?2 .
所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? ?2n ? 5 . (Ⅱ) S n ? na1 ?

n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 . 2 所以 n ? 2 时, Sn 取到最大值 4 .
1 2

17.解:设等差数列 ?a n ?的公差为 d ,则 Sn ? na1 ? n?n ? 1?d

∵ ∴ ?

S7 ? 7 , S15 ? 75 ,

?7a1 ? 21d ? 7 , ?15a1 ? 105d ? 75 ,

即 ?

?a1 ? 3d ? 1 , ?a1 ? 7d ? 5 ,

解得 ∴ ∵ ∴ ∴

a1 ? ?2 , d ? 1 。 Sn 1 1 ? a1 ? ?n ? 1?d ? ?2 ? ?n ? 1? , n 2 2 Sn?1 Sn 1 ? ? , n ?1 n 2

?S ? 1 数列 ? n ? 是等差数列,其首项为 ? 2 ,公差为 , 2 ?n?
1 9 Tn ? n 2 ? n 。 4 4

18.解: (1)设{an}的公差为 d1,{bn}的公差为 d2 由 a3=a1+2d1 得 所以 a n ? 2 ? 8(n ? 1) ? 8n ? 6 , 所以 a2=10, a1+a2+a3=30 依题意,得 ?

d1 ?

a3 ? a 1 ?8 2

?b1 ? d 2 ? 6 ?b1 ? 3 ? 解得 ? , 4?3 d ? 3 4b ? d ? 30 ? 2 1 2 ? 2 ?

所以 bn=3+3(n-1)=3n

3 2 3 n ? n. n 2 2 2 3(m ? 2) (2)设 an=bm,则 8n-6=3m, 既 n ? ①,要是①式对非零自然数 m、n 成立,只需 8 m+2=8k, k ? N ? ,所以 m=8k-2 , k ? N ? ② ②代入①得,n=3k, k ? N ? ,所以 a3k=b8k-2=24k-6,对一切 k ? N ? 都成立。 所以,数列 ?an ? 与 ?bn ? 有无数个相同的项。 53 , 又 k ? N ? ,所以 k=1,2,3,4.即 100 以内有 4 个相同项。 令 24k-6<100,得 k ? 12 S ?
1 n

n(b ? b )

?

19.解: (Ⅰ)由 S14=98 得 2a1+13d=14, 又 a11=a1+10d=0, 故解得 d=-2,a1=20. 因此,{an}的通项公式是 an=22-2n,n=1,2,3?

? S14 ? 77, ? (Ⅱ)由 ?a11 ? 0, ?a ? 6 ? 1

?2a1 ? 13d ? 11, ? 得 ?a1 ? 10d ? 0, ?a ? 6 ? 1 11 由①+②得-7d<11。即 d>- 。 7 1 由①+③得 13d≤-1 即 d≤- 13 11 1 于是- <d≤- 7 13

?2a1 ? 13d ? 11, ? 即 ?? 2a1 ? 20d ? 0, ?? 2a ? ?12 1 ?

又 d∈Z, 故 d=-1 将④代入①②得 10<a1≤12. 又 a1∈Z,故 a1=11 或 a1=12. 所以,所有可能的数列{an}的通项公式是

an=12-n 和 an=13-n,n=1,2,3,?

20.解: (Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x-2,得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x. 又因为点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn =3n2-2n. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)- ( 3 n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) =6n-5. 当 n=1 时,a1=S1=3×1 -2=6×1-5,所以,an=6n-5 ( n ? N )
2
?

?

?

1 1 1 3 3 ? ), = = ( a n a n ?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1 n 1 ? 1 1 1 1 1 1 ? 1 故 Tn= ? bi = ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ). ? )? = (1- 2 ? 6n ? 1 7 7 13 6n ? 5 6n ? 1 ? 2 i ?1 1 1 m 1 m 因此,要使 (1- )< ( n ? N ? )成立的 m,必须且仅须满足 ≤ ,即 m≥10, 2 6n ? 1 20 2 20
(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn ? 所以满足要求的最小正整数 m 为 10.


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